第三講經(jīng)濟(jì)與金融中的優(yōu)化模型VIP

1、第三講 經(jīng)濟(jì)與金融中的優(yōu)化問題本章主要介紹用LINDO/LINGO軟件求解經(jīng)濟(jì)、金融和市場(chǎng)營(yíng)銷方面的幾個(gè)優(yōu)化問題的案例。3.1 經(jīng)濟(jì)均衡問題極其應(yīng)用在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，當(dāng)市場(chǎng)上某種產(chǎn)品的價(jià)格越高時(shí)，生產(chǎn)商越是愿意擴(kuò)大生產(chǎn)能力(供應(yīng)能力)，提高更多的產(chǎn)品滿足市場(chǎng)需求；但市場(chǎng)價(jià)格太高時(shí)，消費(fèi)者的消費(fèi)欲望(需求能力)會(huì)下降。反之，當(dāng)市場(chǎng)上某種商品的價(jià)格越低時(shí)，消費(fèi)者的消費(fèi)欲望(需求能力)會(huì)上升，但生產(chǎn)商的供應(yīng)能力會(huì)下降。如果生產(chǎn)商的供應(yīng)能力和消費(fèi)者的需求能力長(zhǎng)期不匹配，就會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。在完全市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境中，我們總是認(rèn)為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)達(dá)到均衡(equilibrium)，即生產(chǎn)和消費(fèi)(供應(yīng)能力和需求能

2、力)達(dá)到平衡，不再發(fā)生變化，這時(shí)該產(chǎn)品的價(jià)格就是市場(chǎng)的清算價(jià)格。下面考慮兩個(gè)簡(jiǎn)單的單一市場(chǎng)及雙邊市場(chǎng)的具體實(shí)例。并介紹經(jīng)濟(jì)均衡思想在拍賣與投標(biāo)問題、交通流分配問題中的應(yīng)用案例。3.1.1 單一生產(chǎn)商、單一消費(fèi)者的情形例3.1 假設(shè)市場(chǎng)上只有一個(gè)生產(chǎn)商(記為甲)和一個(gè)消費(fèi)者(記為乙)。對(duì)某種產(chǎn)品，他們?cè)诓煌瑑r(jià)格下的供應(yīng)能力和需求能力如表3-1所示。舉例來說，表中數(shù)據(jù)的含義是：當(dāng)單價(jià)低于2萬元但大于或等于1萬元時(shí)，甲愿意生產(chǎn)2t產(chǎn)品，乙愿意購買8t產(chǎn)品；當(dāng)價(jià)格低于9萬元但大于或等于4.5萬元時(shí)，乙愿意購買4t產(chǎn)品，甲愿意生產(chǎn)8t產(chǎn)品；依次類推。那么市場(chǎng)的清算價(jià)格應(yīng)該是多少？表3-1 不同價(jià)格下的供

3、應(yīng)能力和需求能力生產(chǎn)商（甲）消費(fèi)者（乙）單價(jià)/（萬元/t）供應(yīng)能力/t單價(jià)/（元/t）需求能力/t1292244.543636482.258問題分析仔細(xì)觀察一下表3-1就可以看出來，這個(gè)具體問題的解是一目了然的：清算價(jià)格顯然應(yīng)該是3萬元/t，因?yàn)榇藭r(shí)供求平衡(都是6t)。為了能夠處理一般情況，下面通過建立優(yōu)化模型來解這個(gè)問題。這個(gè)問題給人的第一印象似乎沒有明確的目標(biāo)函數(shù)，不太像是一個(gè)優(yōu)化問題。不過，我們可以換一個(gè)角度來想問題：假設(shè)市場(chǎng)上還有一個(gè)虛擬的經(jīng)銷商，他是甲乙進(jìn)行交易的中介。那么，為了使自己獲得的利益最大，他將總是以可能的最低價(jià)格從甲購買產(chǎn)品，在以可能的最高價(jià)格賣給乙，直到進(jìn)一步的交易無

4、利可圖為止。例如，最開始的2t產(chǎn)品他會(huì)以1萬元的單價(jià)從甲購買，以9萬元的單價(jià)賣給乙；接下來的2t產(chǎn)品會(huì)以2萬元的單價(jià)從甲購買，再以4.5萬元的單價(jià)賣給乙；再接下來的2t產(chǎn)品他只能以3萬元的單價(jià)從甲購買，再以3萬元的單價(jià)賣給乙(其實(shí)這次交易他已經(jīng)只是保本，但我們?nèi)匀皇羌僭O(shè)這筆交易會(huì)發(fā)生，例如他為了使自己的營(yíng)業(yè)額盡量大)；最后，如果他繼續(xù)購買甲的產(chǎn)品賣給乙，他一定會(huì)虧本，所以他肯定不會(huì)交易。因此，市場(chǎng)清算價(jià)格就是3萬元。根據(jù)這個(gè)想法，我們就可以建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。 模型建立 決策變量：社甲以1萬元，2萬元，3萬元，4萬元的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量(單位：t)分別是A1，A2，A3，A4，乙以9萬

5、元，4.5萬元，3萬元，2.25萬元的單價(jià)購買的產(chǎn)品數(shù)量(單位：t)分別是x1,x2,x3,x4。 目標(biāo)函數(shù)：就是虛擬經(jīng)銷商的總利潤(rùn)，即 9x1+4.5x2+3x3+2.5x4-A1-2A2-3A3-4A4. 約束條件：約束有 供需平衡 A1+A2+A3+A4=x1+x2+x3+x4； 供應(yīng)限制 A1,A2,A3,A4<=2; 消費(fèi)限制 x1,x2,x3,x4<=2; 非負(fù)限制 A1,A2,A3,A4,x1,x2,x3,x4>=0。模型求解：（LINGO程序）MAX 9X1 + 4.5X2 + 3X3 + 2.25X4 - A1 - 2A2 - 3A3 - 4A4 SUBJE

