《Banach代數(shù)》課程教學(xué)大綱

1、Banach 代數(shù)課程教學(xué)大綱課程名稱Banach 代數(shù)課程編碼131510016課程類型（學(xué)院內(nèi)）跨專業(yè)課程適用范圍數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)分?jǐn)?shù)3先修課程數(shù)學(xué)分析、幾何與代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、 實(shí)變函數(shù)、泛函分析學(xué)時(shí)數(shù)48其中實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)其中實(shí)踐學(xué)時(shí)考核方式考查制定單位數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院執(zhí)筆者審核者一、教學(xué)大綱說明（一）課程的性質(zhì)、地位、作用和任務(wù) Banach代數(shù)研究是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它綜合地運(yùn)用泛函分析分析與代數(shù)一般理論，以此來處理經(jīng)典分析中的許多重要問題，發(fā)展出的一個(gè)新的方向?，F(xiàn)在Banach代數(shù)已成為一門內(nèi)容豐富，方法系統(tǒng)，體系完備，應(yīng)用廣泛的獨(dú)立分支，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，Banach代數(shù)

2、的概念、方法已經(jīng)滲透到泛函分析、函數(shù)論、調(diào)和分析等數(shù)學(xué)分支而且日益廣泛地被應(yīng)用于自然科學(xué)，工科技術(shù)理論和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域 通過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能學(xué)到分析與代數(shù)的基本理論和方法，而且對(duì)學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)分支以及把他應(yīng)用到現(xiàn)代控制論，量子力學(xué)，等領(lǐng)域有很大幫助。（二）教學(xué)目的和要求通過本課程的學(xué)習(xí),使學(xué)生較好地掌握Banach代數(shù)的基本思想、理論和方法，為后繼專業(yè)課程、為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論打下良好基礎(chǔ)。1掌握Banach空間，Banach空間上的弱拓?fù)渑c弱*拓?fù)洌珹laoglu定理，Hahn-Banach定理，開映射定理。Banach代數(shù)，乘積線性泛函，極大理想空間，Gelfand變換，譜半

3、徑公式，Stone-Weierstrass定理，絕對(duì)收斂的Fourier序列函數(shù)代數(shù)，有界可測(cè)函數(shù)代數(shù)，Hilbert空間幾何理論，伴隨算子，正規(guī)，自伴算子，投影與子空間，C*-代數(shù)，弱與強(qiáng)算子拓?fù)?，W*-代數(shù)，有限秩算子與緊算子理想，緊算子逼近，Hardy空間理論，F(xiàn)與MRiesz定理。2理解 Hardy空間理論，Banach代數(shù)的抽象指標(biāo)，交換代數(shù)的Gelfand定理，圓盤代數(shù)，Gelfand-Naimark定理，函數(shù)演算，正算子的平方根，單邊，雙邊移位算子，極分解，有循環(huán)向量的正規(guī)算子，極大交換C*-代數(shù)，擴(kuò)張函數(shù)演算，F(xiàn)uglede定理，F(xiàn)redholm抉擇，C*-商代數(shù)，緊算子的C*

4、-代數(shù)表示， 酉算子的約化子空間，Beurling定理，內(nèi)外因子分解，外函數(shù)的模，的閉性質(zhì)，Gleason-Whitney定理，的極大理想空間，與之間的子代數(shù)，調(diào)和擴(kuò)張，函數(shù)在中的逆。3了解Calkin代數(shù)與Fredholm算子，F(xiàn)redholm指標(biāo)，指標(biāo)的刻畫，的極大理想空間，Toeplitz算子，譜包含定理，符號(hào)映射，自伴與解析Toeplitz算子的譜，由單邊移位生成的C*-代數(shù)，具有連續(xù)符號(hào)Toeplitz算子的可逆性，符號(hào)在中Toeplitz算子的譜，本性譜的連通性，C*-代數(shù)的中心的局部化，Toeplitz算子的Fredholm理論。（三）課程教學(xué)方法與手段本課程采用講授、習(xí)題課和自

5、學(xué)相結(jié)合的方法老師講授百分之八十的基本內(nèi)容, 其余內(nèi)容由學(xué)生自學(xué)、教師輔導(dǎo)。（四）課程與其它課程的聯(lián)系 先修課程有：數(shù)學(xué)分析，復(fù)變函數(shù)，泛函分析，線性代數(shù)，空間解析幾何本課程是學(xué)習(xí)C*-代數(shù)，算子代數(shù)K-理論的基礎(chǔ)。（五）教材與教學(xué)參考書 教材：R G,Banach Algebra Techniques in Operator Theory,，。教學(xué)參考書：1、張恭慶、林源渠編著，泛函分析講義（上冊(cè)），北京大學(xué)出版社，2001年10月。2、李炳仁,代數(shù),科學(xué)出版社，年。二、課程的教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn) 第一章 Banach空間教學(xué)內(nèi)容：Banach空間，連續(xù)線性泛函與對(duì)偶空間，線性Banach空

