曲面上的杜邦指標線曲率線

1、第二章 曲面論第十一節(jié) 曲面上的曲線七、曲面上的主方向、主曲率和曲率線法曲率的最大值和最小值所滿足的方程為，（2）其判別式為，故當且僅當時，判別式為零，即， （3）滿足（3）式的點稱為臍點, 否則稱為非臍點. 所以在一個非臍點, 判別式，方程(2)總有兩個不相等的實根, 曲面在這一點總有兩個不相等的法曲率，且分別是法曲率的最大值和最小值。法曲率取到的極值稱為主曲率.。在臍點,若令，則任意方向的法曲率常數(shù)，都為主曲率，而方程(2)變?yōu)?，但這個關(guān)系無非表示任意方向的法曲率相等. 對于的臍點，稱為平點。我們把不同時為零的臍點稱為圓點。容易證明球面上的每一點都是圓點。將代入方程(2)式，得到 ，經(jīng)過計

2、算，此方程可化為，事實上，利用待定系數(shù)法，經(jīng)計算可知，于是有 。故得使法曲率取到最值的方向為，此式還能寫成如下形式：。將代入，則有， ，（4） 這給出曲面上的兩族曲線，曲線上的方向使法曲率達到最值。再給出另一種推演方法如下在法曲率取到極值的方向處，有， ，化簡后，得到， （3）此式還能寫成如下形式：。 其判別式為所以當且僅當時，判別式為零，即 。所以在一個非臍點, 判別式，方程(3)總有兩個不相等的實根, 曲面在這一點總有兩個不相同的方向，法曲率在這兩個方向分別達到最大值和最小值。曲面上使法曲率達到極值的切方向，稱為主方向。曲面上一條曲線，如果曲線在每點處的切方向都是曲面的主方向, 則稱此曲線

3、為曲面上的一條曲率線.在臍點處, 方程(5.9)變成恒等式, 即任意方向都為主方向. 將代入，則有， ，（4）這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網(wǎng)。定理5.2 曲面在非臍點處, 兩個主方向互相垂直.要證明這個定理, 只要應(yīng)用以下引理于方程(4).引理5.3 曲面上一點由方程所確定的兩個切方向互相垂直的充要條件是，, 這里是曲面的第一類基本量.證明 兩個方向（ ）和（ ）正交的充要條件是換一種寫法即， （5）將已知的二次方程寫成，則它的兩個根，記為，均應(yīng)滿足上述方程, 由根與系數(shù)的關(guān)系知, ，將上式代入(5)式，即得引理. 對方程（4），有，所以 曲面在非臍點處, 兩個主方向互相垂

4、直.【注1】定理5.2只說明在非臍點處, 兩個主方向垂直, 但任意兩個垂直的方向卻不是主方向. 另一方面, 在臍點處, 任意方向都是主方向, 因此主方向未必垂直, 而任意兩個垂直的方向都是主方向.共軛方向定義 設(shè)A為階實對稱矩陣，如果有兩個維向量和，（寫成列向量），滿足 ， （1） 則稱向量與對于矩陣A共軛。如果A為單位矩陣，則式(1)即成為，這樣兩個向量的點積（或稱內(nèi)積）為零，此二向量在幾何上是正交的，它是共軛的一種特例。 設(shè)A為對稱矩陣，若一組非零向量，滿足 （ij） （2） 則稱向量系為關(guān)于矩陣A共軛。 共扼向量的方向稱為共軛方向。幾何意義設(shè)為二階對稱矩陣，方程 為以原點為中心的平面二次

