機(jī)械振動(dòng)第2章習(xí)題

1、第二章 單自由度系統(tǒng)習(xí)題2.1 彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長(zhǎng)為。設(shè)將物體向下拉，使彈簧有靜伸長(zhǎng)3，然后無(wú)初速度地釋放，求此后的運(yùn)動(dòng)方程。解：w=g/運(yùn)動(dòng)微分方程（式2.5）：+wx=0初始條件：x(0)=3,(0)=0由式2.8有：A=3j=arctg=0由式2.7有：響應(yīng)：x=3cos(t)2.2 彈簧不受力時(shí)長(zhǎng)度為65cm，下端掛上1kg物體后彈簧長(zhǎng)85cm。設(shè)用手托住物體使彈簧回到原長(zhǎng)后無(wú)初速度地釋放，試求物體的運(yùn)動(dòng)方程、振幅、周期及彈簧力的最大值。解：w=g/=9.8/0.2=49運(yùn)動(dòng)微分方程（式2.5）：+wx=0初始條件：x(0)=-0.2,(0)=0由式2.8有：振幅：A=0.2

2、j=arctg=0由式2.7有：響應(yīng)：x=0.2cos(7t)周期：T=2p/wn彈簧剛度：k=mg/=1´9.8/0.2=49(N/m)最大彈簧力：FSmax=-kA=-49´0.2=9.8(N)2.3 重物ml懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物m2從高度為h處自由落到ml上而無(wú)彈跳，如圖T2.3所示，求其后的運(yùn)動(dòng)。圖 T2.3解：w=k/(m1+m2)運(yùn)動(dòng)微分方程（式2.5）：+wx=0初始條件：x(0)=- m2g/km2gh=(m1+m2)2(0)Þ (0)(以下略)2.4 一質(zhì)量為m、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的圓柱體作自由純滾動(dòng)，圓心受到一彈簧k約束，

3、如圖T2.4所示，求系統(tǒng)的固有頻率。圖 T2.4解：系統(tǒng)的勢(shì)能：U=kr22系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=I2+mr22由d(U+Et)=0得：（I+ mr2）+kr2=0w=2.5 均質(zhì)桿長(zhǎng)L、重G，用兩根長(zhǎng)h的鉛垂線掛成水平位置，如圖T2.5所示，試求此桿相對(duì)鉛垂軸OO微幅振動(dòng)的周期。圖 T2.5解：系統(tǒng)的勢(shì)能：U=k´(a)2+k´(a)2=ka22系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=I2由d(U+Et)=0得：I+ka2=0w=T=2p/wn2.6 求如圖T2.6所示系統(tǒng)的周期，三個(gè)彈簧都成鉛垂，且k22k1，k3=k1。圖 T2.6解：設(shè)k1=k則 =+=+Þk12=k系統(tǒng)的勢(shì)能：U

4、=k12x2+k3x2=kx2系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=m2由d(U+Et)=0得：m+kx=0w=T=2p/wn2.7 如圖T2.7所示，半徑為r的均質(zhì)圓柱可在半徑為R的圓軌面內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地、以圓軌面最低位置O為平衡位置左右微擺，試導(dǎo)出柱體的擺動(dòng)方程，求其固有頻率。圖 T2.7解：系統(tǒng)的勢(shì)能：U=mg(R-r)(1-cos)=mg(R-r)2說(shuō)明：mg(R-r)2為重心變化引起的勢(shì)能；由于重心變化引起的勢(shì)能為：mg(R-r) (1-cos)；由三角函數(shù)的的倍角公式：cosa=1-2sin2（a/2），且當(dāng)a很小時(shí)，sinaaÞcos=1-2sin2（/2）=1-2（/2）2=1-2/2

5、2; mg(R-r)(1-cos)=mg(R-r)2系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=m(R-r)22+I（）22說(shuō)明：圓柱質(zhì)心點(diǎn)的速度:(R-r)=rÞ=由d(U+Et)=0得柱體的擺動(dòng)方程：m(R-r)2+ I（）2 + mg(R-r)=0對(duì)于均質(zhì)圓柱：I=mr2m(R-r)2+ mg(R-r)=0w= 2g/3(R-r)22.8 橫截面面積為A，質(zhì)量為m的圓柱形浮子靜止在比重為的液體中。設(shè)從平衡位置壓低距離x(見(jiàn)圖T2.8)，然后無(wú)初速度地釋放，若不計(jì)阻尼，求浮子其后的運(yùn)動(dòng)。圖 T2.8解：建立如圖所示坐標(biāo)系，系統(tǒng)平衡時(shí)，由牛頓第二定律得： mx+g(Ax)g=0有： w=初始條件為：x0=x

