綜合法與分析法

1、2 2. .2 2直接證明與間接證明直接證明與間接證明2.2.12.2.1綜合法與分析法綜合法與分析法理解綜合法和分析法的概念及它們的區(qū)別，理解綜合法和分析法的概念及它們的區(qū)別，能熟練地運(yùn)用綜合法、分析法證題能熟練地運(yùn)用綜合法、分析法證題本節(jié)重點(diǎn)：綜合法與分析法的概念及用分析法與綜合法證題的過程、特點(diǎn)本節(jié)難點(diǎn)：用綜合法與分析法證明命題1 1分析法與綜合法既有區(qū)別又有聯(lián)系，分析法是分析法與綜合法既有區(qū)別又有聯(lián)系，分析法是從從“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠攏，逐步靠攏“已知已知”，每步推理都是尋找該步結(jié)論的充分條件，是每步推理都是尋找該步結(jié)論的充分條件，是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”，綜合法是從，綜

2、合法是從“已知已知”看看“可知可知”逐步推向逐步推向“未知未知”，每步推理都是，每步推理都是“由因?qū)в梢驅(qū)Ч保鴮?shí)際解決問題時(shí)，常將兩種方法結(jié)合，而實(shí)際解決問題時(shí)，常將兩種方法結(jié)合起來使用由已知條件看能得到哪些明顯的結(jié)起來使用由已知條件看能得到哪些明顯的結(jié)論，看待證結(jié)論需要這些結(jié)論中的哪些才能獲論，看待證結(jié)論需要這些結(jié)論中的哪些才能獲證，常常是證，常常是“分析找思路，綜合寫過程分析找思路，綜合寫過程”2 2綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因?yàn)榫C合法與分析法的推理過程是演繹推理，因?yàn)榫C合法與分析法的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯綜合法與分析法的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個(gè)結(jié)論

3、都是正確的，不推理，從而得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的同于合情推理中的“猜想猜想”綜合法和分析法綜合法和分析法綜合法綜合法分析法分析法定義定義利用利用 和某和某些數(shù)些數(shù)學(xué)學(xué) 、 、 等，經(jīng)過一等，經(jīng)過一系列的系列的 ，最后推導(dǎo)出所要證明最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法明方法叫做綜合法從要證明的從要證明的 ，逐步尋求使它成立逐步尋求使它成立的的 ，直至最，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條為判定一個(gè)明顯成立的條件件(已知條件、已知條件、 等等)，這種證，這種證明方法叫做分析法明方法叫做分析法已知條件定義公

4、理定理推理論證結(jié)論出發(fā)充分條件定理、 定義、公理綜合法綜合法分析法分析法框圖框圖表示表示(P表示表示 、已有的、已有的 等，等，Q表示表示 )特點(diǎn)特點(diǎn)順推證法或由因?qū)Ч樛谱C法或由因?qū)Ч嫱谱C法或執(zhí)果索因法逆推證法或執(zhí)果索因法已知條件定義、公理、定理所要證明的結(jié)論例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因?yàn)橐驗(yàn)閎 b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏 c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,

5、b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.證明證明: :1.綜合法證明問題的步驟第一步：第一步：分析條件分析條件，選擇方向仔細(xì)分析題目的已知條件，選擇方向仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法方法第二步：第二步：轉(zhuǎn)化條件轉(zhuǎn)化條件，組織過程把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化，組織過程把題目的已知條件

6、，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化組織過程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言之間的轉(zhuǎn)化組織過程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路言，清晰的思路第三步：第三步：適當(dāng)調(diào)整適當(dāng)調(diào)整，回顧反思解題后回顧解題過程，可，回顧反思解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取反思總結(jié)解題方法的選取方法歸納方法歸納方法歸納方法歸納3綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法一輯

