思維特訓(xùn)(十)　幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的相似

1、.思維特訓(xùn)十幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的相似1我們以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律的問(wèn)題稱為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)的圖形的位置、數(shù)量關(guān)系的“變與“不變性的試題2點(diǎn)動(dòng)型就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)展研究3解決此類動(dòng)點(diǎn)幾何問(wèn)題常用的是“類比發(fā)現(xiàn)法，也就是通過(guò)對(duì)兩個(gè)或幾個(gè)相類似數(shù)學(xué)研究對(duì)象的異同，進(jìn)展觀察和比較，從一個(gè)容易探究的研究對(duì)象所具有的性質(zhì)入手，去猜測(cè)另一個(gè)或幾個(gè)類似圖形所具有的類似性質(zhì)，從而獲得相關(guān)結(jié)論類比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步

2、驟：1根據(jù)條件，先從動(dòng)態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況；2結(jié)合某一相應(yīng)圖形，以靜制動(dòng)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)常見(jiàn)的有三角形全等、三角形相似等得出相關(guān)結(jié)論；3類比猜測(cè)出其他情況中的圖形所具有的性質(zhì)1如圖10S1，AB90°，AB7，AD2，BC3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得PAD與PBC相似，那么這樣的點(diǎn)P共有A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)圖10S12如圖10S2，在ABC中，AB7，AC，BC8，線段BC所在直線以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA方向運(yùn)動(dòng)，并始終保持與原位置平行該直線與AB，AC分別交于點(diǎn)M，N，記x秒時(shí)，該直線在ABC內(nèi)的部分的長(zhǎng)度為y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：_圖10S23：如圖

3、10S3，在ABCD中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB.將ACD沿AC方向勻速平移得到PNM，速度為1 cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速挪動(dòng)，速度為1 cm/s；當(dāng)PNM停頓平移時(shí)，點(diǎn)Q也停頓挪動(dòng)，如圖.設(shè)挪動(dòng)時(shí)間為t s0t4，連接PQ，MQ，MC.解答以下問(wèn)題：圖10S31當(dāng)t為何值時(shí)，PQMN?2設(shè)QMC的面積為y cm2，求y與t之間的函數(shù)表達(dá)式3是否存在某一時(shí)刻t，使SQMCS四邊形ABQP14？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由4是否存在某一時(shí)刻t，使PQMQ？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由4如圖10S4，OF是MON的平分線，點(diǎn)A在射線

4、OM上，P，Q是直線ON上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且PQOA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點(diǎn)B，C，連接AB，PB.1如圖，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系2如圖，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AB，PB是否還存在1中的數(shù)量關(guān)系？假設(shè)存在，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3如圖，MON60°，連接AP，設(shè)k，當(dāng)P和Q兩點(diǎn)都在射線ON上挪動(dòng)時(shí)，k是否存在最小值？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出k的最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖10S45如圖10S5，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD8，AB6.

5、如圖，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)也以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD和點(diǎn)P同時(shí)停頓運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒1當(dāng)t5時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D，P的坐標(biāo)；2當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；3當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PEx軸，垂足為E，當(dāng)PEO與BCD相似時(shí)，求出相應(yīng)的t值圖10S562019·永州 點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)1如圖10S6，假設(shè)E是OD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且使得CEF9

6、0°，過(guò)點(diǎn)E作MEAD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N.求證：AEMFEM；F是AB的中點(diǎn)2如圖，假設(shè)E是OD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且使，請(qǐng)判斷EFC的形狀，并說(shuō)明理由3如圖，假設(shè)E是OD上的動(dòng)點(diǎn)不與O，D重合，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EFCE，交AB于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)猜測(cè)的值請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論圖10S67如圖10S7，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：ykxb分別交x軸、y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是2，2，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A，C，D是線段CO上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為對(duì)稱軸，作與BCD成軸對(duì)稱的BCD.1當(dāng)CBD15°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)2當(dāng)圖中的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且k時(shí)如圖，求點(diǎn)D

7、由點(diǎn)C到點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BC掃過(guò)的圖形與OAF重疊部分的面積3當(dāng)圖中的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，C時(shí)如圖，以DE為對(duì)稱軸，作與DOE成軸對(duì)稱的DOE，連接OC，OO，是否存在點(diǎn)D，使得DOE與COO相似？假設(shè)存在，懇求出k，b的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖10S7詳解詳析1C解析 設(shè)APx，那么PBABAP7x，當(dāng)PDACPB時(shí)，即，解得x1或x6；當(dāng)PDAPCB時(shí)，即，解得x.那么這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)應(yīng)選C.2yx83解：1如圖所示在ABC中，AB3 cm，BC5 cm，A90°，由勾股定理，得AC4 cm.假設(shè)PQMN，那么PQAB，.CQPAt cm，CP4tcm，QB5tcm，解得