6、，0=0 所以浮子的響應(yīng)為：2.9 求如圖T2.9所示系統(tǒng)微幅扭振的周期。圖中兩個(gè)摩擦輪可分別繞水平軸O1，O2轉(zhuǎn)動(dòng)，它們相互嚙合，不能相對(duì)滑動(dòng)，在圖示位置(半徑O1A與O2B在同一水平線上)，彈簧不受力。摩擦輪可以看做等厚均質(zhì)圓盤，質(zhì)量分別為m1，m2。圖 T2.9解：設(shè)盤1轉(zhuǎn)角為j1，令i=j1/j2，則系統(tǒng)的動(dòng)能：ET =I12+I22=I1i22+I22=( i2 I1+ I2) 2系統(tǒng)的勢(shì)能：U=k1r12j12+k2r22j22=(i2k1r12+ k2r22)j22由d(U+Et)=0得： ( i2 I1+ I2) +(i2k1r12+ k2r22) j2=0w=(i2k1r12

7、+ k2r22)/ ( i2 I1+ I2)T=2p/wn2.10 如圖T2.10所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P的物體，繩與輪緣之間無(wú)滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑R與a均已知，求微振動(dòng)的周期。圖T2.10解：系統(tǒng)的勢(shì)能：U=ka22(未計(jì)重力勢(shì)能)系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=I2+mR22由d(U+Et)=0得：（I+ mR2）+ka2=0w=m=P/gT=2p/wn2.11 彈簧懸掛一質(zhì)量為m的物體，自由振動(dòng)的周期為T，如果在m上附加一個(gè)質(zhì)量m1，則彈簧的靜伸長(zhǎng)增加Dl，求當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取＝猓?T=2p/wn Þwn=2p/Tw

8、=k/mÞk=mw=4p2 m /T2k=(m+m1)gÞDl=m1g/kÞg=Dlk/m1=4p2 mDl (/T2m1)2.12 用能量法求圖T2.12所示三個(gè)擺的微振動(dòng)的固有頻率。擺錘重P，(b)與(c)中每個(gè)彈簧的彈性系數(shù)為k/2。(1)桿重不計(jì)；(2)若桿質(zhì)量均勻，計(jì)入桿重。圖T2.12解：(1) 桿重不計(jì)(a)系統(tǒng)的勢(shì)能：U=PL(1-cos)=PL2系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=mL22由d(U+Et)=0得： mL2+PL=0w=PL/( mL2)=mgL/( mL2)=g/L(b)系統(tǒng)的勢(shì)能：U= PL2+2´´a22=(PL+k a2)

9、 2系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=mL22由d(U+Et)=0得： mL2+(PL+k a2) =0w=(PL+k a2)/( mL2)(c)同(b)(2)桿質(zhì)量均勻，計(jì)入桿重（略）2.13 求如圖T2.13所示系統(tǒng)的等效剛度，并把它寫成與x的關(guān)系式。圖 T2.13解：系統(tǒng)的勢(shì)能：U= kx2+kx2= kx2系統(tǒng)的動(dòng)能：Et=m2由d(U+Et)=0得： m+ kx=0系統(tǒng)的等效剛度： k2.14 一臺(tái)電機(jī)重470N，轉(zhuǎn)速為1430rmin，固定在兩根5號(hào)槽鋼組成的簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)，如圖T2.14所示。每根槽鋼長(zhǎng)1.2m，重65.28N，彎曲剛度EI1.66105N·m2。(a)不考慮槽鋼質(zhì)量，求

10、系統(tǒng)的固有頻率；(b)設(shè)槽鋼質(zhì)量均布，考慮分布質(zhì)量的影響，求系統(tǒng)的固有頻率；(c)計(jì)算說(shuō)明如何避開(kāi)電機(jī)和系統(tǒng)的共振區(qū)。圖 T2.142.15 一質(zhì)量m固定于長(zhǎng)L，彎曲剛度為EI，密度為r的彈性梁的一端，如圖T2.15所示，試以有效質(zhì)量的概念計(jì)算其固有頻率。圖 T2.152.16 見(jiàn)圖T2.16。求等截面U形管內(nèi)液體振動(dòng)的周期，阻力不計(jì)，假定液柱總長(zhǎng)度為L(zhǎng)。圖 T2.16解：設(shè)U形管內(nèi)液柱長(zhǎng)L，截面積為A，密度為r，取系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為0，左邊液面下降x時(shí)，有：系統(tǒng)的勢(shì)能：U=rA´2xg´x系統(tǒng)的動(dòng)能：ET=rAL2由d(U+ET)=0得：rAL+4rAgx=0w=T=2p