6、CT TO A1 + A2 + A3 + A4 - X1 - X2 - X3 - X4 = 0 A1 <= 2 A2 <= 2 A3 <= 2 A4 <= 2 X1 <= 2 X2 <= 2 X3 <= 2 X4 <= 2 END運(yùn)行分析其結(jié)果。3.1.2 兩個(gè)生產(chǎn)商、兩個(gè)消費(fèi)者的情形 例3.2 假設(shè)市場(chǎng)上除了3.1中的甲和乙外，還有另一個(gè)生產(chǎn)商(記為丙)和另一個(gè)消費(fèi)者(記為丁)，他們?cè)诓煌瑑r(jià)格下的供應(yīng)能力如表3-2所示。此外，從甲銷售到丁的每噸產(chǎn)品的運(yùn)輸成本是1.5萬元，從丙銷售到乙的每噸產(chǎn)品的運(yùn)輸成本是2萬元，而甲、乙之間沒有運(yùn)輸成本，丙、丁

7、之間沒有運(yùn)輸成本。這時(shí)，市場(chǎng)的清算價(jià)格應(yīng)該是多少？甲和丙分別生產(chǎn)多少？乙和丁分別購買多少？表3-2 不同價(jià)格下的供應(yīng)能力和消費(fèi)能力 生產(chǎn)商（丙）消費(fèi)者（丁）價(jià)格/萬元供應(yīng)能力/t價(jià)格/元需求能力/t2115144836856812310問題分析首先，我們看看為什么要考慮從甲銷售到丁的產(chǎn)品的運(yùn)輸成本和從丙銷售到乙的產(chǎn)品的運(yùn)輸成本。如果不考慮這些運(yùn)輸成本，我們就可以認(rèn)為甲乙丙丁處于同一個(gè)市場(chǎng)上，因此可以將兩個(gè)生產(chǎn)商(甲和丙)的供應(yīng)函數(shù)合并成一個(gè)供應(yīng)函數(shù)，合并后就可以認(rèn)為市場(chǎng)上仍然只有一個(gè)供應(yīng)商。類似地，乙和丁的需求函數(shù)也可以合并成一個(gè)需求函數(shù)，合并后就可以認(rèn)為市場(chǎng)上仍然是只有一個(gè)消費(fèi)者。這樣就回到

8、了例3.1的情形。也就是說，考慮運(yùn)輸成本在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的含義，應(yīng)當(dāng)是認(rèn)為甲乙是一個(gè)市場(chǎng)(地區(qū)或國家)，而丙丁是另一個(gè)市場(chǎng)(地區(qū)或國家)，運(yùn)輸成本也可能還包括關(guān)稅等成本，由于這個(gè)成本的存在，兩個(gè)市場(chǎng)的清算價(jià)可能是不同的。 仍然按照3.1的思路，可以建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。 模型建立和求解 設(shè)甲以1，2，3，4(萬元)的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量(單位：t)分別是 A1,A2,A3,A4，乙以9，4.5，3，2.25(萬元)的單價(jià)購買的產(chǎn)品數(shù)量(單位：t)分別是X1,X2,X3,X4；丙以2，4，6，8(萬元)的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量(單位：t)分別是B1,B2,B3,B4,丁以15，8，5，3(萬元)的單價(jià)

9、購買的產(chǎn)品數(shù)量(單位：t)分別是Y1,Y2,Y3,Y4,此外，假設(shè)AX和AY分別是甲向乙和丁的供貨量，BX和BY分別是丙向丁的供貨量。這些決策變量之間的關(guān)系參見示意圖3-1。目標(biāo)函數(shù)仍然是虛擬經(jīng)銷商的總利潤(rùn)，約束條件仍然是四類(供求平衡、供應(yīng)限制、需求限制和非負(fù)限制)，不過這時(shí)應(yīng)該注意供需平衡約束應(yīng)該是包括圖3-1所示的決策變量之間的關(guān)系： AX+AY=A1+A2+A3+A4， (10) BX+BY=B1+B2+B3+B4， (11) AX+BX=x1+x2+x3+x4， (12) AY+BY=Y1+Y2+Y3+Y4。 (13) 此外的其他約束實(shí)際上只是一個(gè)簡(jiǎn)單的變量上界約束，可以用“SUB”

10、命令表示。程序：MAX 9X1 + 4.5X2 + 3X3 + 2.25X4 + 15Y1 + 8Y2 + 5Y3 + 3Y4 - 2BX - 1.5AY - A1 - 2A2 - 3A3 - 4A4 - 2B1 - 4B2 - 6B3 - 8B4 SUBJECT TO 2) - AY + A1 + A2 + A3 + A4 - AX = 0 3) - BX + B1 + B2 + B3 + B4 - BY = 0 4) - X1 - X2 - X3 - X4 + BX + AX = 0 5) - Y1 - Y2 - Y3 - Y4 + AY + BY = 0 ENDSUB A1 2 SUB

11、A2 2SUB A3 2SUB A4 2 SUB X1 2SUB X2 2SUB X3 2SUB X4 2SUB B1 1 SUB B2 3SUB B3 4SUB B4 4 SUB Y1 1SUB Y2 2SUB Y3 3SUB Y4 4運(yùn)行分析其結(jié)果。3.1.3 拍賣和投標(biāo)問題例3.3 假設(shè)一家拍賣行對(duì)委托的5類藝術(shù)品對(duì)外拍賣，采用在規(guī)定日期前投標(biāo)人提交投標(biāo)書的方式進(jìn)行，最后收到了來自4個(gè)投標(biāo)人的投標(biāo)書。每類項(xiàng)目的數(shù)量、投標(biāo)人對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投標(biāo)價(jià)格如表3-3中所示。例如，有3件第4類藝術(shù)品；對(duì)每件第4類藝術(shù)品；對(duì)每件第4類藝術(shù)品，投標(biāo)人1，2，3，4愿意出的最高價(jià)分別為6，1，3，2(貨幣單位