8、t.經(jīng)檢驗(yàn)，t是原方程的解且符合題意故當(dāng)t的值為時(shí)，PQMN.2如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PDBC于點(diǎn)D，那么CPDCBA，.BA3 cm，CP4tcm，BC5 cm，PD4tcm.又CQt cm，y×4ttt2t0<t<43存在SQMCS四邊形ABQP14，SQMCt2t，S四邊形ABQPSABCSPCQSABCSQMC×3×4t2t6，14，即t24t40，解得t1t22，當(dāng)t2時(shí)，SQMCS四邊形ABQP14.4存在如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MEBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PDBC于點(diǎn)D，那么CPDCBA，.BA3 cm，CP4tcm，BC5 cm，CA4

9、 cm，PD4tcm，CD4tcm.PQMQ，PQDMQE90°.又PDQE90°，PQDDPQ90°，DPQMQE，PDQQEM，即PD·EMQE·DQ.EMPD4tcm，DQCDCQ4ttcm，QEDEDQ5ttcm，t2tt，即2t23t0，解得tt0舍去當(dāng)t時(shí)，PQMQ.4.解：1ABPB.理由：如圖，連接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，AOBBOQAOBBQO.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.2存在證明：如圖，連接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，BOQFON，AOFF

10、ONBQC，BQPAOB.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.3如圖，連接BQ.易證ABOPBQ，OABBPQ，ABPB.OPBBPQ180°，OPBOAB180°，AOPABP180°.MON60°，ABP120°.ABPB，BAPBPA30°.BOBQ，BOQBQO30°，ABPOBQ，.AOB30°，當(dāng)BAOM時(shí)，的值最小，最小值為0.5，k存在最小值，最小值為0.5.5解：1D4，3，P12，82當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，即0t6時(shí)，BP6t，SBP·AD6t·84t24；當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上，即6

11、t14時(shí)，BPt6，SBP·ABt6·63t18，所以S3易求Dt，t，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，點(diǎn)Pt8，t，假設(shè)，那么，解得t6；假設(shè)，那么，解得t20.0t6，t20不合題意，應(yīng)舍去當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，點(diǎn)P14t，t6，假設(shè)，那么，解得t6；假設(shè)，那么，解得t.6<t14，t不合題意，應(yīng)舍去綜上，當(dāng)t6時(shí)，PEO與BCD相似6解：1證明：四邊形ABCD是正方形，ABD45°，BADABCBCDADC90°，AECE.MEAD，MEAB，AMEBMEBAD90°，ENCADC90°，BME是等腰直角三角形，四邊形BCNM是矩形，B

12、MEM，BMCN，EMCN.在RtAME和RtENC中，AECE，EMCN，RtAMERtENCHL，AEMECN.CEF90°，F(xiàn)EMCEN90°.ECNCEN90°，F(xiàn)EMECN，AEMFEM.在AME和FME中，AMEFME90°，AEMFEM，EAFEFA，AEFE.又MEAF，AMFM，AF2AM.E是OD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，.MEAD，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)2EFC是等腰直角三角形理由如下：過(guò)點(diǎn)E作MEAD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N.同1得：AECE，RtAMERtENC，AEMECN.，O是DB的中點(diǎn)，.MEAD，.，AF2AM，即M是AF的

13、中點(diǎn)MEAB，AEFE，AEMFEM，F(xiàn)ECE.ECNCEN90°，F(xiàn)EMCEN90°，CEF90°，EFC是等腰直角三角形3當(dāng)時(shí)，.7解：1BCDBCD，CBDCBD15°，CBCB2，CBC30°.如圖，過(guò)點(diǎn)C作CHBC于點(diǎn)H，那么CH1，HB，CH2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為2，12如圖，k，設(shè)直線AF的函數(shù)表達(dá)式為yxb.直線l過(guò)點(diǎn)A2，0，b，那么直線AF的函數(shù)表達(dá)式為yx ，OAF30°，BAF60°.在點(diǎn)D由點(diǎn)C到點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BC掃過(guò)的圖形是以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑的扇形把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入yx ，知點(diǎn)C在直線l上，BC掃過(guò)的圖形與OAF的重疊部分是弓形BCBCAB，ABC是等邊三角形，ABC60°，重疊部分的面積是×2×.3如圖，設(shè)OO與DE相交于點(diǎn)M，那么OMOM，OODE.假設(shè)DOE與COO相似，那么COO是直角三角形在點(diǎn)D由點(diǎn)C到點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CO