拋物線性質(zhì)歸納證明和應(yīng)用

1、拋物線性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用拋物線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于到定直線（定點(diǎn)在定直線外）的距離的點(diǎn)的軌跡，它是橢圓過(guò)渡到雙曲線的瞬間曲線，它只有一支（雙曲線有兩支），只有一條對(duì)稱軸，沒(méi)有漸近線和對(duì)稱中心，屬于無(wú)心曲線拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦性質(zhì)豐富多彩，此外還有定點(diǎn)、定值、定弦、最值等問(wèn)題也值得探討，拋物線的許多性質(zhì)也是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，這里就它的一些性質(zhì)加以歸納，說(shuō)明和證明，及其在歷年高考和模擬考試出現(xiàn)的典例一、焦半徑、焦點(diǎn)弦性質(zhì)如圖，AB是過(guò)拋物線 y22px（p0）焦點(diǎn)F的弦，AD、BC是準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，M是CD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、點(diǎn)B(x2，y2)，直

2、線AB交y軸于點(diǎn)K(0，y3)，則：K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF( ，0)A(x1，y1)xyHGxqNQ y1y2p2； x1x2； ； | AB |x1x2p （q為AB的傾斜角）； SOAB，S梯形ABCD. ； AMBDFCRt； AM、BM是拋物線的切線； AM、BM分別是DAB和CBA的平分線； AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，BM、CF、y軸三線共點(diǎn)； A、O、C三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線； 若| AF |：| BF |m：n，點(diǎn)A在第一象限，q為直線AB的傾斜角. 則cos q ； 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

3、MN交拋物線于點(diǎn)Q，則，Q是MN的中點(diǎn). y1y2p2； x1x2； | AB |x1x2p （q為AB的傾斜角）；SOAB，S梯形ABCD.【證明】設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F(，0)的AB的直線方程為xmy，代入拋物線方程y22px得 y22pmyp20，因此CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)q圖1 y1y2p2，y1y22pm.另由得在RtCFD中，F(xiàn)RCD，有| RF |2| DR | RC |，而| DR | y1 |，| RC | y2 |，| RF |p，且y1 y20y1y2p2. 又點(diǎn)A、B在拋物線上，有x1，x2，因此x1x2. ，在直線AB方程xmy中令x0，得y3，

4、代入上式得【證法一】根據(jù)拋物線的定義，| AF | AD |x1，| BF | BC |x2， | AB | AF | BF |x1x2p又| AB | y2y1 | 2p(1m2)當(dāng)m0時(shí)，m，有1m21（k為直線AB的斜率）CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F圖2當(dāng)m0時(shí)，q90，1m21也滿足1m2| AB |2p(1m2) .【證法二】如圖2，過(guò)A、B引x軸的垂線AA1、BB1，垂足為A1、B1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cosq，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .【證法三】極坐標(biāo)法，設(shè)拋物線的極坐標(biāo)方程

5、為r，則| AF |r1 ，| BF |r2 .| AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |(| y1 | y1 |)y1y2p2，則y1、y2異號(hào)，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .又| CD | AB |sinq ，| AD | BC | AB |.S梯形ABCD(| AD | BC |)| CD |.【例1】（2001年新課程高考文）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y22x與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則（ ）A. B. C. 3D. 3【解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2y1y2p2，

6、故選B.【例2】（2009年福建理）過(guò)拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則p .【解】由性質(zhì)得| AB |8，p4. 【證法一】由x1x2，且| AF |x1，| BF |x2. 【證法二】由| AF |r1 ，| BF |r2 . 【例3】（2000全國(guó)）過(guò)拋物線yax2（a0）的焦點(diǎn)F用一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p、q，則等于（ ）A. 2a B. C.4a D. 【解】由yax2得x2 y，（拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為），由此得4a，故選C.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM圖3 AM

7、BDFCRt，先證明：AMBRt【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖3，則ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE為等腰三角形，又M是AE的中點(diǎn)，BMAE，即AMBRt【證法二】取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN |ABM為直角三角形，AB為斜邊，故AMBRt.【證法三】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).kAM，同理kBMkAMkBM1BMAE，即AMBRt.【證

8、法四】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).CDBRAxyOF圖41234M(x1，)，(x3，)(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0，故AMBRt.【證法五】由下面證得DFC90，連結(jié)FM，則FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如圖412，同理34圖5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)aaabbb2318090AMBRt.接著證明：DFCRt【證法一】如圖5，由于| AD | AF |，ADRF，故可設(shè)AFDADFDFRa，同理，設(shè)BFCBCFCFRb，而AFDDFRBFCCFR1802(ab)180，即ab90，故DFC90CDB(x2，y2)R