11、/wn217 水箱l與2的水平截面面積分別為A1、A2，底部用截面為A0的細(xì)管連接。求液面上下振動(dòng)的固有頻率(圖T2.17)。圖 T2.172.18 如圖T2.18所示，一個(gè)重W、面積為A的薄板懸掛在彈簧上，使之在粘性液體中振動(dòng)。設(shè)T1、T2分別為無(wú)阻尼的振動(dòng)周期和在粘性液體中的阻尼周期。試證明：并指出m的意義(式中液體阻尼力Fd=m2Av)。圖 T2.18證明：對(duì)于無(wú)阻尼自由振動(dòng)：T1=2p/wn=2p/=2pÞk=4p2W/(gT) (1)對(duì)于有阻尼對(duì)于無(wú)阻尼的振動(dòng)： wd= wn，即有：T2= T1/Þz=阻尼力：Fd=m2Av=cx， v= xÞm = c

12、/2A又（式2.26）：c=2zÞm =2z/(2A)= z/A=/A (2)將（1）式和m=W/g代入（2）式，即有：證明完畢。2.19 試證明：對(duì)數(shù)衰減率也可用下式表示(式中xn是經(jīng)過(guò)n個(gè)循環(huán)后的振幅)。并給出在阻尼比zz為0.0l、0.1、0.3時(shí)振幅減小到50%以下所需要的循環(huán)數(shù)。證明：設(shè)系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)的響應(yīng)為。時(shí)刻的位移為；時(shí)刻的位移為；由式（2.36）有：Þ，即：（參見(jiàn)式2.41）當(dāng)振幅衰減到50%時(shí)，即：1)當(dāng) 時(shí)，；要11個(gè)循環(huán)；2)當(dāng) 時(shí)，；要2個(gè)循環(huán)；3)當(dāng) 時(shí)，；要1個(gè)循環(huán)；2.20 某雙軸汽車的前懸架質(zhì)量為m1=1151kg，前懸架剛度為k1=1.

13、02105Nm，若假定前、后懸架的振動(dòng)是獨(dú)立的，試計(jì)算前懸架垂直振動(dòng)的偏頻。如果要求前懸架的阻尼比z=0.25，那么應(yīng)給前懸架設(shè)計(jì)多大阻尼系數(shù)(c)的懸架減振器?2.21 重量為P的物體，掛在彈簧的下端，產(chǎn)生靜伸長(zhǎng)d，在上下運(yùn)動(dòng)時(shí)所遇到的阻力與速度v成正比。要保證物體不發(fā)生振動(dòng)，求阻尼系數(shù)c的最低值。若物體在靜平衡位置以初速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求此后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：設(shè)系統(tǒng)上下運(yùn)動(dòng)為x坐標(biāo)系，系統(tǒng)的靜平衡位置為原點(diǎn)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：+c+x=0系統(tǒng)的阻尼比：系統(tǒng)不振動(dòng)條件為：，即：物體在平衡位置以初速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，即初始條件為：此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)為：（可參考教材P22）1)當(dāng)時(shí)：其中：2) 當(dāng)時(shí)：，

14、其中：即：3) 當(dāng)時(shí)： 其中：，即：2.22 一個(gè)重5500N的炮管具有剛度為3.03105Nm的駐退彈簧。如果發(fā)射時(shí)炮管后座1.2m，試求：炮管初始后座速度；減振器臨界阻尼系數(shù)(它是在反沖結(jié)束時(shí)參加工作的)；炮管返回到離初始位置0.05m時(shí)所需要的時(shí)間。2.23 設(shè)系統(tǒng)阻尼比z0.1，試按比例畫出在w/wn0.5、1.0、2.0三種情況下微分方程的向量關(guān)系圖。2.24 試指出在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)復(fù)頻率響應(yīng)、放大因子和品質(zhì)因子之間的關(guān)系，并計(jì)算當(dāng)z=0.2、wn =5rad/s時(shí)系統(tǒng)的品質(zhì)因子和帶寬。2.25 已知單自由度系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)其阻力為cv(其中c是常數(shù)，v是運(yùn)動(dòng)速度)，激勵(lì)為FF0sinwt