5、曲線。 連結(jié)曲線上任意兩點的線段叫作弦；過中心的弦稱為直徑。 平行于一條直徑的弦的中心的軌跡，亦構(gòu)成直徑，稱與互為共軛直徑，兩直徑分別所在的兩直線的方向，稱為曲線的共軛方向。 設(shè)是一條直徑所在的直線的方程，是直線的方向；是平行于直徑的弦所在的直線的方程，是曲線上的點，則此弦與曲線的交點，滿足，共軛直徑的方向，將代入，則得到，即 。 設(shè)兩共軛直徑的斜率分別為，則有，即得 。曲面上兩個方向（ ）和（稱為共軛方向， 如果。對，有。曲面上兩個方向和稱為曲面上的共軛方向，如果有，或者。換一種寫法，即。前面已證，曲面上的兩主方向正交，現(xiàn)證兩主方向共軛。事實上，將方程（5）的兩根寫出，再由根與系數(shù)的關(guān)系知，

6、所以曲面上兩個主方向（ ）和（是曲面上的共軛方向 。這樣一來，曲面上使法曲率分別達到最大值和最小值的兩個方向，必互相垂直，且互為共軛方向，即， 。 。主方向的判別定理（羅德里格斯（Rodrigues）定理),如果方向是主方向,則,其中，是曲面沿方向(d)的法曲率。反之,如果對于方向(d),有,則(d)是主方向,且，是曲面沿方向(d)的法曲率。證明 先證定理的前半部分： 設(shè)是垂直于(d)的另一個主方向。由，兩邊微分得。這關(guān)系式說明在切平面上，于是，將兩邊點乘，并注意（這是由于方向和的共軛性，以及（這是由于這兩個方向的正交性），得到，因此，由此，在把這等式兩邊點乘，得， ，由此得。再證定理的前后半

7、部分：設(shè)方向(d)滿足，現(xiàn)在要證明它是主方向。假設(shè)方垂直于，把等式的兩邊點乘，得，這表示方向和是共軛的。因此和不僅正交，而且共軛，所以它們都是主方向。由，可得 。 Euler公式現(xiàn)在我們考察在曲面的一個非臍點, 法曲率隨方向而變化的規(guī)律, 并可以看到, 主曲率就是法曲率的最大值和最小值. 首先我們證明這樣一個事實.定理5.4 不含臍點的曲面片上, 參數(shù)曲線的方向是主方向當且僅當 .證明 必要性 首先因參數(shù)曲線的切方向是主方向, 而主方向必正交, 因此F = 0, 同時及適合主方向的微分方程, 故得因，由上式得M = 0.充分性 若F = M = 0, 則主方向的微分方程可化為因為 (否則L :

8、 M : N = E : F : G, 與沒有臍點的已知條件不符), 這時主方向的微分方程即為dudv = 0, 與參數(shù)曲線的微分方程相同, 這就證明了參數(shù)曲線方向是主方向. 例如 在旋轉(zhuǎn)曲面：上子午線和平行圓構(gòu)成了曲率線網(wǎng)。 。定理5.5 在曲面上選取曲率線網(wǎng)為曲紋坐標網(wǎng)。設(shè)是曲面上一點P 處的任意一個切方向, 它與-曲-線的夾角記為，表示曲面在P 點處的主曲率, 則有，這個公式稱為Euler公式, 它表明了法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律.證明 首先若P 是臍點, 則因臍點處, 任意方向都是主方向, 因而任意方向的法曲率都是主曲率, 同時在臍點處, 故在臍點處任意方向的法曲率都相同, 即 在臍

9、點處為常數(shù), 換句話說, 在臍點處, ，Euler 公式自然成立. 下面我們假設(shè)P 是非臍點來證明之.設(shè)P 為曲面上一個非臍點, 根據(jù)連續(xù)性, 曲面必包含P 在內(nèi)的一整片, 在這片曲面上完全沒有臍點. 在這片曲面上選取參數(shù)曲線的方向作為主方向, 則由定理5.4, ，曲面的第一、第二基本形式化為 ，于是在P 點, 各個切線方向的法曲率公式為，設(shè)分別為對應(yīng)于主方向dv = 0 和du = 0 的主曲率, 則根據(jù)曲面上兩條曲線夾角的公式, 容易計算得到 ，于是 。定理5.6 曲面在非臍點處的主曲率是曲面在這點沿所有方向的法曲率中的最大值和最小值.證明設(shè) 是兩個主曲率, 不妨設(shè)否則可交換坐標u和v )