9、A(x1，y1)xyOFM圖6GHD1【證法二】取CD的中點(diǎn)M，即M(，)由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90.【證法三】(p，y1)，(p，y2)，p2y1y20，故DFC90.【證法四】由于| RF |2p2y1y2| DR | RC |，即，且DRFFRC90 DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90DFRRFC90N1NMxyOF圖7M1lDFC90【例4】（2009年湖北文）如圖7，過(guò)拋物線y22px（P0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1、N1，求證：FM1FN1CDB(x2，y2)RA(x1，

10、y1)xyOFM圖8D1 AM、BM是拋物線的切線【證法一】kAM，AM的直線方程為yy1(x)與拋物線方程y22px聯(lián)立消去x得yy1()，整理得y22y1y0可見(jiàn)(2y1)240，故直線AM與拋物線y22px相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖8.【證法二】由拋物線方程y22px，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得2y2p，故拋物線y22px在點(diǎn)A(x1，y1)處的切線的斜率為k切| yy1.又kAM，k切kAM，即AM是拋物線在點(diǎn)A處的切線，同理BM也是拋物線的切線.【證法三】過(guò)點(diǎn)A(x1，y1)的切線方程為y1yp(xx1)，把M(，)代入左邊y1px1，右邊p(x1)px1，左邊右邊，可見(jiàn)，過(guò)點(diǎn)A的切

11、線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，即AM是拋物線的切線，同理BM也是拋物線的切線.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM圖9 AM、BM分別是DAB和CBA的平分線【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖9，則ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【證法二】由圖9可知只須證明直線AB的傾斜角a是直線AM的傾斜角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b，即AM平分DAB，同理BM平分CBA. AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，BM、CF、y軸三線共點(diǎn)【證法一】如圖10，設(shè)AM與DF相交于點(diǎn)G1，由以上

12、證明知| AD | AF |，AM平分DAF，故AG1也是DF邊上的中線，G1是DF的中點(diǎn).CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖10GHD1設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)D1，DF與y軸相交于點(diǎn)G2，易知，| DD1 | OF |，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2 |，則G2也是DF的中點(diǎn).G1與G2重合（設(shè)為點(diǎn)G），則AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn).【證法二】AM的直線方程為yy1(x)，令x0得AM與y軸交于點(diǎn)G1(0，)，又DF的直線方程為y(x)，令x0得DF與y軸交于點(diǎn)G2(0，)AM、DF與y軸的相交同一點(diǎn)G(0，)，則AM、DF、

13、y軸三線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn)H由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF圖11 A、O、C三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線【證法一】如圖11，kOA，kOCkOAkOC，則A、O、C三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法二】設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)O，ADRFBC，又| AD | AF |，| BC | BF |，| RO | OF |，則O與O重合，即C、O、A三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法三】設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)O，RFBC，| OF |【見(jiàn)證】O與O重合，則即C、O、A三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法四】(，y2)

14、，(x1，y1)，y1x1 y2y1 y20，且都以O(shè)為端點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線，同理B、O、D三點(diǎn)共線.【推廣】過(guò)定點(diǎn)P(m，0)的直線與拋物線y22px（p0）相交于點(diǎn)A、B，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l：xm的垂線，垂足分別為M、N，則A、O、N三點(diǎn)共線，B、O、M三點(diǎn)也共線，如下圖： 【例5】（2001年高考）設(shè)拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸. 證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.CB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF圖12【證法一】因?yàn)閽佄锞€y22px（p0）的焦點(diǎn)為F(，0)，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為xmy；代

15、入拋物線方程得y22pmyp20設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，y1y2p2因?yàn)锽Cx軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x上，故C(，y2)，CDB(x2，y2)EA(x1，y1)xyOF圖13N直線CO的斜率為 kOCkOA.直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.【證法二】如圖13，過(guò)A作ADl，D為垂足，則：ADEFBC連結(jié)AC與EF相交于點(diǎn)N，則，由拋物線的定義可知：| AF | AD |，| BF | BC | EN | NF |.即N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 若| AF |：| BF |m：n，點(diǎn)A在第一象限，q為直線AB的傾斜角. 則cos q；

16、【證明】如圖14，過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為D，C，過(guò)B作BEAD于E，設(shè)| AF |mt，| AF |nt，則CDBRAxyOqEF圖14l| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn)t在RtABE中，cosBAEcos qcosBAE.【例6】設(shè)經(jīng)過(guò)拋物線y22px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，且| AF |：| BF |3：1，則直線AB的傾斜角的大小為 .【答案】60或120. 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.【說(shuō)明】如圖15，設(shè)E是AF的中點(diǎn)，CDBRAxyOF圖15