6、間上的弱拓?fù)渑c弱*拓?fù)?，Alaoglu定理，Hahn-Banach定理，開映射定理，與，Hardy空間與。重點(diǎn)：Banach空間，連續(xù)線性泛函與對(duì)偶空間，線性Banach空間上的弱拓?fù)渑c弱*拓?fù)洌珹laoglu定理，Hahn-Banach定理，開映射定理。難點(diǎn)：Banach空間，連續(xù)線性泛函與對(duì)偶空間，線性Banach空間上的弱拓?fù)渑c弱*拓?fù)?，Alaoglu定理，Hahn-Banach定理，開映射定理。第二章 Banach代數(shù)教學(xué)內(nèi)容：Banach代數(shù)，乘積線性泛函，Gelfand變換，譜半徑公式，極大理想空間，Stone-Weierstrass定理，絕對(duì)收斂的Fourier序列函數(shù)代數(shù)，有界

7、可測(cè)函數(shù)代數(shù)，GelfandMazur定理，Banach代數(shù)的抽象指標(biāo)，交換代數(shù)的Gelfand定理，圓盤代數(shù)，有界可測(cè)函數(shù)代數(shù)。重點(diǎn)：Banach代數(shù)，乘積線性泛函，Gelfand變換，譜半徑公式，極大理想空間，Stone-Weierstrass定理，交換代數(shù)的Gelfand定理，難點(diǎn)：GelfandMazur定理，Banach代數(shù)的抽象指標(biāo)，交換代數(shù)的Gelfand定理。第三章 Hilbert空間幾何教學(xué)內(nèi)容：內(nèi)積空間，CauchySchwarz不等式，勾股定理，Hilbert空間，表示定理，正規(guī)正交基，Hilbert空間的維數(shù)。重點(diǎn)：Hilbert空間，Riesz表示定理，正規(guī)正交基，H

8、ilbert空間的維數(shù)。難點(diǎn)：Hilbert空間，Riesz表示定理，正規(guī)正交基，Hilbert空間的維數(shù)。第四章 Hilbert空間上的算子與C*-代數(shù)教學(xué)內(nèi)容：伴隨算子，正規(guī)，自伴算子，投影與子空間，C*-代數(shù)，弱與強(qiáng)算子拓?fù)?，W*-代數(shù)，Gelfand-Naimark定理，函數(shù)演算，正算子的平方根，單邊，雙邊移位算子，極分解，有循環(huán)向量的正規(guī)算子，極大交換C*-代數(shù)，擴(kuò)張函數(shù)演算，F(xiàn)uglede定理，重點(diǎn)：伴隨算子，正規(guī)，自伴算子，投影與子空間，C*-代數(shù)，弱與強(qiáng)算子拓?fù)?，W*-代數(shù)，Gelfand-Naimark定理，函數(shù)演算，難點(diǎn)：函數(shù)演算，正算子的平方根，單邊，雙邊移位算子，極分解

9、，有循環(huán)向量的正規(guī)算子，極大交換C*-代數(shù)，擴(kuò)張函數(shù)演算，F(xiàn)uglede定理，第五章 緊算子，F(xiàn)redholm算子與指標(biāo)理論教學(xué)內(nèi)容：有限秩算子與緊算子理想，緊算子逼近，Calkin代數(shù)與Fredholm算子，F(xiàn)redholm指標(biāo)，指標(biāo)的刻畫，F(xiàn)redholm抉擇，C*-商代數(shù)，緊算子的C*-代數(shù)表示。重點(diǎn)： Calkin代數(shù)與Fredholm算子，F(xiàn)redholm指標(biāo)，指標(biāo)的刻畫。難點(diǎn)：Fredholm抉擇，C*-商代數(shù)，緊算子的C*-代數(shù)表示。第六章 Hardy空間教學(xué)內(nèi)容：Hardy空間，F(xiàn)與MRiesz定理。酉算子的約化子空間，Beurling定理，內(nèi)外因子分解，外函數(shù)的模，的閉性質(zhì)，

10、Gleason-Whitney定理，的極大理想空間，與之間的子代數(shù)，調(diào)和擴(kuò)張，函數(shù)在中的逆。重點(diǎn)：Hardy空間，F(xiàn)與MRiesz定理。酉算子的約化子空間，Beurling定理，內(nèi)外因子分解，外函數(shù)的模，的閉性質(zhì)，難點(diǎn)：Gleason-Whitney定理，的極大理想空間，與之間的子代數(shù)，調(diào)和擴(kuò)張，函數(shù)在中的逆。第七章Toeplitz算子教學(xué)內(nèi)容：Toeplitz算子，譜包含定理，符號(hào)映射，自伴與解析Toeplitz算子的譜，由單邊移位生成的C*-代數(shù)，具有連續(xù)符號(hào)Toeplitz算子的可逆性，符號(hào)在中Toeplitz算子的譜，本性譜的連通性，C*-代數(shù)的中心的局部化，Toeplitz算子的Fredholm理論。重點(diǎn)：Toeplitz算子，譜包含定理，符號(hào)映射，自伴與解析Toeplitz算子的譜，由單邊移位生成的C*-代數(shù)難點(diǎn)：譜包含定理，符號(hào)映射，自伴與解析Toeplitz算子的譜，由單邊移位生成的C*-代數(shù)，具有連續(xù)符號(hào)Toeplitz算子的可逆性，符號(hào)在中Toeplitz算子的譜，本性譜的連通性，C*-代數(shù)的中心的局部化，Toeplitz算子的Fredholm理論。三、學(xué)時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)