15、，當(dāng)w=wn即共振時(shí)，測(cè)得振動(dòng)的振幅為X，求激勵(lì)的幅值F0。若測(cè)得共振時(shí)加速度的幅值為A，求此時(shí)的F0。2.26 某單自由度系統(tǒng)在液體中振動(dòng)，它所受到的激勵(lì)為F50coswt(N)，系統(tǒng)在周期T0.20s時(shí)共振，振幅為0.005cm，求阻尼系數(shù)。解：由時(shí)共振可知，系統(tǒng)固有頻率為：當(dāng)時(shí)，已知響應(yīng)振幅：，（參見(jiàn)教材P30）Þc=2.27 一個(gè)具有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，在一周振動(dòng)內(nèi)耗散的能量為它的最大勢(shì)能的1.2%，試計(jì)算其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)g。2.28 要使每一循環(huán)消耗的能量與頻率比無(wú)關(guān)，需要多大的阻尼系數(shù)。2.29 若振動(dòng)物體受到的阻力與其運(yùn)動(dòng)速度平方成正比，即求其等效阻尼系數(shù)和共振時(shí)的振

16、幅。2.30 KGl電動(dòng)機(jī)重P，裝在彈性基礎(chǔ)上，靜下沉量為d。當(dāng)轉(zhuǎn)速為nrmin時(shí)，由于轉(zhuǎn)子失衡，沿豎向有正弦激勵(lì)，電機(jī)產(chǎn)生振幅為A的強(qiáng)迫振動(dòng)。試求激勵(lì)的幅值，不計(jì)阻尼。2.31 電動(dòng)機(jī)重P，裝在彈性梁上，使梁有靜撓度d。轉(zhuǎn)子重Q，偏心距為e。試求當(dāng)轉(zhuǎn)速為w時(shí)，電動(dòng)機(jī)上下強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅A，不計(jì)梁重。2.32 一飛機(jī)升降舵的調(diào)整片鉸接于升降舵的O軸上(圖T2.32)，并由一聯(lián)動(dòng)裝置控制。該裝置相當(dāng)于一剛度為kT的扭轉(zhuǎn)彈簧。調(diào)整片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，因而系統(tǒng)固有頻率w=kTI，但因kT不能精確計(jì)算，必須用試驗(yàn)測(cè)定wn。為此固定升降舵，利用彈簧k2對(duì)調(diào)整片做簡(jiǎn)諧激勵(lì)，并用彈簧k1來(lái)抑制。改變激勵(lì)頻率w直至

17、達(dá)到其共振頻率w T。試以w T和試驗(yàn)裝置的參數(shù)來(lái)表示調(diào)整片的固有頻率wn。圖 T2.32解：設(shè)調(diào)整片的轉(zhuǎn)角為q，系統(tǒng)的微分方程為：I+kT+(k1+k2)L2q=k2Lysinwt系統(tǒng)的共振頻率為：因此：調(diào)整片的固有頻率為：w=w-2.33 如圖T2.33所示由懸架支承的車輛沿高低不平的道路行進(jìn)。試求W的振幅與行進(jìn)速度的關(guān)系，并確定最不利的行進(jìn)速度。圖 T2.332.34 單擺懸點(diǎn)沿水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(圖T2.34)，x=asinwt。試求在微幅的強(qiáng)迫振動(dòng)中偏角q的變化規(guī)律。已知擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺錘質(zhì)量為m。圖 T2.342.35 一個(gè)重90N的飛機(jī)無(wú)線電要與發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率16002200rmin范

18、圍的振動(dòng)隔離，為了隔離85%，隔振器的靜變形需要多少?2.36 試從式(2.95)證明：1. 無(wú)論阻尼比取何值，在頻率比時(shí)，恒有XA。2. 在，X/A隨增大而減小，而在，X/A隨增大而增大。 2.37 某位移傳感器固有頻率為4.75Hz，阻尼比z=0.65。試估計(jì)所能測(cè)量的最低頻率，設(shè)要求誤差1，2。2.38 一位移傳感器的固有頻為率2Hz，無(wú)阻尼，用以測(cè)量頻率為8Hz的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，測(cè)得振幅為0.132cm。問(wèn)實(shí)際振幅是多少?誤差為多少?2.39 一振動(dòng)記錄儀的固有頻率為fn3.0Hz，阻尼比z=0.50。用其測(cè)量某物體的振動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)方程已知為x=2.05sin4pt+1.0sin8pt (cm)證明：振動(dòng)記錄儀的振動(dòng)z將為z1.03sin(4pt-500)+1.15sin(8pt-1200)(cm)2.40 求單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)圖T2.40所示激勵(lì)的響應(yīng)，設(shè)初始條件為零。2.41 求圖T2.41所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這里激勵(lì)是x3(t)。2.42 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)從一傾斜角為300的光滑斜面下滑，如圖T2.42所示。求彈簧與墻壁開(kāi)始接觸到脫離接