全等三角形之手拉手模型與半角模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形之手拉手模型與半角模型專心-專注-專業(yè)目 錄1 手拉手模型1.1 定義如上圖所示，手拉手模型是指有公共頂點(diǎn)（A）、頂角相等（）的兩個(gè)等腰三角形（ABE，AB=AE；ACD，AC=AD），底邊端點(diǎn)相互連接形成的全等三角形模型（ABDAEC）。因?yàn)轫斀窍噙B的四條邊（腰）可形象地看成兩雙手，所以通常稱為手拉手模型。說(shuō)明：Ø 左、右手的定義將等腰三角形頂角頂點(diǎn)朝上，正對(duì)我們，我們左邊為左手，右邊為右手。Ø 拉手的方式：左手拉左手，右手拉右手。Ø 構(gòu)成手拉手模型的3個(gè)條件：1. 兩個(gè)等腰三角形2. 有公共頂點(diǎn)3. 頂角相等Ø 全

2、等三角形的構(gòu)成方式：由“頂點(diǎn)+雙方各一只手”構(gòu)成：“頂點(diǎn)+左手+左手”，“頂點(diǎn)+右手+右手”。搞清這一點(diǎn)，有助于我們快速找到全等三角形。Ø 等腰三角形的底邊（BE、CD）不是必須的，可以不連接，所以圖中用虛線表示。這就是為什么做題時(shí)發(fā)現(xiàn)有時(shí)并不存在等腰三角形卻仍然用手拉手模型的原因。1.2 任意等腰三角形下的手拉手模型下面，將給出一些重要結(jié)論，熟悉這些結(jié)論有助于我們快速解題。需要強(qiáng)調(diào)的是，這些結(jié)論不能直接用，需要證明，所以要記住以下每個(gè)結(jié)論的證明。結(jié)論1：ABDAEC說(shuō)明：這里的全等三角形的構(gòu)成方式為“頂點(diǎn)+雙方各一只手”構(gòu)成。證明：（等角+公共角相等）在ABD和AEC中 ABDAE

3、C（SAS）結(jié)論2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）證明：ABDAECBD=EC結(jié)論3： +BOC=180°說(shuō)明：BOC是手拉手形成的角，我們稱O為“手拉手交點(diǎn)”。證明：ABDAECADB=ACE又APC=OPD（對(duì)頂角相等） COD=180°-OPD-ADB（三角形內(nèi)角和） CAD=180°-APC -ACE（三角形內(nèi)角和）COD=CAD= +BOC=180°結(jié)論4：OA平分BOC證明：如圖，連接AO，過(guò)點(diǎn)A做AMBD于M，ANCE于NABDAECBD = EC，SABDSAEC 1 2BD×AM = 1 2EC×AN AM

4、=AN（AM、AN 分別是BD、EC 邊上的高，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等） OA平分BOC（角平分線的判定）1.3 等邊三角形下的手拉手模型等邊三角形是等腰三角的一種特例，自然也有相應(yīng)的手拉手模型，具有任意等腰三角形下的手拉手模型的結(jié)論1結(jié)論4。但由于等邊三角形更特殊，所有還有新的結(jié)論5。圖1 等邊三角形下的手拉手模型結(jié)論1：ABDAEC略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論3： +BOC=180&

5、#176;略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論4：OA平分BOC略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論5：BOE=COD = =60°說(shuō)明：BOE、COD是等邊三角形底邊與“交點(diǎn)”形成的角。證明： +BOC=180°BOE=180°-BOC=60°BOE=60°COD =BOE=60°（對(duì)頂角相等）1.4 等腰直角三角形下的手拉手模型同樣道理，等腰直角三角形也是等腰三角的一種特例，自然也有相應(yīng)的手拉手模型，具有任意等腰三角形下的手拉手模型的結(jié)論1

6、結(jié)論4。但由于等腰直角三角形更特殊，所有還有新的結(jié)論5。圖2 等腰直角三角形下的手拉手模型1在Error! Reference source not found.手拉手模型定義一節(jié)中指出：“等腰三角形的底邊（BE、CD）不是必須的，可以不連接，所以圖中用虛線表示。這就是為什么做題時(shí)發(fā)現(xiàn)有時(shí)并不存在等腰三角形卻仍然用手拉手模型的原因”。下圖就是這樣一種情況（圖中正方形ABFE、正方形ACGD），稱為等腰直角三角形下的手拉手模型2，這個(gè)模型考題中也比較常見(jiàn)。圖3 等腰直角三角形下的手拉手模型2結(jié)論1：ABDAEC略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論2：