12、，如萬元)。此外，假設(shè)每個(gè)投標(biāo)對(duì)人每類藝術(shù)品最多只能購買一件，并且每個(gè)投標(biāo)人購買的藝術(shù)品總數(shù)不能超過3件，那么，哪些藝術(shù)品能夠賣出去？賣給誰？這個(gè)拍賣和投標(biāo)問題中每類物品的清算價(jià)應(yīng)該是多少？表3-3 拍賣與投標(biāo)信息招標(biāo)項(xiàng)目類型12345招標(biāo)項(xiàng)目的數(shù)量12334投標(biāo)價(jià)格投標(biāo)人192863投標(biāo)人267915投標(biāo)人378634投標(biāo)人454321問題分析這個(gè)具體問題在實(shí)際中可能以通過對(duì)所有投標(biāo)的報(bào)價(jià)進(jìn)行排序來解決，例如可以總是將藝術(shù)品優(yōu)先賣給出價(jià)最高的投標(biāo)人。但這種方法不太好確定每類藝術(shù)品的清算價(jià)，所以我們這里還是借用前面兩個(gè)例子中的方法，即使設(shè)有一個(gè)中間商希望最大化自己的利潤(rùn)，從而建立這個(gè)問題的線性

13、規(guī)劃模型。 問題的一般提法和假設(shè) 先建立一般的模型，然后求解本例的具體問題。設(shè)有N類物品需要拍賣，第j類物品的數(shù)量為Sj(j=1，2，.，N)；有M個(gè)投標(biāo)者，投標(biāo)者i(i=1，2，.，M)對(duì)第j類物品的投標(biāo)價(jià)格為bij(假設(shè)非負(fù))。投標(biāo)者i對(duì)每類物品最多購買一件，切總件數(shù)不能超過ci。我們的目標(biāo)之一是要確定第j類物品的清算價(jià)格pj，他應(yīng)當(dāng)滿足下列假設(shè)條件： (1)成交的第j類物品的數(shù)量不超過Sj(j=1，2，.，N)； (2)對(duì)第j類物品的報(bào)價(jià)低于pj的投標(biāo)人將不能獲得第j類物品； (3)如果成交的第j類物品的數(shù)量少于Sj(j=1，2，.，N)，可以認(rèn)為pj=0(除非拍賣方另外指定一個(gè)最低的保

14、護(hù)價(jià))； (4)對(duì)j類物品的報(bào)價(jià)高于pj的投標(biāo)人有權(quán)獲得第j類物品，但如果他有權(quán)獲得的物品超過3件，那么我們假設(shè)他總是希望使自己的滿意度最大(滿意度可以用他的報(bào)價(jià)與市場(chǎng)清算價(jià)之差來衡量)。 優(yōu)化模型 用0-1變量xij表示是否分配一件第j類物品給投標(biāo)者i，即xij=1表示分配，而xij=0表示不分配。目標(biāo)函數(shù)仍然是虛擬的中間商的總利潤(rùn)(認(rèn)為這些利潤(rùn)全部是拍賣的利潤(rùn)也可以)，即 bij*xij。 (14) 除變量取值為0或1的約束外，問題的約束條件只要是兩類；每類物品的數(shù)量限制和每個(gè)投標(biāo)人所能分到的物品的數(shù)量限制，即 xij<=Sj,j=1,2,.,N; (15) xij<=cj,j

15、=1,2,.,M; (16) 模型就是在約束(15)、(16)下最大化目標(biāo)函數(shù)(14)。程序：MODEL:TITLE 拍賣與投標(biāo);SETS:AUCTION: S;BIDDER : C;LINK(BIDDER,AUCTION): B, X;ENDSETSDATA:AUCTION=FILE(AUCTION.TXT);BIDDER =FILE(AUCTION.TXT);S=FILE(AUCTION.TXT);C=FILE(AUCTION.TXT);B=FILE(AUCTION.TXT);ENDDATAMAX=SUM(LINK: B*X);FOR(AUCTION(J): AUC_LIM SUM(BID

16、DER(I): X(I,J) < S(J) );FOR(BIDDER(I): BID_LIM SUM(AUCTION(J): X(I,J) < C(I) );FOR(LINK: BND(0,X,1);END Global optimal solution found at iteration: 7 Objective value: 65.00000運(yùn)行分析其結(jié)果。3.1.4 交通流均衡問題 例3.4 某地有如圖3-2所示的一個(gè)公路網(wǎng)，每天上班時(shí)間有6千輛小汽車要從居民區(qū)A前往工作區(qū)D。經(jīng)過長(zhǎng)期觀察，我們得到了圖中5條道路上每輛汽車的平均行駛時(shí)間和汽車流量之間的關(guān)系，如表3-4所示。

17、那么，長(zhǎng)期來看，這些汽車將如何在每條道路上分布？BADC 居民區(qū) 工作區(qū) 道路ABACBCBDCD行駛時(shí)間/min流量220521252202<流量330531353303<流量44054145440問題分析 這個(gè)問題看起來似乎與前面幾個(gè)例子中的完全不同，但實(shí)際上交通流與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)類似，也存在著均衡。 我們可以想象有一個(gè)協(xié)調(diào)者，正如前面幾個(gè)例子中的所謂中間商可以理解為市場(chǎng)規(guī)律一樣，實(shí)際上這里的所謂協(xié)調(diào)者也可以認(rèn)為交通流的規(guī)律。交通流的規(guī)律就是每輛汽車都將選擇自己使自己從A到D運(yùn)行時(shí)間最少的路線，其必然的結(jié)果是無論走哪條路線從A到D，最終花費(fèi)的時(shí)間應(yīng)該是一樣的(否則，花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)的

18、那條線路上的部分汽車就會(huì)改變自己的路線，以縮短自己的行駛時(shí)間)。 也就是說，長(zhǎng)期來看，這些汽車在每條道路上的分布將達(dá)到均衡狀態(tài)(所謂均衡，這里的含義就是每輛汽車都不能僅僅通過自身獨(dú)自改變道路節(jié)省其行使時(shí)間)。在這種想法下，我們來建立線性規(guī)劃模型。 優(yōu)化模型 交通流的規(guī)律要求所有道路上的流量達(dá)到均衡，我們?nèi)匀活愃评?.1和例1.2來考慮問題。如果車流量是一輛一輛增加的，那么在每條道路上車流量少于2時(shí)，車流量會(huì)有一個(gè)分布規(guī)律；但某條道路上的車流量正好超過2時(shí)，新加入的一輛車需要選擇使自己堵塞時(shí)間最短的道路，這就提示我們把同一條道路上的流量分布分解成不同性質(zhì)的三個(gè)部分，也就是說，我們用Y(AB)表示

