函數(shù)的基本概念及意義珍藏版

1、函數(shù)第一節(jié)（函數(shù)基本概念及意義） 1.函數(shù)的定義（1）傳統(tǒng)定義：在某一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對于在某一個(gè)范圍內(nèi)的任一個(gè)x的值，都有唯一的y值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量，y叫做因變量。（2）近代定義：給定兩個(gè)非空數(shù)集A和B，如果按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系f，對于A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在A上的函數(shù)，記作AB，或y=f(x)，xA，此時(shí)，x叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域，集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域，習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù)。（3）兩個(gè)定義間的聯(lián)系：函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是一致的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定

2、義是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合的觀點(diǎn)出發(fā)。這樣，就不難得知函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個(gè)特殊對應(yīng)。2.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，但要注意，在實(shí)際問題中，定義域要受到實(shí)際意義的制約。如函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，圓半徑r與圓面積S的函數(shù)關(guān)系為S=r2的定義域?yàn)閞|r0。求函數(shù)定義域的一般原則是：如果f(x)為整式，其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R；如果f(x)為分式，其定義域是使分母不為0的實(shí)數(shù)集合；如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定義域是使根號內(nèi)的式子不小于0的實(shí)數(shù)集合；如果f(x)是由以上幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，其定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；f

3、(x)=x0的定義域是xR|x0。求函數(shù)定義域除上述所列外，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：如果是實(shí)際問題，除應(yīng)考慮解析式本身有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義；如果不給出解析式：已知f(x)的定義域?yàn)閤A，則fg(x)的定義域是求使g(x)A的x的取值范圍；已知fg(x)的定義域?yàn)锳，則f(x)的定義域是求g(x)在A上的值域。3.函數(shù)的對應(yīng)法則對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，y=f(x)的意義是：y就是x在關(guān)系f下的對應(yīng)值，而f是“對應(yīng)”得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑。如f(x)=2x+6，f表示2倍的自變量加上6，如f(3)=2×3+6=12。f(a)與f(x)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x=a時(shí)，函

4、數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值。如一次函數(shù)f(x)=3x+4，當(dāng)x=8時(shí)，f(8)=3×8+4=28是一常量。當(dāng)法則所實(shí)施的對象與解析式中所表述的對象不一致時(shí)，該解析式不能正確施加法則，比如f(x)=x2+1，左端是對x施加法則，右端也是關(guān)于x的解析式，此時(shí)此式是以x為自變量的函數(shù)解析式；而對于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示對x+1施加法則，右端是關(guān)于x的解析式，二者并不統(tǒng)一，這時(shí)此式既不是關(guān)于x的函數(shù)解析式，也不是關(guān)于x+1的函數(shù)解析式。4.函數(shù)的值域?qū)τ诤瘮?shù)y=f(x)，xA，與x的值相

5、對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值。如函數(shù)y=x2+5x+3，當(dāng)x=3時(shí)，y=32+5×3+3=27，叫做x=3時(shí)的函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域。函數(shù)的值域是由對應(yīng)法則f對自變量x在定義域內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值的集合。關(guān)于求函數(shù)值域的問題，是可用初等手段來解決的問題，只要根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)規(guī)律，把握值域的概念，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)手段就能得其解。5.同一函數(shù)的判定一般的，考查、判斷幾個(gè)函數(shù)是否相同，離不開函數(shù)的三要素，但值域由定義域和對應(yīng)法則所確定，因此在實(shí)際的解題過程中，往往只要判斷函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則兩個(gè)方面即可。兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對應(yīng)關(guān)系分別相等時(shí)，才是同一函數(shù)，這說明：定義

6、域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同；對應(yīng)關(guān)系不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同的；即使是定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。6.區(qū)間設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且ab，我們規(guī)定：滿足不等式的全體實(shí)數(shù)的集合，叫做閉區(qū)間，記作。滿足不等式的全體實(shí)數(shù)的集合，叫做開區(qū)間，記作。滿足不等式或的全體實(shí)數(shù)集合都叫做半開半閉區(qū)間，分別記作或。滿足xa，xa，xa，xa的全體實(shí)數(shù)x的集合分別記作a,+)，(a,+)，(-,a，(-,a)。注意：區(qū)間左端點(diǎn)值要小于區(qū)間右端點(diǎn)值，常作為隱藏條件使用；區(qū)間符號里面兩個(gè)字母（或數(shù)字）之間用“，”隔開；“”無窮大，是一個(gè)符號，不

7、是一個(gè)數(shù)。7.映射定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對A內(nèi)任一元素x，在B中有且僅有一個(gè)元素y與x對應(yīng)，則稱f是集合A到集合B的映射。這時(shí)，稱y是x在映射f的作用下的象，記作f(x)。于是y=f(x)，x稱作y的原象。映射f也可記作f：AB。其中A叫做映射f的定義域，由所有象f(x)構(gòu)成的集合叫做映射f的值域。注意：映射的概念可以概括為“取元任意性、成象唯一性”，即：映射的三要素：原象、象、對應(yīng)關(guān)系；A中元素不可剩余，B中元素可剩余；多對一行，一對多不行；映射具有方向性：f：AB與f：BA一般是不同的映射。映射與函數(shù)的關(guān)系：聯(lián)系：映射的概念是在函數(shù)的現(xiàn)代定義（集合語言定義）