17、lMNE則E的坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為d| AF |故以AF為直徑的圓與y軸相切，同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說(shuō)明】如圖15，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，作MN準(zhǔn)線l于N，則| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |圖16則圓心M到l的距離| MN | AB |，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. MN交拋物線于點(diǎn)Q，則Q是MN的中點(diǎn).【證明】設(shè)A(，y1)，B(，y1)，則C(，y2)，D(，y1)，M(，)，N(，)，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則Q (，) 點(diǎn)Q 在拋物線y22px上，即Q是MN的中點(diǎn).二、定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題（共9個(gè)結(jié)論）平行于拋物線對(duì)稱軸的

18、光線，被拋物面反射后會(huì)聚焦于拋物線的焦點(diǎn)，如圖17.圖17FABxOTl【證明】如圖17，設(shè)拋物線方程為y22px（p0），直線ABx軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，則過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y0yp(xx0)，直線l的斜率為k0，設(shè)直線AB到l的角為a，則tana，設(shè)直線AF的斜率為k1，則k1 ，設(shè)直線l到AF的角為b，則tanb.tanatanb，又a、b0，p)，則ab，也就是說(shuō)平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，被拋物面反射后會(huì)聚焦于拋物線的焦點(diǎn).圖18FPMxOQNyM【例7】（2004年福建省質(zhì)檢）如圖18，從點(diǎn)M(x0，2)發(fā)出的光線沿平行于拋物線y24x的軸的方向射向拋物線的點(diǎn)P，反射后經(jīng)焦

19、點(diǎn)F又射向直線l：x2y70上的點(diǎn)N，再反射后又設(shè)回點(diǎn)M，則x0 .【解】PMx 軸，點(diǎn)P在拋物線上，得P的坐標(biāo)為(1，2)，經(jīng)過(guò)F(1，0)點(diǎn)后反射在Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為(1，2)，經(jīng)Q反射后點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，2)，設(shè)M關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為M，依題意，Q、N、M 共線.故可設(shè)M (x1，2)，由此得 ，解得x06.【另解】若設(shè)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，設(shè)Q (a，b)，由于Q、Q關(guān)于直線l對(duì)稱，由此得，解得則Q的坐標(biāo)為(，)， 又M、N、Q 三點(diǎn)共線，kMNkNQ，即，x06.xyOA(，s)圖19B(，t)C(x0，y0)若C(x0，y0)是拋物線y22px（p0）上的任一點(diǎn)，過(guò)C引兩條互相垂直

20、的直線交拋物線于A、B，則直線AB過(guò)定點(diǎn)(2px0，y0).【證明】設(shè)A(，s)、B(，t)（s，t，y0互不相等）那么，由ACBC得kACkBC 14p2(y0s)(y0t)st4p2(st)y0 又直線AB的方程為，整理得，y 把代入得 yy0(x2px0)y0令x2px00，即x2px0，得yy0.故直線AB過(guò)定點(diǎn)(2px0，y0). 特別地，當(dāng)C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2p，0).【拓展】C(x0，y0)是拋物線y22px（p0）上的一定點(diǎn)，直線AB與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)（都異于C），若直線CA、CB的斜率kCA、kCB的乘積為定值m，那么，直線AB過(guò)定點(diǎn)(x0，y0).x

21、yOA(xA，yA)圖20B(xB，yB)MP【例8】（2000京皖春季高考）如圖20，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y24px（p0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAOB，OMAB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線【解法一】點(diǎn)A，B在拋物線y24px上，設(shè)A(，yA)，B(，yB)，OA、OB的斜率分別為kOA、kOBkOA，kOA，kAB.由OAOB，得kOAkOB1 直線AB方程為，yyA(x)，即(yAyB)(yyA)4p(x) 由OMAB，得直線OM方程y 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則x，y滿足、兩式，將式兩邊同時(shí)乘以，并利用式整理得，yA2yyA(x2y2)0 圖21xyOA(xA，yA)B(xB

22、，yB)MP由、兩式得yByA(x2y2)0，由式知，yAyB16p2，所以x2y24px0因?yàn)锳、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以x0所以點(diǎn)M的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【解法二】由性質(zhì)(2)易知AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4p，0)，由于OMAB，那么，M的軌跡以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)其軌跡方程為x2y24px0（x0）.拋物線y22px（p0）的弦AB的中點(diǎn)D恰好在定直線l：xm（m0）上，則線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)M(mp，0).圖22【證明】如圖22，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(m，y0)，那么得2p(x1x2)直線AB的斜率k