19、道路AB上的總的流量，并進(jìn)異步把他分解成三個(gè)部分： (1)道路AB上的流量不超過2時(shí)的流量，用X(2，AB)表示； (2)道路AB上的流量超過2但不超過3時(shí)，超過2的流量部分用X(3，AB)表示； (3)道路AB上的流量超過3但不超過4時(shí)，超過3的流量部分用X(4，AB)表示。以此類推，對(duì)道路 AC，BC，BD，CD上同理可以定義類似的決策變量，因此，問題中總共有20個(gè)決策變量Y(j)和X(i，j)(i=2，3，4；j=AB，AC，BC，BD，CD)。問題的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是使總的堵塞時(shí)間最小。用T(i，j)表示流量X(i，j)對(duì)應(yīng)的堵塞時(shí)間 (即表3-3中的數(shù)據(jù)，是對(duì)每輛車而言的)，我們看看用T(i

20、，j)X(i，j)作為總堵塞時(shí)間是否合適。很容易理解：后面加入道路的車輛可能又會(huì)造成前面進(jìn)入道路的車輛的進(jìn)一步堵塞，如流量為3時(shí)，原先流量為2的車輛實(shí)際上也只能按T(3，j)的時(shí)間通過，而不是T(2，j)。也即使說，T(i，j)X(i，j)并不是總堵塞時(shí)間，但是我們也可以發(fā)現(xiàn)，T(i，j)關(guān)于i是單調(diào)增加的，即不斷增加的車流只會(huì)使以前的堵塞加劇而不可能使以前的堵塞減緩。所以關(guān)于決策變量X(i，j)而言，T(i，j)X(i，j)與我們希望優(yōu)化的目標(biāo)的單調(diào)性是一致的。因此，可以用T(i，j)X(i，j)作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。約束條件有三類： (1)每條道路上的總流量Y等于該道路上的分流量X的和；

21、(2)道路交匯處A，B，C，D(一般稱為節(jié)點(diǎn))的流量守恒(即流入量等于流出量)； (3)決策變量的上限限制的，如X(2，AB)<=2,X(3，AB)<=1，X(4，AB)<=1等。于是對(duì)應(yīng)的優(yōu)化模型很容易直接寫出(略)。程序：MODEL:TITLE 交通流均衡;SETS:ROAD/AB,AC,BC,BD,CD/:Y;CAR/2,3,4/;LINK(CAR,ROAD): T, X;ENDSETSDATA:! 行駛時(shí)間(分鐘) ;!T=20,52,12,52,20 30,53,13,53,30 40,54,14,54,40;! 增加的總行駛時(shí)間(千輛車*分鐘) ;T= 2052

22、1252 20 5055 1555 50 7057 1757 70;ENDDATAOBJ MIN=SUM(LINK: T*X);! 目標(biāo)函數(shù);! 四個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量守恒條件;NODE_A Y(INDEX(AB)+Y(INDEX(AC) = 6;NODE_B Y(INDEX(AB)=Y(INDEX(BC)+Y(INDEX(BD);NODE_C Y(INDEX(AC)+Y(INDEX(BC)=Y(INDEX(CD);NODE_D Y(INDEX(BD)+Y(INDEX(CD)=6;! 每條道路上的總流量Y等于該道路上的分流量X的和;FOR( ROAD(I): ROAD_LIM SUM(CAR(J):

23、X(J,I) = Y(I) );! 每條道路的分流量X的上下界設(shè)定;FOR(LINK(I,J)|I#EQ#1: BND(0,X(I,J),2) );FOR(LINK(I,J)|I#GT#1: BND(0,X(I,J),1) );END運(yùn)行并分析結(jié)果。3.2 投資組合問題3.2.1 基本的投資組合模型 例3.5 美國某三種股票(A，B，C)12年(1943-1954)的價(jià)格(已經(jīng)包括了分紅在內(nèi))每年的增長(zhǎng)情況如表3-6所示(表中還給出了相應(yīng)年份的500中股票的價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)情況)。例如，表中第一個(gè)數(shù)據(jù)1.300的含義是股票A在1943年的年末價(jià)值是其年初價(jià)值的1.300倍，即收益為30%，其余數(shù)

24、據(jù)的含義以此類推，假設(shè)你在1955年時(shí)有一筆資金準(zhǔn)備投資這三種股票，并期望年收益率至少達(dá)到15%，那么你應(yīng)當(dāng)如何投資？當(dāng)期望的年收益率變化時(shí)，投資組合和相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)如何變化？表3-6 股票收益數(shù)據(jù)年份股票A股票B股票C股票指數(shù)19431.3001.2251.1491.25899719441.1031.2901.2601.19752619451.2161.2161.4191.36436119460.9540.7280.9220.91928719470.9291.1441.1691.05708019481.0561.1070.9651.05501219491.0381.3211.1331.18792

25、519501.0891.3051.7321.31713019511.0901.1951.0211.24016419521.0831.3901.13110350.9281.0060.99010819541.1761.7151.9081.526236 問題分析 本例的問題稱為投資組合(portfolio)問題，早在1952年Markowitz就給出了這個(gè)模型的基本框架，而且這個(gè)模型后來又得到了不斷的研究和進(jìn)步。一般來說，人們投資股票時(shí)的收益是不確定的，因此是一個(gè)隨機(jī)變量，所以除了考慮收益的期望值外，還應(yīng)當(dāng)考慮風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)用什么衡量？Markowitz建議，風(fēng)險(xiǎn)可以用收益的方

