無窮限廣義積分的計算1

1、無窮限廣義積分的計算陳雪靜（寶雞文理學院 數(shù)學系,陜西 寶雞 721013）摘 要: 文章歸納總結(jié)了利用數(shù)學分析、復變函數(shù)、積分變換、概率論統(tǒng)計理論等知識計算無窮限廣義積分的幾種方法.在學習中運用這幾種方法可開拓視野,激發(fā)學習數(shù)學的興趣.關鍵詞: 廣義積分;收斂;計算方法廣義積分是高等數(shù)學學習中的一個難點知識,廣義積分的概念不僅抽象,而且計算方法靈活,不易掌握.廣義積分包括兩大類,一類是積分區(qū)間無窮型的廣義積分,另一類是積分區(qū)間雖為有窮,但被積函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)含有有限個無窮型間斷點（瑕點）的廣義積分.一般的判別法是對積分區(qū)間無窮型的廣義積分,先將積分限視為有限的積分區(qū)間按常義積分處理,待積分求出

2、原函數(shù)后再考查其極限是否存在,在用此極限去判定原積分是否收斂.對于第二類廣義積分,我們可將積分區(qū)間改動,使被積函數(shù)在改動后的積分區(qū)間內(nèi)成為有界函數(shù)再按常義積分處理,求出原函數(shù)之后考查它在原積分區(qū)間上的極限是否收斂.但是有些被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出或無法用初等函數(shù)表示,使得廣義積分無法用常規(guī)方法計算,因此需尋求其它的計算方法.本文主要研究無窮限廣義積分的計算方法,主要方法包括利用廣義積分定義、參量積分、變量代換、二重積分、留數(shù)定理、級數(shù)展開、概率論知識以及拉普拉斯變換等方法.1 無窮限廣義積分的定義定義1 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),取.如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分（也稱作廣義積

3、分）,記作,即=;這時也稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分就沒有意義,習慣上稱為反常積分發(fā)散,這時記號不再表示數(shù)值了.類似地,設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),取. 如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分,記作,即=;這時也稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.設函數(shù)在無窮區(qū)間內(nèi)連續(xù),如果廣義積分和（為常數(shù)）都收斂,則稱上述兩個反常積分之和為函數(shù)在無窮區(qū)間內(nèi)的廣義積分,記作,即=+ =+這時也稱廣義積分收斂;否則就稱反常積分發(fā)散.上述反常積分統(tǒng)稱為積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分或無窮限廣義積分.2 無窮限廣義積分的計算方法2.1利用廣義積分的定義求無窮

4、限廣義積分由定義計算可以分兩步:1求定積分=.需要說明的是原函數(shù)均指有限形式.2取極限=.例11 計算解 = 2.2利用含參量積分的理論求無窮限廣義積分含參量積分:（） （）統(tǒng)稱為歐拉積分.其中稱為格馬函數(shù).稱為貝塔函數(shù).且有遞推公式 及 .因此在計算廣義積分時看所給廣義積分當為何值時對應的歐拉積分,然后用歐拉積分公式直接算出廣義積分的值.例25 求（為正整數(shù)）解 此廣義積分與表達式相似,因此可用函數(shù)法求解.= 注:.2.3利用變量代換法求無窮限廣義積分有些函數(shù)的原函數(shù)不易求出或直接積分不出來,但如果對被積函數(shù)施以變量代換,在輔以一定的技巧就可以求出這類積分.作變量帶換時,首先要對被積函數(shù)的結(jié)

5、構進行分析,然后再看積分限與被積函數(shù)的關系.變換的方向是求出原函數(shù)或求出一個含原積分的方程,從而求得所含廣義積分的值.例32 求I=解 令x=,則I=上式加上I=得2I=故 I=2.4利用二重積分理論計算無窮限廣義積分.利用二重積分理論計算廣義積分時,應分兩步:1把廣義積分巧妙的化為一個二重積分.2計算二重積分,從而間接的計算出廣義積分的值.例45 計算廣義積分解 由于= 所以= 而= 其中D=故= 而=.例53 計算廣義積分I=解 因為=所以I= = =-. 2.5積分號下求導法計算無窮限廣義積分.收斂因子法:此方法是對被積函數(shù)引入一個收斂因子,因子中有一個參數(shù), 對參數(shù)（不一定是收斂因子中

