數(shù)列專題2求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法習(xí)題答案

1、 數(shù)列專題2 求數(shù)列的通項(xiàng)公式一等差數(shù)列的性質(zhì)：1當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. Sn/n=d/2 *n+a1-d/2,故數(shù)列Sn/n是等差數(shù)列。 an=An+B,SN=An2+Bn, 數(shù)列為等差數(shù)列2若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。3當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.二.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_（答：512）；(2) 當(dāng)時(shí)，這里，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且

2、，則 （答：1）Sn=aqn-a數(shù)列為等比數(shù)列。三、數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如：已知的前項(xiàng)和滿足，求 （答：）；數(shù)列滿足，求 （答：）已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則_ （答：）若求用累加法：。如已知數(shù)列滿足，則=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求 （答：）注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列滿足，求

3、（答：）四、1、已知數(shù)列遞推式求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：形如,，an=kan-1+an(，a為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后,再求. 轉(zhuǎn)化為：an+x=K(an-1+x) 求出X=b/(k-1),k=1時(shí)無(wú)解，an為等差數(shù)列， d=b,可以直接寫出。 已知，求（答：）；an=Kan-1+AbN 轉(zhuǎn)化為：an+xbN=K(an-1+xbN-1) 求出X=A/(k/b-1),k=b時(shí)無(wú)解，an/bn為等差 數(shù)列，d=A,可以直接寫出。 已知，求（答：） 轉(zhuǎn)化為：an+An+B=K(an-1+A(n-1)+B) 求出A= a/(k-1),B=b/(k-1)+ka

4、/(k-1)2， k=1 時(shí)無(wú)解，只能用累加法。 an=kan-1+a.n 轉(zhuǎn)化為：an+A(n+1)+B=K(an-1+An+B) 同上,求出A ,B(必須設(shè)出B,它不為0）2、 形如的遞推數(shù)列都可以用 “取倒數(shù)法”求通項(xiàng).如已知，求（答：）；已知數(shù)列滿足=1，求（答：）3、數(shù)列求和的方法：公式法：等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式；分組求和法；倒序相加；錯(cuò)位相減；分裂通項(xiàng)法.例1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：法一：等比數(shù)列法：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知

5、數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。法二：累加法：，兩邊同除以2n+1得到：an+1/2n+1 -an/2n =(3/2)an/2n -an-1/2n-1 =(3/2)(5/2)n-1 .。 a3/23 -a2/22 =(3/2)(5/2)2 a2/22 -a1/21 =(3/2)(5/2)1 以上式子想家得到：an/2n -a1/21 =(3/2)(5/2)1 + (3/2)(5/2)2 +.(3/2)(5/2)n-1=3/2(5/2)(5/2)n-1-1)/(5/2-1)整理后答案同上。例2. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足()寫出數(shù)列的前3項(xiàng) ()求數(shù)列的通項(xiàng)公

6、式解：當(dāng)n=1時(shí),有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；當(dāng)n=2時(shí),有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；當(dāng)n=3時(shí),有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化簡(jiǎn)得：上式可化為：故數(shù)列是以為首項(xiàng), 公比為2的等比數(shù)列.故 數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.例3已知數(shù)列中，.求數(shù)列【解析】依題有，即，可變形為，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。從而5、 練習(xí)題：1、已知，求（答：）；2、已知，求（答：）；3、已知是遞增數(shù)列，且對(duì)任意nN*，都有恒成立， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.0 B.-3解3、D 依題意，恒成立，.則2n+1

7、+0-(2n+1)恒成立，-(2n+1)-3，故滿足條件的的取值范圍是-3.4. 設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數(shù)列an為等比數(shù)列1. 解: ()由,得 又,即,得. ()當(dāng)n1時(shí),得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列5. 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1（3n22n）6n

8、5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13122615，所以，an6n5 （）.6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足()寫出數(shù)列的前3項(xiàng) ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解：當(dāng)n=1時(shí),有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；當(dāng)n=2時(shí),有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；當(dāng)n=3時(shí),有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化簡(jiǎn)得：上式可化為：故數(shù)列是以為首項(xiàng), 公比為2的等比數(shù)列.故 數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.7. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。本題若用等比數(shù)列法：an+1+x2n=2(an+x2n-1) an+1+x2n=2(an+x2n-1)=2an+2x2n-1=2an+x2n,解不出x 解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。8. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為9. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：由得則所以10. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得 ，則，故因此，則11. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：因?yàn)?，所以，則，則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：12、已知：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗运允绞降?則 則 所以