高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題數(shù)列講座

1、西鄉(xiāng)一中2008年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)培訓(xùn)資料 熊有剛高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的常用方法高考要求 數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用 數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列Sn的通項(xiàng) 通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對數(shù)列問題考查中的熱點(diǎn)，本點(diǎn)的動態(tài)函數(shù)觀點(diǎn)解決有關(guān)問題，為其提供行之有效的方法 重難點(diǎn)歸納 1 數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同 因此在研究數(shù)列問題時(shí)既要注意函

2、數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性 2 數(shù)列an前n 項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式 an=3 求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法 作等差數(shù)列與等比數(shù)列 累差疊加法 最基本形式是 an=(anan1 ) + (an1+an2) + (a2a1) + a1 歸納、猜想法 遞推數(shù)列： 4 數(shù)列前n項(xiàng)和常用求法重要公式：1+2+n=n(n+1) ， 12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 裂項(xiàng)求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(n)，然

3、后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng) 應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng) 錯(cuò)項(xiàng)相消法并項(xiàng)求和法數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法 典型題例示范講解 例1已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，對一切nN*，都有=an+1成立，求 命題意圖 本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的極限，以及運(yùn)算能力和綜合分析問題的能力 知識依托 本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常明

4、顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項(xiàng)和，實(shí)質(zhì)上是該數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列an的關(guān)系，借助通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口 錯(cuò)解分析 本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計(jì)算不準(zhǔn)易出錯(cuò)；(2)問中對條件的正確認(rèn)識和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵 技巧與方法 本題(1)問運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列dn運(yùn)用和與通項(xiàng)的關(guān)系求出dn，絲絲入扣解 (1)a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1

5、)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1(2)令=dn，則d1+d2+dn=an+1,(nN*),dn=an+1an=2,=2,即cn=2·bn=8·(2)n1；Sn=1(2)n 例2、設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng) (1)寫出數(shù)列an的前3項(xiàng) (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)(3)令bn=(nN*)，求 (b1+b2+b3+bnn) 解析 (1)由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有，S1=a1，解得a1=2 當(dāng)n=2時(shí)，有，S2=a1+a2

6、，將a1=2代入，整理得(a22)2=16，由a20，解得a2=6 當(dāng)n=3時(shí)，有，S3=a1+a2+a3，將a1=2，a2=6代入，整理得(a32)2=64，由a30，解得a3=10 故該數(shù)列的前3項(xiàng)為2，6，10 (2）解法一 由(1）猜想數(shù)列an 有通項(xiàng)公式an=4n2 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式是an=4n2，(nN*） 當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?×12=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即有ak=4k2，由題意，有，將ak=4k2 代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由題意，有，Sk+1=Sk+ak+1，將Sk=2k2代入得()2

7、=2(ak+1+2k2)，整理得ak+124ak+1+416k2=0，由ak+10，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)2，即當(dāng)n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立 根據(jù)，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)nN*成立 解法二 由題意知，(nN*) 整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，an+1=Sn+1Sn=(an+1+2)2(an+2)2 整理得(an+1+an）(an+1an4)=0，由題意知an+1+an0，an+1an=4，即數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a1=2，公差d=4 an=a1+(n1)d=2+4(n1)，即通項(xiàng)公式為an=4n2 解法三 由已知得,(

8、nN*)，所以有，由式得，整理得Sn+12·+2Sn=0，解得，由于數(shù)列an為正項(xiàng)數(shù)列，而，因而，即Sn是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列 所以= +(n1) =n,Sn=2n2，故an=即an=4n2(nN*) (3)令cn=bn1，則cn=例3、數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（），又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，（），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得：又也滿足上式，例4、設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由已知得解得設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得由題意得故數(shù)列的通項(xiàng)為（2）

9、由于由（1）得 又是等差數(shù)列 故西鄉(xiāng)一中2008年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)培訓(xùn)試題（三）1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和, 其中是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2、在數(shù)列中，解：（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明：由題設(shè)，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列（）解：由（）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以數(shù)列的前項(xiàng)和3、設(shè)數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：(I)驗(yàn)證時(shí)也滿足上式，(II) ， ， 4、數(shù)列中，（是常數(shù)，），且 成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式 解：（I），因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，解得或當(dāng)

10、時(shí)，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時(shí)，由于，所以又，故當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的常用方法高考要求 數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用 數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列Sn的通項(xiàng) 通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對數(shù)列問題考查中的熱點(diǎn)，本點(diǎn)的動態(tài)函數(shù)觀點(diǎn)解決有關(guān)問題，為其提供行之有效的方法 重難點(diǎn)歸納 1 數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同 因

11、此在研究數(shù)列問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性 2 數(shù)列an前n 項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式 an=3 求通項(xiàng)常用方法作新數(shù)列法 作等差數(shù)列與等比數(shù)列 累差疊加法 最基本形式是 an=(anan1 ) + (an1+an2) + (a2a1) + a1 歸納、猜想法 遞推數(shù)列： 4 數(shù)列前n項(xiàng)和常用求法重要公式：1+2+n=n(n+1) ， 12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 裂項(xiàng)求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即a

12、n=f(n+1)f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng) 應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng) 錯(cuò)項(xiàng)相消法并項(xiàng)求和法數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法 典型題例示范講解 例1、已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn，對一切nN*，都有=an+1成立，求 例2、設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng) (1)寫出數(shù)列an的前3項(xiàng) (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)(3)令bn=(nN*)，求 (b1+b2+b3+bnn) 例3、數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和例4、設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的等差數(shù)列（2