數(shù)列通項公式的求法與數(shù)列求和方法精講與練習(xí)含答案

1、數(shù)列的通項公式的求法1、 觀察法（即猜想法，不完全歸納法）觀察各項的特點，關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系例1：根據(jù)數(shù)列的前4，寫出它的一個通項公式：9,99,999,9999，.2、 公式法若已知數(shù)列的前n項和與項數(shù)n的關(guān)系，求數(shù)列的通項公式可用公式法求解。例2：的前n項和，求的通項公式。3、 由遞推公式求數(shù)列通項法對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊的數(shù)列。1. 迭加法 已知遞推關(guān)系例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。變式：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。2. 迭乘法已知遞推關(guān)系是例4：已知數(shù)列中，求的通項

2、公式。變式：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。3、待定系數(shù)法例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。變式： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。4、數(shù)學(xué)歸納法例6已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。數(shù)列求和（一）主要知識：1直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式：（2）等比數(shù)列的求

3、和公式（切記：公比含字母時一定要討論）2公式法： 3錯位相減法：比如4裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項。常見拆項公式： ； ； ；。5分組求和法：把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。6合并求和法：如求的和。7倒序相加法：8其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項公式；2求和過程中注意分類討論思想的運用；3轉(zhuǎn)化思想的運用；（三）例題分析：例1求和：求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n項和思路分析：通過分組，直接用公式求和。解：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)總結(jié)：運用等比數(shù)列前n項和公

4、式時，要注意公比討論。2錯位相減法求和例2已知數(shù)列，求前n項和。思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1，3，5，2n-1與等比數(shù)列對應(yīng)項積，可用錯位相減法求和。解：當(dāng)當(dāng)3.裂項相消法求和例3.求和解:練習(xí):求 答案:4.倒序相加法求和例4求證：思路分析：由可用倒序相加法求和。證：令則 等式成立5其它求和方法還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5已知數(shù)列。思路分析：，通過分組，對n分奇偶討論求和。解：，若若練習(xí)：已知成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)，又，試比較與3的大小。解：可求得，n為正偶數(shù)，（四）、小結(jié)：1掌握各種求和基本方法；2利用等比數(shù)列求和公式時注意分討論。同步練習(xí)：數(shù)列的通項公式與求和練習(xí)1練習(xí)

5、2練習(xí)3練習(xí)4練習(xí)5練習(xí)6練習(xí)7練習(xí)8 等比數(shù)列的前項和S2，則練習(xí)9 求和：5，55，555，5555，；練習(xí)10 求和：練習(xí)11 求和：練習(xí)12 設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和 答案練習(xí)1答案：練習(xí)2 證明： (1) 注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二條式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以S(n)/n是等比數(shù)列

6、(2) 由(1)知，S(n)/n是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列。 所以S(n)/n=1*2(n-1)=2(n-1) 即S(n)=n*2(n-1) (*) 代入a(n+1)S(n)*(n+2)/n得 a(n+1)=(n+2)*2(n-1) (n屬于N) 即a(n)=(n+1)*2(n-2) (n屬于N且n>1) 又當(dāng)n=1時上式也成立 所以a(n)=(n+1)*2(n-2) (n屬于N) 由(*)式得：S(n+1)=(n+1)*2n =(n+1)*2(n-2)*22 =(n+1)*2(n-2)*4 對比以上兩式可知：S(n+1)=4*a(n練習(xí)3 答案：1)a1=S1=1/3(a1-1)a1=-1/2a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/23a2=a2-1+3/22a2=1/2a2=1/42)3Sn=an-13S(n-1)=a(n-1)-1相減：3an=an-a(n-1)2an=-a(n-1)an/a(n-1)=-1/2所以an為等比數(shù)列！練習(xí)4 累加法，答案：練習(xí)5 累乘法，答案：練習(xí)6 待定系數(shù)法，答案：練習(xí)7 倒數(shù)法，答案：練習(xí)8 公式法，答案：練習(xí)9 答案：練習(xí)10 ，列項相消法，答案練習(xí)11，,列項相消法 1/(1+2+3+n)=1/n(n+1)/2=2/n(n+1)所以原式=1+2/2*3+2/3*4+2/n(n+1)=