換個角度求平面的法向量研究空間夾角問題

1、換個角度求平面的法向量研究空間夾角問題圖1眾所周知，過一定點與已知非零向量垂直的平面是確定的，也就是說，只要知道一定點和一非零向量，就可以求解出過該定點與已知向量垂直的平面方程.比如已知點與平面，向量（不同時為零），于是可以借助向量垂直求解過點與向量垂直的平面的方程：設(shè)平面內(nèi)的任一點，則，即，整理得，即為所求平面的方程.于是根據(jù)過點與向量垂直的平面的方程的具體形式，若取可知空間內(nèi)任一平面的方程的形式為（不同時為零），從求解可以看出平面方程（不同時為零）中的系數(shù)對應(yīng)的實數(shù)對就是平面的法向量.再者，根據(jù)空間立體幾何知識可知過不共線的三點確定一個平面，也就是說，若過已知一個平面內(nèi)不共線三個點的坐標(biāo)就

2、可以利用待定系數(shù)法求解這三點所在的平面方程，進(jìn)而就可以利用此法確定相應(yīng)平面的法向量，研究空間中的夾角（線面角、面面角）問題.例1（2011年高考全國卷理科第19題）如圖1 ，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.（）證明：；圖2（)求與平面所成角的大小. 解析：以點為坐標(biāo)原點，射線為軸正半軸，建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系.依題意得. 設(shè)點，則. 由得，即； 再由得，即； 由得，即，則，即.（）設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由及可得，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.而，即，故；（)設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由及可得，即，取，得.于是平面的方程為，其法向量為，而,設(shè)

3、與平面所成角，則.圖3故與平面所成的角為.例2.（2011年高考遼寧卷理科第18題） 如圖3，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）證明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值 解析：以點為坐標(biāo)原點，設(shè)，射線為為軸正半軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意可知.（I）)設(shè)平面的方程為（不同時為零），圖4其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為,其法向量為.設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.于是，則，故平面PQC平面DCQ；（II）設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.設(shè)平面的方程為（不同時為零），其法向量為.由得，即，取，則.于是平面的方程為，其法向量為.，而二面角QBPC的平面角為鈍角，故二面角QBPC的余弦值為.鞏固練習(xí)：圖51.如圖5，所示，在正方體中，是棱的中點.（）求直線與平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一點，使平面？證明你的結(jié)論. 2.如圖6，正方形ABCD和圖6四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：