7、BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論3： +BOC=180°略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論4：OA平分BOC略（同Error! Reference source not found.）。結(jié)論5：BOE=COD = =90°（等邊三角形底邊與“交點(diǎn)”形成的角）證明： +BOC=180°BOE=180°-BOC=90°BOE=90°COD =BOE=90°（對(duì)頂角相等）1.5 例題手拉手模型題型

8、是一種常見(jiàn)的題型，但考試時(shí)不會(huì)告訴我們是手拉手題型，因此首選需要我們識(shí)別出是手拉手模型題型，然后再利用手拉手題型的幾個(gè)結(jié)論進(jìn)行求解。熟悉手拉手模型的幾個(gè)結(jié)論以及證明方法可以高效解題。例：如圖1，ABC和CDE為等邊三角形 圖1 圖2（1）求證：BD=AE；（2）若等邊CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到BC、EC在一條直線上時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)給予證明；（3）旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，若F為BD中點(diǎn)，G為AE中點(diǎn)，連接FG，求證：CFG為等邊三角形；FGBC分析：識(shí)別出手拉手模型是解題的關(guān)鍵，而（1）問(wèn)就是證明“結(jié)論2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）”；解答：（1）證明：ABC與CDE是等邊三角形AC

9、E=60°-ACD，BCD=60°-ACD，AC=BC，CE=CDACE=BCD在ACE與BCD中ACEBCD（SAS）BD=AE（2）結(jié)論仍然成立，證明如下：順時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)ABC與CDE是等邊三角形ACE=60°+ACD，BCD=60°+ACD，AC=BC，CE=CDACE=BCD在ACE與BCD中ACEBCD（SAS）BD=AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABC與CDE是等邊三角形ACE=60°，BCD=60°，AC=BC，CE=CDACE=BCD在ACE與BCD中ACEBCD（SAS）BD=AE綜上，BD=AE。（3）證明：ACEBCDCBF=CAG

10、，AE=BDF是BD中點(diǎn)，G是AE中點(diǎn)BF=AG，又BC=AC在ACG與BCF中ACGBCF（SAS）CF=CG，BCF=ACG=60°CFG=CGF（等邊對(duì)等角），F(xiàn)CG=ACG =60°CFG=CGF= 180°-FCG 2 = 180°-60° 2 =60°CFG=CGF=ACG =60°CFG是等邊三角形證明：CFG=ACB=60°FGBC2 半角模型2.1 定義把過(guò)等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型稱為半角模型。以上定義不直觀，下面舉例說(shuō)明：半角模型1：下圖

11、中，ABC是等邊三角形，DBC是等腰三角形，BDC=120°，EDF=60°。圖4 半角模型1半角模型2：下圖中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，DAE=45°。圖5 半角模型2半角模型3：下圖中，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，EAF=45°。圖6 半角模型3說(shuō)明：Ø 同手拉手模型一樣，定義時(shí)為了描述方便，出現(xiàn)了“等腰三角形”，但事實(shí)上，“等腰三角形的底邊不是必須的，可以不連接。Error! Reference source not found.就是這種情況。Ø 常見(jiàn)的構(gòu)成半角模型的圖形有正三角

12、形（Error! Reference source not found.），等腰直角三角形（Error! Reference source not found.），正方形（Error! Reference source not found.），這三種我們要熟悉。Ø 解題時(shí)要善于識(shí)別出半角模型，識(shí)別時(shí)抓住以下兩個(gè)特征：1. 大角內(nèi)部有一個(gè)小角，小角角度是大角的一半；2. 大角的兩邊相等2.2 半角模型解題思路半角模型解題思路是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，應(yīng)用兩次全等（兩次全等判定都是SAS型）解題，具體步驟如下：Step1： 將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時(shí)通常