23、AB直線DM的斜率kDMDM的直線方程為yy0(xm)令y0，得xmp直線AB的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)(mp，0).【例9】（2008湖南理科高考）若A、B是拋物線y24x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x2時(shí)，點(diǎn)P(x，0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”給定x02證明：點(diǎn)P(x0，0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；（略）【說(shuō)明】應(yīng)用性質(zhì)，由已知得p2，由定點(diǎn)P(x0，0)得mpx0，故mx02“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x02.設(shè)直線l與拋物線y22px（p0）相交于點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么若直線l過(guò)拋物線對(duì)

24、稱軸的定點(diǎn)M(a，0)，則y1y22ap，x1x2a2；反之若y1y2k（定值），則直線l恒過(guò)定點(diǎn)N (，0).若直線l與y軸相交于點(diǎn)(0，y3)，則.【證明】設(shè)過(guò)點(diǎn)M(a，0)的直線方程為xmya，代入拋物線方程y22px得xyOA(x1，y1)圖23B(x2，y2) y22pmy2pa0，因此y1y22ap，x1x2a2.設(shè)直線l方程為xmyb，代入拋物線方程y22px得 y22pmy2pb0，即方程的根y1、y2是P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1y22pb，又y1y2k.2pbk，即b，則直線l方程為xmy令y0，得x，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)N(，0).由l的方程xmya中，令x0得y3，y1y22pm

25、 .N(x2，y2)M(x1，y1)xyOa圖24b【例10】（北京2005年春季高考理科）如圖24，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別為a和b（a0，b0），且交拋物線y22px（p0）于M(x1，y1)、N(x2，y2)兩點(diǎn).寫(xiě)出直線l的截距式方程；證明：.【解】直線l的截距式方程為1.由上面性質(zhì)證明可得.過(guò)拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，設(shè)l，m，則lm0.B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF圖25M【證法一】設(shè)過(guò)點(diǎn)F(，0)的直線方程為xmy，代入拋物線方程y22px得 y22pmyp20，因此y1y2p2，y1y22pm

26、令x，得yM由l得(x1，y1)l (x1，y1)y1l y1，l1，同理，m1lm222220.B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF圖26MA1B1【證法二】由已知l，m，得lm0則 過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，則有： 由得，即lm0.Oyx11lF圖27【例11】（2007年福建理科高考）如圖27，已知點(diǎn)F(1，0)，直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知l1，l2，求l1l2的值；【略解】動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：y24x；l1l20.定長(zhǎng)為l的弦AB的兩個(gè)

27、端點(diǎn)在拋物線y22px上，M是AB 的中點(diǎn)，M到y(tǒng)軸的距離為d，那么，M的軌跡方程為：4(y2p2)(2pxy2)p2l2，且B(x2，y2)A(x1，y1)xyOF圖28M(x0，y0)當(dāng)0l2p時(shí)，d的最小值為，此時(shí)，ABy軸；當(dāng)l2p時(shí)，d的最小值為，此時(shí)，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F.【解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，AB的直線方程為xmyb，代入拋物線方程y22px得y22pmy2pb0. y1y22pm，y1y22pb.又AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，且點(diǎn)M在直線AB上，y0pm，x0my0b，m，bx0my0x0.| AB |2l2(x1x2)2

28、(y1y2)2(my1bmy2b)2(y1y2)2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1)48pb(1)48p(x0)整理得，4(p2)(2px0)p2l2. 故中點(diǎn)M的軌跡方程為：4(y2p2)(2pxy2)p2l2.由上可知dx，令ty2p2p2，即y2tp2，則dx（tp2）.令，得t.當(dāng)0l2p時(shí)，p2，d在t p2，)上是增函數(shù)，當(dāng)tp2，即y0時(shí)，dmin，此時(shí)，m0，即ABy軸.當(dāng)l2p時(shí)，p2，d2. 當(dāng)且僅當(dāng)，即tp2時(shí)取等號(hào)，故d的最小值為.BAxyOF圖29MAMB【證法二】當(dāng)l2p時(shí)，過(guò)A、B、M作準(zhǔn)線x的垂線，垂足為A、B、M，則| MM |d