8、的基礎(chǔ)上引申、拓展的；函數(shù)是一個(gè)特殊的映射，因此，要善于用映射的語言來敘述和解決函數(shù)問題。區(qū)別：函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射；而對映射而言，A和B不一定是數(shù)集。一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且對于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一個(gè)原象，那么這時(shí)我們就說這兩個(gè)集合的元素之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，并稱這個(gè)映射叫做從集合A到集合B的一一映射。注意：一一映射就是一個(gè)特殊的映射，它不僅要求對于A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素與它對應(yīng)；而且還要求對于B中的每一個(gè)元素，在A中有且只有一個(gè)原象，也就是只能是一對一的對應(yīng)。如何確定象與原象：對于一個(gè)從集合A到集合B的映射f而

9、言，A中的每個(gè)元素x，在f的作用下，在B中都對應(yīng)著唯一的元素y，則y稱為象，而x叫做原象。對于給出原象求象的問題，只需將原象代入對應(yīng)關(guān)系中，即可求出象。對于給出象求原象的問題，若可先假設(shè)原象，再代入對應(yīng)關(guān)系中得到象，若它與已知的象是同一個(gè)元素，則求出了原象；也可根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，由象逆推出原象。 如果對于在某一個(gè)范圍內(nèi)的任一個(gè)x的值，都有唯一的y值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量，y叫做因變量?？疾焓遣皇呛瘮?shù)：例1 有下列式子能否確定y是x的函數(shù)？（1）+=2；（2）+=1；（3）y=+。題目分析：例2 下列圖形（橫軸表示x軸，縱軸表示y軸）表示y是x的函數(shù)的是（）題目分析：求解定義域：方

10、法：為了讓函數(shù)有意義，（1） 分母不為0（2） 根號底下大于等于0（3） 沒有00（4） 后續(xù)講對數(shù)函數(shù)會提到例3 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=2+；（2）y=·；（3）y=(x-1)0+題目分析：例4.若函數(shù)y=f(x)的定義域是x|0x1，則y=f()的定義域是（B）A.（-1，0） B.（-1，0）（0，1） C.（0，1） D.0，1搞清楚定義域的含義很重要！題目分析：判斷函數(shù)是否相同：例5 下列四組中的函數(shù)f(x)與g(x)，表示相同函數(shù)的一組是（）A.f(x)=|x|，g(x)=()2 B.f(x)=·，g(x)= C.f(x)=，g(x)= D.f(x)=x

11、，g(x)=定義域、函數(shù)形式一致！題目分析：利用對應(yīng)關(guān)系解題：例6 如圖所示的對應(yīng)：其中構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6 題目分析：例7 設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素+n，則在映射f下，象20的原象是（）A.2 B.3 C.4 D.5 題目分析：對應(yīng)關(guān)系！例8若函數(shù)，則= .題目分析：1.設(shè)M=x|0x2，N=y|0y2，給出圖中四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（ ）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)2.已知映射f：AB，其中A=B=R，對應(yīng)法則f：y=-+2x，對于實(shí)數(shù)kB，在集合A中不存在原象，則k

12、的范圍是 （ ）A.k1 B.k1 C.k1 D.k13.下列對應(yīng)是集合M到集合N的一一映射的是（ ）A.M=N=R，f：xy=-，xM，yN B.M=N=R，f：xy=，xM，yN C.M=N=R，f：xy=，xM，yN D.M=N=R，f：xy=，xM，yN4.求下列函數(shù)定義域（1）y=；（2）y=5.函數(shù)y定義域?yàn)? )A(，1 B(，2 C(，(，1) D(，)(，16.下列各組函數(shù)相等的是( )Af(x)與g(x)x1 Bf(x)與g(x)x·Cf(x)2x1與g(x) Df(x)|x21|與g(t)7.已知f（-1）=2x+3，且f（m）=6，則m=（ ）A.- B. C

13、. D.-1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）A.y=x-1和y= B.y=和y=1 C.f(x)=和g(x)=(x+1)2 D.f(x)=和g(x)=2.下列各圖中，可表示函數(shù)y=f(x)圖像的只可能是（ ）3.設(shè)集合M=R，從M到P的映射f：xy=，則映射f的值域?yàn)椋?）A.y|yR B.y|y C.y|0y2 D.y|0y14.設(shè)集合A和集合B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集（x，y）|xR，yR，映射f：AB，把集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（x+y，x-y），則在映射f下，象（2，1）的原象是（ ）A.（3，1） B.（，） C.（，-） D.（1，3）5.用區(qū)間表示下列函數(shù)的定義域：（1）y=；（2）y=； 1.下列圖形中，不能確定y是x的函數(shù)的是（ ）2.已知集合P=x|0x4，Q=y|0y2，下列從P到Q的各對應(yīng)關(guān)系f中不是映射的是（ ）A.f：xy=x B.f：xy=x C.f：xy=x D.f：xy=3.函數(shù)y=+的定義域?yàn)椋?）A.x|x1 B.x|x0 C.x|x1或x0 D.x|0x1 4.函數(shù)y=+的定義域?yàn)椋?）A.x|x0 B.x|x1 C.x|x10 D.x|0x15.若f（x）=，則方程f（4x）=x的根是（ ）A. B.- C.2 D.-26.設(shè)f(x)=|x-1|-|x|，則ff()=（ ）A.- B.