26、差(或標(biāo)準(zhǔn)差)來進(jìn)行衡量；方差越大，則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越大，方差越小，則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越小，在一定的假設(shè)下，有收益的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)來衡量風(fēng)險(xiǎn)確實(shí)是合適的。為此我們先對(duì)表3-6中給出的數(shù)據(jù)計(jì)算出三種股票收益的均值和方差(包括協(xié)方差)備用。 一種股票收益的均值衡量的是這種股票的平均收益狀況，而收益的方差衡量的是這種股票收益的波動(dòng)幅度，方差越大則波動(dòng)越大(收益越不穩(wěn)定)。兩種股票收益的協(xié)方差表示的則是他們之間的相關(guān)程度： *協(xié)方差為0時(shí)兩者不相關(guān)。 *協(xié)方差為正數(shù)表示兩者正相關(guān)，協(xié)方差越大則正相關(guān)性越強(qiáng)(越有可能一賺皆賺，一賠皆賠)。 *協(xié)方差為負(fù)數(shù)表示兩者負(fù)相關(guān)，絕對(duì)值越大則負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)(越有可能一個(gè)賺，另一

27、個(gè)賠)。 記股票A，B，C每年的收益率分別為R1，R2和R3(注意表中的數(shù)據(jù)減去1以后才是年收益率)，則Ri(i=1，2，3)是一個(gè)隨機(jī)變量，用E和D分別表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(標(biāo)準(zhǔn)差的平方)算子,用cov表示兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差(covariance),根據(jù)概率論的知識(shí)和表3-6給出的數(shù)據(jù),則可以計(jì)算出年收益率的數(shù)學(xué)期望為 ER1=0.0890833, ER2=0.213667, ER3=0.234583. (17) 同樣,可以計(jì)算股票A,B,C年收益率的協(xié)方差矩陣為 COV=即DR1=cov(R1,R1)=0.01080754,DR2=cov(R2,R2)=0.05839170,DR

28、3=cov(R3,R3)=0.09422681,cov(R1,R2)=0.01240721,cov(R1,R3)=0.01307513,cov(R2,R3)=0.05542639(注:我們將在稍后的LINGO模型中根據(jù)原始數(shù)據(jù)直接計(jì)算出這些均值和方差). 模型建立 用決策變量x1,x2和x3分別表示投資人投資股票A,B,C的比例.假設(shè)市場(chǎng)上沒有其他投資渠道,且受上資金(可以不妨假設(shè)只有1個(gè)單位的資金)必須全部用于投資這三種股票,則：x1，x2，x30， x1+x2+x3=1。年投資收益率R=x1R1+x2R2+x3R3頁是一個(gè)隨機(jī)變量。根據(jù)概率論的知識(shí)，投資的總期望收益為ER=x1ER1+x2

29、ER2+x3ER3。年投資收益率的方差為V=D(x1R1+x2R2+x3R3)=D(x1R1)+ D(x2R2)+ D(x3R3)+2cov(x1R1,x2R2)+ 2cov(x1R1,x3R3)+ 2cov(x2R2,x3R3) =x12DR1+ x22DR2+ x32DR3+2x1x2cov(R1,R2)+ 2x1x3cov(R1,R3)+ 2x2x3cov(R2,R3) =xixjcov(Ri,Rj)。實(shí)際的投資者可能面臨許多約束條件，這里只考慮題中要求的年收益率（的數(shù)學(xué)期望）不低于15%，即x1ER1+x2ER2+x3ER30.15所以，最后的優(yōu)化模型就是約束（19）和（22）下極小化

30、（21）。由于目標(biāo)函數(shù)V是決策變量的二次函數(shù)，而約束都是線形函數(shù)，所以這是一個(gè)二次規(guī)劃問題。LINDO程序：Title 簡(jiǎn)單的投資組合問題MIN x1 + x2 + x3 + PBUD + PRETSubject to! 一階最優(yōu)條件，其中PBUD和PRET是兩個(gè)約束對(duì)應(yīng)的乘子Fx1) .02161508 x1 + .02481442 x2 + .02615026 x3 + PBUD - 1.089083 PRET >= 0Fx2) .02481442 x1 + .11678340 x2 + .11085278 x3 + PBUD - 1.213667 PRET >= 0Fx3)

31、.02615026 x1 + .11085278 x2 + .18845362 x3 + PBUD - 1.234583 PRET >= 0BUD) x1 + x2 + x3 = 1RET) 1.089083 x1 + 1.213667 x2 + 1.234583 x3 >= 1.2345END! 告訴LINDO真正的約束的起始行QCP 5LINGO程序：MODEL:Title 簡(jiǎn)單的投資組合模型;SETS: YEAR/1.12/; STOCKS/ A, B, C/: Mean,X; link(YEAR, STOCKS): R; STST(Stocks,stocks): COV;E

32、NDSETSDATA: TARGET = 1.15;! R是原始數(shù)據(jù); R = 1.300 1.225 1.149 1.103 1.290 1.260 1.216 1.216 1.419 0.954 0.728 0.922 0.929 1.144 1.169 1.056 1.107 0.965 1.038 1.321 1.133 1.089 1.305 1.732 1.090 1.195 1.021 1.083 1.390 1.131 1.035 0.928 1.006 1.176 1.715 1.908;ENDDATACALC:!計(jì)算均值向量Mean與協(xié)方差矩陣COV;for(stocks(

33、i): Mean(i) =sum(year(j): R(j,i) / size(year) ); for(stst(i,j): COV(i,j) = sum(year(k): (R(k,i)-mean(i)*(R(k,j)-mean(j) / (size(year)-1) );ENDCALCOBJ MIN = sum(STST(i,j): COV(i,j)*x(i)*x(j);ONE SUM(STOCKS: X) = 1;TWO SUM(stocks: mean*x) >= TARGET;END運(yùn)行后，可以看到投資組合的決策結(jié)果與LINDO模型的輸出相同（只有很小的計(jì)算誤差）。模型也輸出

