一道競賽試題的多種解法_第1頁
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一道不等式競賽題的多種解法唐 作 明（永州市教育科學(xué)研究院）不等式對(duì)于一切正數(shù)恒成立則實(shí)數(shù)的最小值為（第17屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽）一、幾種解法1分離參數(shù)法解：原不等式可化為：令，則有而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)則，故所以，的最小值為22三角換元法解：令，則可設(shè)，其中原不等式可化為：，即令，（其中）顯然，所以的最小值為23基本不等式法解：原不等式可化為：因?yàn)椋坏仁娇苫癁?，即有令，則有顯然，只有當(dāng)時(shí)，所以，解得，故的最小值為24構(gòu)造函數(shù)法解：原不等式可化為：，不等式可化為令，當(dāng)時(shí)，要使恒成立若，顯然不合題意；若，則或（無解）當(dāng)時(shí)，解得故的最小值為2二、推廣及證明推廣：不等式對(duì)于一切正數(shù)恒成立則實(shí)數(shù)證法一：令，則可設(shè)，其中原不等式可化為：，即令（等號(hào)顯然可以成立）所以，證法二：原不等式可化為令，則，當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，所以，三、兩道變式題的解法設(shè)，滿足，求（浙江省高中數(shù)學(xué)夏令營）解：由于，所以，同理可得故于是，即2已知，若恒成立，則的取值范圍是解法一：構(gòu)造，使則原不等式可化為即而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）故解法二：令，則有而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號(hào)）注：本文發(fā)表在數(shù)學(xué)競賽之窗。

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