29、(| AA | BB |)(| AF | BF |)| AB |l.上式當(dāng)且僅當(dāng)| AF | BF | AB |，即弦AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)M時(shí)取等號(hào)，則d的最小值為l.【說(shuō)明】經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的最短弦是通經(jīng)2p，因此當(dāng)弦AB的長(zhǎng)l2p時(shí)，不能用證法二證明d的最小值為.BAxyO圖30CF【例12】長(zhǎng)度為a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線x22py（a2p0）上運(yùn)動(dòng)，以AB的中點(diǎn)C為圓心作圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求圓C的最小半徑.【解】依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定長(zhǎng)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上，弦的中點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離的最值問(wèn)題，由上面的性質(zhì)可知當(dāng)弦AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)C到準(zhǔn)線的距離為最小值. 如圖30. 圓C的最小半徑為

30、r.過(guò)拋物線y22px（p0）的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)M(m，0)（m0），作直線AB與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)N是定直線l：xm上的任一點(diǎn)，則直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列.ABNM(m，0)(m，n)xmOxy圖31【證明】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(m，n)，由性質(zhì)有y1y22pm，則直線AN、BN的斜率為kAN，kBNkANkBN 又直線MN的斜率為kMN.kANkBN2kMN直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列.拋物線的一組平行弦的中點(diǎn)共線，且所在直線平行于對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合. AiBiMixyO圖33【證明】設(shè)斜率為k（k為常數(shù)）的一組平行線與拋物線y22px（p0）

31、交于點(diǎn)Ai、Bi（i1，2，），弦AiBi的中點(diǎn)為Mi，（即M1，M2，Mn），且AiBi的直線方程為ykxbi（bi為直線AiBi在y軸上的截距），Ai(x1，y1)，Bi(x2，y2)，Mi(xi，yi).聯(lián)立方程組，消去x得y2ybi0y1y2，又Mi是AiBi的中點(diǎn)yi，則M1，M2，Mn在平行于x軸的直線y上.當(dāng)直線AiBi與x軸垂直（即直線AiBi的斜率不存在時(shí)），易知M1，M2，Mn在x軸上.xAy112MNBO圖34【例13】（2009年陜西卷理20文21）已知拋物線C：y2x2，直線ykx2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N證明：拋物線C在點(diǎn)N處

32、的切線與AB平行；【證明】如圖34，設(shè)A(x1，2)，B(x1，2)，把ykx2代入y2x2得2x2kx20，由韋達(dá)定理得x1x2，x1x21，xNxM，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為ym(x)，將y2x2代入上式得2x2mx0，直線l與拋物線C相切，Dm28()0，解得mk，即lAB.【說(shuō)明】其實(shí)，也就是與AB平行的弦，它們的中點(diǎn)在過(guò)AB中點(diǎn)且與對(duì)稱軸（x軸）平行的直線上，它與C的交點(diǎn)N，此時(shí)的切點(diǎn)就是這些弦的縮點(diǎn)，故過(guò)N點(diǎn)的拋物線C的切線與AB平行.過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)作任一直線l與拋物線y22px（p0）相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1、l2，設(shè)l

33、1，l2相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q在定直線pxy0ypx00上.PABQOxy圖35【證明】設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P與x軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為xx0m(yy0).聯(lián)立方程組，消去x得 y2mymy0x00y1y22p(my0x0)又過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線的切線方程為 y1yp(xx1)和y2yp(xx2)，聯(lián)立方程組解得xQmy0x0 yQppm 由得m 代入得xQ y0x0，點(diǎn)Q在直線pxy0ypx00上.AnA2A1BnB1B2FOCnxy圖36【例14】（2007年重慶文科高考題）如圖36，對(duì)每個(gè)正整數(shù) n，An(xn

34、，yn)是拋物線x24y上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線FAn交拋物線于另一點(diǎn)Bn(sn，tn).試證：xnsn4（n1）；取xn2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).試證：| FC1 | FC2 | FCn |2n2n11.【說(shuō)明】本題第小題就是拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)y1y2=p2.第小題兩條切線的交點(diǎn)Cn就是上面拋物線的性質(zhì)，即點(diǎn)Cn必在直線y1上.yxBAOM2p圖37【例15】（2008年山東理科高考）如圖，設(shè)拋物線方程為x22py（p0），M為 直線y2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；略.【證明】由題意設(shè)A(x1，)，B(x2，)，x1x2，M(x0，2p)由x22py得y，y所以，kMA，kMB，因此直線MA的方程為y2p(xx0)，直線MB的方程為y2p(xx0)，所以，2p(x1x0)，2p(x2x0)，得，x1x2x0，即2x0x1x2所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.過(guò)拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則2.【證明】設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F(，0)的直線AB的方程為xmy（m0），且A(x1，