13、不一定是說(shuō)旋轉(zhuǎn)，因?yàn)椴荒鼙ＷC旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角形的邊共線）；Step2： 證明Step1中構(gòu)造的三角形與原三角形全等（SAS）；（如果Step1中是通過(guò)旋轉(zhuǎn)方式得到三角形，則沒(méi)有這一步）Step3： 證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等（SAS）；Step4： 通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段相等、角度相等，從而解決問(wèn)題。上面步驟不是很好理解，可以結(jié)合下面具體的例子理解。2.3 半角模型1（等邊三角形內(nèi)含半角）解題方法例：下圖中，ABC是等邊三角形，DBC是等腰三角形，DB=DC，BDC=120°，EDF=60°。求證：EF=BE+CF。 分析：通過(guò)條件可知本題是半角模型題，可

14、以運(yùn)用上面介紹的解題方法做。為了更好地理解思路，題中按步驟分成了幾部分。證明：Step1： 將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時(shí)通常不是說(shuō)旋轉(zhuǎn)，因?yàn)椴荒鼙ＷC旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角形的邊共線）；如圖，延長(zhǎng)FC到G，使CG=BE，連接DG（記住輔助線的作法）Step2： 證明Step1中構(gòu)造的三角形與原三角形全等（如果Step1中是通過(guò)旋轉(zhuǎn)方式得到三角形，則沒(méi)有這一步）；DB=DC，BDC=120°BCD=DBC = 1 2（180°-120°）=30°ABC是等邊三角形ABC=ACB=60°DCG =180°-A

15、CB-BCD=180°-60°-30°=90°DBE =ABC+DBC=60°+30°=90°DCG =DBE在CDG和BDECDGBDE（SAS）Step3： 證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等；DG=DE，CG=BE，CDG =BDEGDF =CDG+CDF=BDE+CDF=BDC-EDFBDC=120°，EDF=60°GDF =120°-60°=60°EDF=GDF=60° 在DEF和DGFDEFDGF（SAS）Step4： 通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段

16、相等、角度相等，從而解決問(wèn)題。EF=GFGF=FC+CG（共線的線段關(guān)系）EF =FC+ BE（等量代換）即EF = BE+CF（變成問(wèn)題形式）2.4 半角模型2（等腰直角三角形內(nèi)含半角）解題方法例：下圖中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，DAE=45°。求證：DE2=BD2+CE2。 分析：通過(guò)條件可知本題是半角模型題，可以運(yùn)用上面介紹的解題方法做。為了更好地理解思路，題中按步驟分成了幾部分。證明：Step1： 將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時(shí)通常不是說(shuō)旋轉(zhuǎn)，因?yàn)椴荒鼙ＷC旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角形的邊共線）；如圖，將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

17、得到ACF，連接EF。Step2： 證明Step1中構(gòu)造的三角形與原三角形全等（如果Step1中是通過(guò)旋轉(zhuǎn)方式得到三角形，則沒(méi)有這一步）；(本題沒(méi)有這一步)Step3： 證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等；BAC=90°，DAE=45°，BAD+EAC =90°-45°=45°ACF由ABD旋轉(zhuǎn)得到CAF=BAD，AF=AD，CF=BDFAE=CAF+EAC =45°DAE=EAF在ADE和AFEADEAFE（SAS）Step4： 通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段相等、角度相等，從而解決問(wèn)題。DE=FEECF=BCA+ACF =45

18、°+45°=90°EF2=CF2+CE2DE2=BD2+CE2（等量代換）2.5 半角模型3（正方形內(nèi)含半角）解題方法例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，EAF=45°，求證：EF=BE+DF。 分析：通過(guò)條件可知本題是半角模型題，可以運(yùn)用上面介紹的解題方法做。為了更好地理解思路，題中按步驟分成了幾部分。證明：Step1： 將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時(shí)通常不是說(shuō)旋轉(zhuǎn)，因?yàn)椴荒鼙ＷC旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角形的邊共線）；如圖，延長(zhǎng)CB到G，使GB=DF，連接AG。Step2： 證明Step1中構(gòu)造的三角形與原三角形全等（如果Step1中是通過(guò)旋轉(zhuǎn)方式得到三角形，則沒(méi)有這一步）；在ABG和ADF中ABGADF（SAS）Step3： 證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等；3=2，AG=AFBAD=90°，EAF=45°1+2=45°GAE=1+3=45°=EAF在AGE和AFEAGEAFE（SAS）GE=EFStep4： 通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段相等、角度相等，從而解決問(wèn)題。GE=GB+BEEF =DF+BE2.6 例題