34、了均值向量Mean和協(xié)方差矩陣COV，結(jié)果與我們前面給出的值是一致的。此外，請(qǐng)注意模型中計(jì)算協(xié)方差矩陣COV時(shí)，分母是樣本數(shù)減去1（即“size(year)-1”）而不是樣本數(shù)，這是常用的計(jì)算方法，主要是為了保持這個(gè)估計(jì)的無偏性（當(dāng)然，樣本數(shù)較大時(shí)兩者差別不大）。用LINDO軟件對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)分析對(duì)實(shí)際投資人來說，可能不僅希望知道制定的期望投資回報(bào)率下的風(fēng)險(xiǎn)（回報(bào)率的方差），可能更希望知道風(fēng)險(xiǎn)隨著不同的投資回報(bào)率是如何變化的，然后作出最后的投資決策。這當(dāng)然可以通過在上面的模型中不斷修改約束中的參數(shù)（目前為1.15）來實(shí)現(xiàn)，如將1.15改為1.2345，則表示投資回報(bào)率希望達(dá)到23.45%（這幾

35、乎是可能達(dá)到的最大值了，因?yàn)檫@幾乎是三種股票中最大的投資回報(bào)率，即股票C的回報(bào)率）?？梢韵氲?，這時(shí)應(yīng)主要投資在股票C上。實(shí)際求解一下，可以知道最優(yōu)解中投資股票C的份額大約是99.6%（剩余的大約0.4%投資在股票B上）。實(shí)際上，LINDO軟件可以直接完成這種參數(shù)分析過程（目前LINGO軟件似乎還沒有這個(gè)功能）。假設(shè)利用上面的LINDO模型，對(duì)于投資回報(bào)率希望為23.45%的情形我們已經(jīng)求解得到了結(jié)果。此時(shí)，執(zhí)行菜單命令“Reports|Parametrics（參數(shù)分析）”，將會(huì)看到圖3-3所示的對(duì)話框。選擇約束行“RET”；然后輸入新的右端項(xiàng)（New RHS Value），我們輸入1（表示收益

36、率為）；選擇報(bào)告類行為二維圖形（“Graphics”+“2D”）；最后按“OK”按鈕即可。屏幕上將顯示如圖3-4所示的參數(shù)分析的結(jié)果，圖中橫坐標(biāo)表示的是希望達(dá)到的回報(bào)率，縱坐標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)）表示的是對(duì)應(yīng)的方差，這種圖形在經(jīng)濟(jì)學(xué)上一般被稱為有效前沿面（efficient frontier）?？梢钥闯觯瑘D中曲線有兩個(gè)明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，當(dāng)要求的回報(bào)率越過這兩個(gè)點(diǎn)以后，風(fēng)險(xiǎn)（方差）增長(zhǎng)越來越快。那么，投資組合的決策是如何變化的呢？如果在圖3-3所示的參數(shù)分析對(duì)話框中選擇“Text（文本）”選項(xiàng)，則參數(shù)分析的結(jié)果也會(huì)顯示在結(jié)果報(bào)告窗口中：這個(gè)結(jié)果的中間4行的第1行說明當(dāng)希望的回報(bào)率從23.45%下降到21.8

37、94%時(shí)，變量X1進(jìn)基，即還需要購買股票A；第2行說明當(dāng)希望的回報(bào)率繼續(xù)下降到9.357%時(shí)，變量X3出基，即不再需要購買股票C；第34行說明當(dāng)希望的回報(bào)率繼續(xù)下降到8.908%或以下時(shí)，變量X2出基，即只需要購買股票A（注意我們前面還假設(shè)了所有資金必須全部投資到這三種股票上，沒有其他投資方式或讓自己閑置）。這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)正是我們?cè)趫D3-4中觀察到的曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)。3.2.2 存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的投資組合模型例3.6 假設(shè)除了例3.5中的三種股票外，投資人還有一種無風(fēng)險(xiǎn)的投資方式，如購買國庫券，假設(shè)國庫券的年收益率為5%，如何考慮例3.5中的問題？問題分析其實(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)的投資方式（如國庫券、銀行存款等）

38、是有風(fēng)險(xiǎn)的投資方式（如股票）的一種特例，所以這就意味著例3.5中的模型仍然是適用的，只不過無風(fēng)險(xiǎn)的投資方式的收益是固定的，所以方差（包括它與其它投資方式的收益協(xié)方差）都是0。 3.2.3 考慮交易成本的投資組合模型例3.7 繼續(xù)考慮例3.5（期望收益率仍定為15%）。假設(shè)你目前持有的股票比例為：股票A占50%，B占35%，C占15%。這個(gè)比例與例3.5中得到的最優(yōu)解有所不同，但實(shí)際股票市場(chǎng)上每次股票買賣通?？傆薪灰踪M(fèi)，例如按交易額的1%收取交易費(fèi)，這時(shí)你是否需要對(duì)所持有的股票進(jìn)行買賣（換手），以便滿足“最優(yōu)解”的要求？建立模型仍用決策變量x1，x2和x3分別表示投資人應(yīng)當(dāng)投資股票A、B、C的比

39、例，進(jìn)一步假設(shè)購買股票A、B、C的比例為y1，y2和y3，賣出股票A、B、C的比例為z1，z2和z3。其中，yi與zi（i=1，2，3）中顯然最多只能有一個(gè)嚴(yán)格取正數(shù)，且x1，x2，x30， y1，y2，y30， z1，z2，z30。由于交易費(fèi)用的存在，這是約束x1+x2+x3=1不一定還成立（只有不進(jìn)行股票買賣，即y1=y2=y3=z1=z2=z3=0時(shí)，這個(gè)約束才成立）。其實(shí)，這個(gè)關(guān)系式的本質(zhì)是：當(dāng)前持有的總資金是守恒的（假設(shè)為“1個(gè)單位”），再有交易成本（1%）的情況下，應(yīng)當(dāng)表示成如下形式：x1+x2+x3+0.01（y1+y2+y3+z1+z2+z3）=1.另外，考慮到當(dāng)前持有的各只股

40、票的份額ci，xi，yi與zi（i=1，2，3）之間也應(yīng)該滿足守恒關(guān)系式Xi=ci+yi-zi, i=1,2,3.這就是新問題的約束條件，模型的其他部分不用改變。程序：MODEL:Title 考慮交易費(fèi)的投資組合模型;SETS: STOCKS/ A, B, C/: C,Mean,X,Y,Z; STST(Stocks,stocks): COV;ENDSETSDATA: TARGET = 1.15;! 股票的初始份額; c=0.5 0.35 0.15; ! Mean是收益均值,COV是協(xié)方差矩陣; mean=1.089083 1.213667 1.234583; COV=0.01080754 0.

