曲面論基本方程的性質(zhì)及其應(yīng)用投聊大學(xué)報(bào)

1、曲面基本方程的性質(zhì)及其應(yīng)用邢家省，張光照（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100191;2.河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院 技術(shù)科學(xué)系，鄭州 450000)摘 要: 考慮曲面的結(jié)構(gòu)方程的推導(dǎo)方法問題.引入了一種從矩陣方程出發(fā)整體推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的方法. 此方法以矩陣乘法運(yùn)算代替繁雜的張量符號(hào)變換, 不僅使推導(dǎo)過程簡(jiǎn)化, 而且也使推導(dǎo)的整體思路更為清晰.關(guān)鍵詞: 曲面的基本方程; 曲面結(jié)構(gòu)方程; 矩陣乘法;高斯曲率中圖分類號(hào): O186. 1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A 曲面的基本方程和曲面的結(jié)構(gòu)方程是經(jīng)典微分幾何學(xué)的重要內(nèi)容，已構(gòu)成完善的理論體系，產(chǎn)生了豐富深刻的結(jié)果。文

2、獻(xiàn)1-4中都是采用黎曼張量的記號(hào)及求和給出推導(dǎo)轉(zhuǎn)換過程的，這種推導(dǎo)可為后繼的黎曼幾何學(xué)做準(zhǔn)備，但這種推導(dǎo)演算繁雜，不利于人們理解掌握。文獻(xiàn)5中給出了采用矩陣表示及利用矩陣乘法來推導(dǎo)曲面的結(jié)構(gòu)方程的方法，方法直接，簡(jiǎn)單明了。我們?cè)诰C合已有結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用矩陣乘法給出推導(dǎo)曲面的結(jié)構(gòu)方程的詳細(xì)過程，實(shí)現(xiàn)文獻(xiàn)5，6中的思想，并對(duì)文獻(xiàn)1-4中的相關(guān)結(jié)果給出簡(jiǎn)化的證明方法，由此也能更清楚的看出1-4中推導(dǎo)方向過程的本質(zhì)所在。1 曲面的基本方程及其中系數(shù)的確定 曲面論的基本問題是研究由曲面的第一基本形式和第二基本形式如何確定曲面存在的問題，解決的方法是從曲面的基本方程出發(fā)，尋找到了存在可解曲面的充要條件。

3、給出類的正則曲面。按照文獻(xiàn)1-8中的符號(hào)體系，我們給出如下一系列記號(hào)，收稿日期：基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171013），北京航空航天大學(xué)教改項(xiàng)目基金資助作者簡(jiǎn)介：邢家?。?964-）男，河南泌陽人,博士，副教授,從事數(shù)學(xué)教學(xué)和科研工作.Email:xjsh .，； ；，命是的逆矩陣；， 。 在曲面上取活動(dòng)標(biāo)架。在曲面上的每一點(diǎn)處，可表示為的線性組合，可表示為的線性組合（由于與正交，所以與共面。） 現(xiàn)在我們可以直接令，； （1）， (2)其中，都是待定系數(shù). 將（1），（2）式寫成矩陣形式，則有， （3）， （4） 在（4）式兩端乘以，則得，于是有，從而， （5）由此，。為確定

4、， 在（1）式的兩邊與作內(nèi)積, 即得¸，；在（3）式兩端乘以，則得，于是，記，則有， （6） 故有， 在（6）式兩端取轉(zhuǎn)置，則有，于是，從而， 。由，可得 ， （7） 稱為Christoffel記號(hào), 簡(jiǎn)稱克氏記號(hào), 顯然由曲面的第一類基本量完全確定. （1）式稱為Gauss公式，（2）式稱為Weingarten 公式。 至此我們得到了曲面論的Gauss公式和Weingarten 公式(也稱為曲面的運(yùn)動(dòng)方程，或稱為曲面的基本方程)。由于 ，所以，將代入上式，則得等式 。 2 曲面的基本方程的矩陣表示法將曲面的基本公式寫成矩陣形式為， （8）， （9）其中 ， ， ， 。 3 曲面的基

5、本方程中系數(shù)之間的關(guān)系的矩陣推導(dǎo)方法現(xiàn)在我們利用曲面的基本方程來研究曲面的第一、第二基本形式系數(shù)之間的關(guān)系.對(duì)向量運(yùn)用二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)可交換次序的法則, 方程組（8），（9）可解的充要條件是。由此，須有，利用（8）式，存在可解曲面的充要條件是， （10）（10）式的左端 ，（10）式的右端，比較左右兩端的系數(shù)，可得， （11）， （12）再注意到須有，利用（3），（4）式，可得，從而， （13）， （14）容易證明（14）式是自然成立的。事實(shí)上，由，知，從而， 于是（14）式成立?，F(xiàn)證明（12）式與（13）式是等價(jià)的,事實(shí)上由，得，利用，得到，由此可知（12）式與（13）式是等價(jià)的。4 曲面基本

6、方程的Gauss定理的矩陣推導(dǎo)方法現(xiàn)考察（11）式成立的充要條件。（11）式的右端為， （15）（11）式的左端為， （16）利用，于是， （17） 由（11），（15），（16），（17）式，得， （18）利用，可知（18）式兩端都是反對(duì)稱矩陣，兩個(gè)反對(duì)稱矩陣相等，只需矩陣中左上角的元素對(duì)應(yīng)相等。以上給出的推導(dǎo)過程都是可逆的。由此得到曲面方程可解的充要條件的Gauss方程。5 曲面的高斯曲率的計(jì)算公式將（15）式代入（11）式，由兩矩陣中左上角的元素對(duì)應(yīng)元素相等，得，于是高斯曲率 。進(jìn)而。事實(shí)上， 利用等式，并注意，類似地，故有，結(jié)果得證。特別地，當(dāng)曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交曲線網(wǎng)時(shí)，利用上面的結(jié)果

7、，通過代入計(jì)算，可得 。類似地，將（15）式代入（11）式，由兩矩陣中右下角的元素對(duì)應(yīng)元素相等，得，于是高斯曲率 。進(jìn)而 。參考文獻(xiàn)1梅向明,黃敬之.微分幾何M.第4版.北京:高等教育出版社出版,2008:87-105.2陳維桓.微分幾何M.北京:北京大學(xué)出版社,2006,193-228.3 彭家貴，陳卿.微分幾何M.北京：高等教育出版社，2002,74-85.4蘇步青，華宣積，忻元龍.實(shí)用微分幾何引論M.北京：科學(xué)出版社，1986，86-915謝 琳, 安 揚(yáng).一個(gè)利用矩陣整體推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的方法J. 遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版).2007,30(3)：262-264.6 華羅庚著，王

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9、The Property of Fundamental Equation of Surface and Its Application Xing Jiasheng ,Zhang Guangzhao(1.Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China;2.The department of  technology science ，Henan Economy & Trade Vocational College ， Zhengzhou 45000，China)Abstract: In this paper, the author introduces a method to deduce the surface structure equation from matrix equations. This method replaces complicated tensormark relation by the matrix fundamental operation, so that th