小專題(五)　函數(shù)中的決策問題

1、.小專題五函數(shù)中的決策問題要解決二次函數(shù)模型作決策的問題必須做到兩點:一是建模,它是解容許用題的最關鍵的步驟,即在閱讀材料,理解題意的根底上,把實際問題的本質抽象轉化為數(shù)學問題,從而根據(jù)題意建立二次函數(shù)模型;二是解模,即運用所學的知識和方法對數(shù)學模型進展分析、運算,解答純數(shù)學問題,最后檢驗所得的解,寫出實際問題的結論.類型1利潤問題中的決策1.某商家方案從廠家采購空調和冰箱兩種產品共20臺,空調的采購單價y1元/臺與采購數(shù)量x1臺滿足y1=-20x1+15000<x120,x1為整數(shù);冰箱的采購單價y2元/臺與采購數(shù)量x2臺滿足y2=-10x2+13000<x220,x2為整數(shù).1

2、經商家與廠家協(xié)商,采購空調的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的119倍,且空調采購單價不低于1200元,問該商家共有幾種進貨方案?2該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調和冰箱,且全部售完,在1的條件下,問采購空調多少臺時總利潤最大?并求最大利潤.解:1由題意可知,空調的采購數(shù)量為x1臺,那么冰箱的采購數(shù)量為20-x1臺,由題意,得x1119(20-x1),-20x1+15001200,解得11x115.x1為整數(shù),x1可取的值為11,12,13,14,15.該商家共有5種進貨方案.2設總利潤為W元,y2=-10x2+1300=-1020-x1+1300=10x1+1100,那么W=1

3、760-y1x1+1700-y2x2=1760x1-20x1+1500x1+1700-10x1-110020-x1=1760x1+20x12-1500x1+10x12-800x1+12019=30x12-540x1+12019=30x1-92+9570.當x1>9時,W隨x1的增大而增大,11x115,當x1=15時,W最大值=30×15-92+9570=10650.答:采購空調15臺時總利潤最大,最大利潤為10650元.2.某文具店購進一批紀念冊,每本進價為20元,出于營銷考慮,要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y本與每本紀念

4、冊的售價x元之間滿足一次函數(shù)關系:當銷售單價為22元時,銷售量為36本;當銷售單價為24元時,銷售量為32本.1請直接寫出y與x的函數(shù)解析式.2設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元,將該紀念冊銷售單價定為多少元時,才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?解:1設y=kx+b,把22,36與24,32代入得22k+b=36,24k+b=32,解得k=-2,b=80,那么y=-2x+80.2由題意可得w=x-20-2x+80=-2x2+120x-1600=-2x-302+20020x28,又x<30時,y隨x的增大而增大,當x=28時,w最大=-2×28-3

5、02+200=192元.類型2幾何問題中的決策3.如圖,ABC是邊長為3 cm的等邊三角形,動點P,Q同時從A,B兩點出發(fā),分別沿AB,BC方向勻速挪動,它們的速度都是1 cm/s,當點P運動到B點時,P,Q兩點停頓運動,設P點運動時間為ts.1當t為何值時,PBQ是直角三角形?2設四邊形APQC的面積為ycm2,求y關于t的函數(shù)解析式,當t取何值時,四邊形APQC的面積最小?并求出最小值.解:1由題意可知,B=60°,BP=3-t cm,BQ=t cm.假設PBQ是直角三角形,那么BPQ=30°或BQP=30°,于是BQ=12BP或BP=12BQ.即t=123-

6、t或3-t=12t,解得t=1或t=2,即當t為1 s或2 s時,PBQ是直角三角形.2過點P作PMBC于點M,那么易知BM=12BP=123-t cm,PM=BP2-BM2=323-t.S四邊形APQC=SABC-SPBQ=12×3×332-12t·323-t=34t2-334t+934,即y=34t2-334t+934,易知0<t<3,于是y=34t-322+27316,當t=32時,y獲得最小值,為27316.4.如圖,把一張長10 cm,寬8 cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形,再折合成一個無蓋的長方體盒子紙板的厚度忽略不計,從美

7、觀的角度考慮要求底面的短邊與長邊的比不小于23,設四周小正方形的邊長為x cm.1求盒子的側面積S側與x的函數(shù)解析式,并求x的取值范圍;2求當正方形的邊長x為何值時側面積S側有最大值;3假設要求側面積不小于28 cm2,直接寫出正方形的邊長x的取值范圍.解:1由題意,得S側=210-2xx+28-2xx,S側=-8x2+36x.因為8-2x10-2x23,所以x2.因為x>0,所以0<x2.2因為S側=-8x2+36x,所以S側=-8x-942+812.因為a=-8<0,所以在對稱軸的左側,S側隨x的增大而增大,因為0<x2,所以當x=2時,S側=40.故當x=2時,S

8、側有最大值為40.3由題意,得-8x2+36x28,整理得x-12x-70,所以x-10,2x-70,x-10,2x-70,解得原不等式組無解,解得1x72.又因為0<x2,故正方形的邊長x的取值范圍是1x2.類型3實際問題中的決策5.青島中考如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構成,長方形的長是12 m,寬是4 m.按照圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=-16x2+bx+c表示,且拋物線的點C到墻面OB的程度間隔 為3 m時,到地面OA的間隔 為172 m.1求該拋物線的函數(shù)解析式,并計算出拱頂D到地面OA的間隔 .2一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6 m,寬為4 m,假如隧道內設雙向行車道,那么這輛貨車能否平安通過?3在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,假如燈離地面的高度不超過8 m,那么兩排燈的程度間隔 最小是多少米?解:1拋物線解析式為y=-16x2+2x+4,即y=-16x-62+10,所以D6,10,所以拱頂D到地面OA的間隔 為10 m.