41、01240721 0.01307513 0.01240721 0.05839170 0.05542639 0.01307513 0.05542639 0.09422681;ENDDATAOBJ MIN = sum(STST(i,j): COV(i,j)*x(i)*x(j);ONE SUM(STOCKS: X+0.01*Y+0.01*Z) = 1;TWO SUM(stocks: mean*x) >= TARGET;FOR(stocks: ADD x = c - y + z);END運(yùn)行并分析其結(jié)果。3.2.4 利用股票指數(shù)簡(jiǎn)化投資組合模型例3.8 繼續(xù)考慮例3.5（期望收益率仍定為15%）

42、。在實(shí)際的股票市場(chǎng)上，一般存在成千上萬的股票，這時(shí)計(jì)算兩兩之間的相關(guān)性（協(xié)方差矩陣）將是一件非常費(fèi)時(shí)甚至不可能的事情。例如，1000只股票就需要計(jì)算（1000 2）=499500個(gè)協(xié)方差。能否通過一定方式避免協(xié)方差的計(jì)算，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化呢？例如，例3.5中還給出了當(dāng)時(shí)股票指數(shù)的信息，但我們到此為止一直沒有利用，我們這一節(jié)就考慮利用股票指數(shù)隊(duì)前面的模型進(jìn)行修改和簡(jiǎn)化。問題分析可以認(rèn)為股票指數(shù)反映的是股票市場(chǎng)的大勢(shì)信息，對(duì)具體每只股票的漲跌通常是有顯著影響的。我們這里最簡(jiǎn)單化地假設(shè)每只股票的收益與股票指數(shù)呈線性關(guān)系，從而可以通過先行回歸方法找出這個(gè)線性關(guān)系。3.2.5 其他目標(biāo)下的投資組合模型目前

43、介紹的模型中都是在可能獲得的收益的數(shù)學(xué)期望滿足一定最低要求的前提下，用可能獲得的收益的方差來衡量投資風(fēng)險(xiǎn)，將其作為最小化目標(biāo)。這種做法的合理性通常至少要有兩個(gè)基本假設(shè)：（1） 可能獲得的收益的分布是對(duì)稱的（如正態(tài)分布）。因?yàn)檫@是未來收益高于設(shè)定的最低要求的機(jī)會(huì)和地域設(shè)定的最低要求的數(shù)量（高多少、低多少）和概率是一樣的?？上У氖?，實(shí)際中這個(gè)假設(shè)往往難以驗(yàn)證。（2） 投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)（或偏好）的效用函數(shù)是二次的。否則為什么只選擇收益（隨機(jī)變量）的二階矩（方差）來衡量風(fēng)險(xiǎn)是之最小化，而不采取其他階數(shù)的矩？ 一般來說，投資者實(shí)際關(guān)心的通常是未來收益地域設(shè)定的最低要求的數(shù)量（即低多少）和概率，也就是說關(guān)心的

44、是下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)（downside risk）。所以，如果分布不是對(duì)陳的，則采用收益的方差來衡量投資風(fēng)險(xiǎn)就不一定合適。為了克服這個(gè)缺陷，可以用收益低于最低要求的數(shù)量的均值（一階矩）作為下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)的衡量依據(jù)，即作為最小化的目標(biāo)。此外，也可以采用收益低于最低要求的數(shù)量的二階矩（即收益的半方差，semivariance）作為衡量投資風(fēng)險(xiǎn)的依據(jù)。其實(shí)，半方差計(jì)算與方差計(jì)算類似，只是只有當(dāng)收益低于最低要求的收益率時(shí)，才把兩者之差的平方計(jì)入風(fēng)險(xiǎn)，而對(duì)收益高于最低要求的收益率時(shí)的數(shù)據(jù)忽略不計(jì)。這方面的具體模型這里就不再詳細(xì)介紹了。下面介紹一個(gè)與上面這些優(yōu)化目標(biāo)完全不同的投資組合模型，這個(gè)模型雖然很簡(jiǎn)單，但卻會(huì)產(chǎn)生一

45、些非常有趣的現(xiàn)象。例39 假設(shè)市場(chǎng)上只有兩只股票A、B可供某個(gè)投資者購買，且該投資者對(duì)未來一年的股票市場(chǎng)進(jìn)行了仔細(xì)分析，認(rèn)為市場(chǎng)只能出現(xiàn)兩種可能的情況（1和2）。此外，該投資者對(duì)每種情況出現(xiàn)的概率、每種情況出現(xiàn)時(shí)兩只股票的增值情況都進(jìn)行了預(yù)測(cè)和分析（見表3-7，可以看出股票A、B的均值和方差都是一樣的）。該投資者是一位非常保守的投資人，其投資目標(biāo)是使兩種情況下最小的收益最大化（也就是說，不管未來發(fā)生哪種情況，他都能至少獲得這個(gè)收益）。如何建立模型和求解？情形發(fā)生概率股票A股票B10.81.01.220.21.50.73.3 市場(chǎng)營(yíng)銷問題3.3.1 新產(chǎn)品的市場(chǎng)預(yù)測(cè)例3.10 某公司開發(fā)了一種新