10、, 由Euler 公式，顯然 ，于是有 ，這就是說, 主曲率是法曲率的最大值和最小值.【例4】證明: 在曲面上給定點處, 沿兩個正交的方向的法曲率之和為常數(shù).【證明】 設(shè)曲面上給定點處的兩個主曲率分別為k1 和k2, 和為給定點處任意兩個相互成為直角的方向, 對應(yīng)的法曲率分別為 和，則由Euler 公式有，其中為方向和-曲線之間的夾角，顯然有 ( 給定點處為常數(shù))。迪潘（Dupin）指標線杜邦（Dupin）指標線、曲面上的漸近方向和共軛方向4 漸近方向與漸近曲線曲面上給定點 處使法曲率的方向稱為曲面在點處的漸近方向. 由 的幾何意義, 沿漸近方向曲面無彎曲, 與切平面最貼近. 顯然, 平面上一

11、點處任意方向都是漸近方向, 而球面上任何點處均無漸近方向. 一般地, 曲面 上點處的一個方向是一個漸近方向當且僅當,其中是 在點處的第二類基本量. 所以, 我們總有當 時, 即橢圓點處, 無(實)漸近方向,當 時, 即雙曲點處, 有兩個(實)漸近方向,當 時, 即拋物點處, 有一個(實)漸近方向。若曲面上一條曲線在每點處的切方向都是曲面的漸近方向, 則稱此曲線為曲面的漸近曲線. 例如, 平面上任何正則曲線都是漸近線, 而球面上無漸近線. 一般地, 曲面上漸近曲線的微分方程是。推論 曲面上法曲率為0 的曲線是漸近曲線, 特別地直線是漸近曲線. 定理1 曲面上曲率處處不為0 的曲線是漸近曲線的充分

12、必要條件是曲線在每點處的密切平面與曲面在該點處的切平面重合. 證明 必要性由公式， 當時, 注意到 ，因此，因此，即得曲線在每點處的密切平面與曲面在該點處的切平面重合.充分性 若曲面上曲線C 的密切平面與曲面的切平面重合, 則/, 而,故, 即，因此沿C 有 , 換句話說, C 為漸近曲線.定理2 在只含雙曲點的曲面上, 參數(shù)曲線網(wǎng)成為漸近網(wǎng)的充分必要條件是。證明:若曲面上的點都是雙曲點, 則每點處有兩個漸近方向, 那么整個曲面上就有兩族漸近曲線, 這兩族漸近曲線構(gòu)成的網(wǎng)稱為曲面上的漸近曲線網(wǎng), 簡稱漸近網(wǎng).必要性由參數(shù)曲線網(wǎng)的微分方程 及漸近線的微分方程, 若u-線為漸近線, 則, 即; 同樣若v -線為漸近線, 則 ， 即. 因此當參數(shù)曲線網(wǎng)成為漸近線網(wǎng)時, 必有。充分性 若， 則漸近網(wǎng)的微分方程為. 注意到 (否則曲面上含平點), 因此, 即漸近網(wǎng)是參數(shù)曲線網(wǎng).【例3】證明: 正螺面上有兩族漸近曲線, 一族為直母線, 另一族為螺旋線.【證明】直接計算可以得到正螺面的第二基本形式，這時, 正螺面上處處有, 所以其上有且僅有兩族漸近曲線, 另一方面,由于, 故坐標網(wǎng)成為漸近網(wǎng), 顯然可見u-線是直母線, 而v -線是螺旋線.【例4】求曲面的漸近網(wǎng).【解】所給曲面的參數(shù)方程可寫成。簡單計算可求出它的第二類基本量為