6、的參數(shù)）求導,有時可求得原積分的值.在此情況下引入的收斂因子加強了原積分的收斂性（如條件收斂的成為絕對收斂,或求導后發(fā)散的,變成一致收斂）.這樣使積分號下求導條件得以滿足.一般采用（k0)作為收斂因子.例65 求積分 () 解 引入積分因子（0)作積分= =故 = += (顯然=I(0)=0)由此有 =所以 I= 故同樣可得 =-2.6積分號下求積分法算無窮限廣義積分這種方法是將被積函數(shù)中某一因子表為一個適當?shù)姆e分.于是將原積分化成二次積分.交換這兩個積分的順序,就可求出所給的積分.例72 求積分I=解 由,于是I= =由,有=所以 =為了確定,令.得 故.2.7利用復變函數(shù)理論中的留數(shù)定理計

7、算無窮限廣義積分. 定理15 設函數(shù)在實軸上處處解析,在上半平面除有限個孤立奇點外處處解析,且存在常數(shù),使得當,且時, ,則推論 15 設是有理函數(shù),與為的,次多項,多項式的次數(shù)比至少高2次,在實軸上沒有零點,是在上半平面的孤立奇點,則例8 4 計算廣義積分 解 因為,顯然滿足推論的條件,且,是在上半平面的孤立奇點,這兩個點都是的一級極點,因此有 同理故=+ =2.8級數(shù)展開法求廣義積分例92 求積分I=解 利用余弦函數(shù)的冪級數(shù)展開以及指數(shù)函數(shù)的展開式 我們有=例105 計算廣義積分.解 由于= 而= 故原式=-.利用無窮級數(shù)計算廣義積分也是常用的一種技巧.常有兩種方法.其一是將被積函數(shù)展成級

8、數(shù)以求積分;其二是將無窮區(qū)間上的廣義積分表示成級數(shù)的形式以求積分.2.9利用概率統(tǒng)計知識求無窮限廣義積分.例115 計算廣義積分I=.解 因為為標準的正態(tài)分布密度函數(shù)所以= 1.即=1. 所以即=令=2.10用拉普拉斯變換求無窮限廣義積分定義26 設在上有定義,且積分（是復變參量）關于某一范圍內(nèi)的收斂,則由這個積分確定的函數(shù)稱為函數(shù)的拉普拉斯變換.并記做,即=,其中的稱為的像函數(shù),稱為的像原函數(shù).定理 25 (Laplace變換存在定理) 設函數(shù)在的任何有限區(qū)間內(nèi)分段連續(xù),并且當時, 的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù),和,使得在上,則在半平面上,存在,且=是的解析函數(shù).其中稱為的增長指

9、數(shù).性質(zhì)11（積分性質(zhì)）若,則（為復數(shù)） （1）性質(zhì)21(終值性質(zhì)) 若,且的所有奇點全在平面的部 （2）性質(zhì)31 若,在上解析,且收斂,則存在,且 （3）證明 由微分性知 = =由性質(zhì)1 所以由性質(zhì)2 即 =特別的,時,有. （4）性質(zhì)41（象函數(shù)的積分性質(zhì)）若,且積分收斂. （5）性質(zhì) 51 設,且與皆收斂,則 （6） 證明 由（5）式, 由（4）式, = 例124 求的拉普拉斯變換,并求積分.解 由定理2,因為,故在的實部大于零上, 拉普拉斯變換存在,且 =于是 （在的實部大于零）那么 由命題4知 =在利用命題5知 =.例136 計算下列積分解 , 由微分性質(zhì)知,但是另一方面 當時,即=

10、致謝：本文在寫作過程中得到陳一虎老師的指導.在此表示感謝！參考文獻:1 白水周.無窮限廣義積分的幾種有效解法J.開封大學學報,2000,14(1):49-50.2 李紹成.論廣義積分的計算J.綿陽農(nóng)專學報:自然科學版,1996,13(2):65-70.3 數(shù)學分析.華東師范大學數(shù)學系M.高等教育出版社,20014 宋叔尼,孫濤.復變函數(shù)與積分變換M.北京:科學出版社,2006.5 劉開生,楊鐘玄.無窮限廣義積分的幾種計算方法J.天水師范學院學報: 自然科學版,2002,22(2):9-10.6 蓋云英,包革軍.復變函數(shù)與積分變換學習指導M.科學出版社,2004.Ways of calculat

11、ing limitless generalized integralCHEN Xue-Jing(Department of Mathematic,Baoji University of Arts and Science Baoji 721013,Shaanxi ,China)Abstract: ways of calculating generlazed integral are given by using maths analysis, complex variable and integral transform, complex function and proabability statistical theroy. In t