46、產(chǎn)品，打算與目前市場(chǎng)上已有的三種同類產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)，為了了解這種新產(chǎn)品在市場(chǎng)上的競(jìng)爭(zhēng)力，在大規(guī)模投放市場(chǎng)前，公司營(yíng)銷部門進(jìn)行了廣泛的市場(chǎng)調(diào)查，得到了表3-8。四種產(chǎn)品分別記為A、B、C、D，其中A為新產(chǎn)品，表中的數(shù)據(jù)的含義是：最近購買某種產(chǎn)品（用行表示）的顧客下次購買四種產(chǎn)品的機(jī)會(huì)（概率）。例如：表中第一行數(shù)據(jù)表示當(dāng)前購買產(chǎn)品A的顧客，下次購買產(chǎn)品A、B、C、D的概率分別為75%、10%、5%、10%。請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)調(diào)查結(jié)果，分析新產(chǎn)品A未來的市場(chǎng)份額大概是多少？產(chǎn)品ABCDA0.750.10.050.1B0.40.20.10.3C0.10.20.40.3D0.20.20.30.3問題分析新產(chǎn)品進(jìn)入市

47、場(chǎng)后，初期的市場(chǎng)份額將會(huì)不斷發(fā)生變化，因此，本例中的問題是一個(gè)離散動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程，也就是馬氏鏈（Markov chain）。很明顯，上面給出的表實(shí)際上是轉(zhuǎn)移概率矩陣（注意每行元素的和肯定為1）。要分析新產(chǎn)品A未來的市場(chǎng)份額，就是要計(jì)算穩(wěn)定狀態(tài)下每種產(chǎn)品的概率。模型建立記N為產(chǎn)品種數(shù)，產(chǎn)品編號(hào)為i（i=1，2，N），轉(zhuǎn)移概率矩陣的元素記為Tij，穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)品i的市場(chǎng)份額記為pi。因?yàn)槭欠€(wěn)定狀態(tài)，所以應(yīng)該有（如想進(jìn)一步了解理論上的分析，請(qǐng)參閱其他有關(guān)馬氏鏈的書籍）：Pi=Tjipi i=1,2,N。不過，這N個(gè)方程實(shí)際上并不獨(dú)立，至少有一個(gè)是冗余的。好在我們還有另一個(gè)約束，即N種產(chǎn)品的市場(chǎng)份額之和

48、等于1：pi=1可見，這個(gè)問題的模型實(shí)際上是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方程組（當(dāng)然，還應(yīng)該增加概率pi非負(fù)的約束）。如果把這些看成約束條件，那就是一個(gè)特殊的優(yōu)化模型(沒有目標(biāo)函數(shù))。程序：MODEL:TITLE 新產(chǎn)品的市場(chǎng)預(yù)測(cè);SETS: PROD/ A B C D/: P; LINK(PROD, PROD): T;ENDSETSDATA: ! 轉(zhuǎn)移概率矩陣; T = .75 .1 .05 .1 .4 .2 .1 .3 .1 .2 .4 .3 .2 .2 .3 .3;ENDDATAFOR(PROD(I)| I #LT# SIZE(PROD): !去掉了一個(gè)冗余約束; P(I)=SUM(LINK(J,I)

49、: P(J)* T(J,I) );SUM(PROD: P) = 1;FOR(PROD(I): WARN( '輸入矩陣的每行之和必須是1', ABS( 1 - SUM(LINK(I,J): T(I,J) #GT# .000001); );END運(yùn)行并分析其結(jié)果。3.3.2 產(chǎn)品屬性的效用函數(shù)一般來講,每種產(chǎn)品(如某種品牌的小汽車)都有不同方面的屬性,例如價(jià)格、安全性、外觀、保質(zhì)期等.在設(shè)計(jì)和銷售新產(chǎn)品之前，了解顧客對(duì)每種屬性的各個(gè)選項(xiàng)的偏好程度非常重要.偏好程度可以用函數(shù)來表示,即某種屬性的不同選項(xiàng)對(duì)顧客的價(jià)值(效用).不幸的是,讓顧客直接精確地給出每個(gè)屬性的效用函數(shù)一般是很困難

50、的,例如對(duì)于價(jià)格,一般的顧客當(dāng)然會(huì)說越便宜越好,但很難確定10萬元的價(jià)格和15萬元的價(jià)格的效用具體是多少.但是,對(duì)于具體的產(chǎn)品,產(chǎn)品的各個(gè)屬性的具體選項(xiàng)配置都已經(jīng)確定下來了,所以如果我們把一些具體的產(chǎn)品讓顧客進(jìn)行評(píng)估打分,顧客通常能比較容易地給出具體產(chǎn)品效用.那么,從這些具體產(chǎn)品的效用信息中,我們能否反過來估計(jì)每個(gè)屬性中各個(gè)喧響的效用呢?這種方法通常稱為聯(lián)合分析(conjint analysis).縣棉通過一個(gè)例子說明。例3.11 對(duì)某種牌號(hào)的小汽車，假設(shè)只考慮兩種屬性:價(jià)格和安全氣囊，價(jià)格分為12.9萬元和、9.9萬元、7.9萬元；安全氣囊的配置為兩個(gè)、一個(gè)、沒有，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，顧客對(duì)該廠品

51、的不同配置的偏好程度（效用）如表3-9所示表中的值(權(quán)重)越大表示顧客越喜歡).那么價(jià)格和安全氣囊的效用函數(shù)如何?價(jià)格/萬元安全氣囊21012.97319.98427.9965建立模型記價(jià)格選項(xiàng)分別為H(高)M(中)L(低),對(duì)應(yīng)的效用為pj(j=H,M,L);安全氣囊選項(xiàng)分別為0,1,2,對(duì)應(yīng)的效用是線性可加的,即當(dāng)價(jià)格選項(xiàng)為j、安全氣囊為i時(shí)。具體產(chǎn)品的效用c(i,j)應(yīng)該可以用價(jià)格的和安全氣囊的效用來估計(jì):c(i,j)=pj+qi那么,如何比較不同的估計(jì)的好壞呢?一種簡(jiǎn)單的想法是針對(duì)6個(gè)待定參數(shù)(pj和qi),表中給出9組數(shù)據(jù),因此可以用最小二乘法確定pj和qi.也就說,此時(shí)的目標(biāo)為minc(i,j)-c0(i,j)2,其中,c0(i,j)是表中的數(shù)據(jù)(安全氣囊選項(xiàng)為i價(jià)格選項(xiàng)為j時(shí)具體產(chǎn)品的