7、依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法一般問題都是用綜合法解決的，要保證前提般問題都是用綜合法解決的，要保證前提條件正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證條件正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證結(jié)論的正確性結(jié)論的正確性方法歸納方法歸納 設(shè)設(shè)a a, ,b b, ,c c0,0,證明：證明： 本題因?yàn)橛腥?xiàng)分式，不主張用分本題因?yàn)橛腥?xiàng)分式，不主張用分 析法證明不等式，要特別注意基本不等式的運(yùn)析法證明不等式，要特別注意基本不等式的運(yùn) 用和對題設(shè)條件的運(yùn)用用和對題設(shè)條件的運(yùn)用. .這里可從去分母的角這里可從去分母的角 度去運(yùn)用基本不等式度去運(yùn)用基本不等式. . 證明證明 a a, ,b b, ,c c00，根據(jù)基本

8、不等式，根據(jù)基本不等式，.222cbaaccbba.).(2:.2,2,2222222222cbaaccbbacbacbaaccbbacaacbccbabba即三式相加有例例2練習(xí)練習(xí)2221.131.abcabcabc 已知 ， ， 為正實(shí)數(shù)， 求證： 素材 ：222222222222222222222211(3331)331333() 31(333222)31()()() 0.31.13abcabcabcabcabcabcabacbcabbccaabc 方法 ：所 證以明：22222222222222222222()2223()()11.23abcabcabacbcabcabacbcabc

9、abcabc因?yàn)?，所以 ，所以 方法 ：222222222222222111.13330.111()()()3331211().3333.313abcabcabcabc設(shè) ， ， 因?yàn)?，所以 所以 所以 方法 ：分析不等式中的a，b，c為對稱的，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個(gè)正數(shù)的均值定理，再根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出證明的結(jié)論證明a2b22ab，a0，b0，(a2b2)(ab)2ab(ab)a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2.a3b3a2bab2.同理：b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2.將三式相加得：2(a3b3c3)a2bab2bc2b2ca2cac2，3

10、(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(abc)(a2b2c2)? : ?A,B,C成等差數(shù)列可得什么由a,b,c成等比數(shù)分由列可得什么析0260(?)A CBB 為 什 么2bac?怎樣把邊,角聯(lián)系起來222:2cosbacacB余弦定理符號語言符號語言圖形語言圖形語言文字語言文字語言學(xué)會語言轉(zhuǎn)換學(xué)會語言轉(zhuǎn)換找出隱含條件找出隱含條件3,.ABCABC例中 三個(gè)內(nèi)角A,B.C對應(yīng)的邊分別為a,b,c.且A,B,C成等差數(shù)列,a,b,c成等比數(shù)列,求證為等邊三角形練習(xí)練習(xí)2cossincos144，、求證：對于任意角abbaba16).sintan,sint

11、an2222求證：（、已知 分析要證明上述不等式成立，暫無條件可用，這時(shí)可以從所要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步反推，尋找使當(dāng)前命題成立的充分條件，即用分析法證明點(diǎn)評(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)分析法證明不等式的思維是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式；(3)用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”等詞語方法歸納方法歸納練習(xí)練習(xí)練習(xí)練習(xí) 已知已知a a0,0,求證求證: : 證明證明 . 212122aaaa, 212122aaaa要證4141,)21()

12、21(, 0. 21212222222222aaaaaaaaaaaaa即故只要證只要證., 21),12(2)1(4),1(212, 2)1(22122222222222故原不等式成立而上述不等式顯然成立即只要證從而只要證aaaaaaaaaaaaaa例例5ABC的三個(gè)內(nèi)角的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差成等差數(shù)列，數(shù)列，A、B、C的對邊分別為的對邊分別為a、b、c.分析分析條件與結(jié)論跨越較大，不易下手，可考慮條件與結(jié)論跨越較大，不易下手，可考慮用分析法證明；由于分析法是執(zhí)果索因，逐步用分析法證明；由于分析法是執(zhí)果索因，逐步尋找成立的充分條件，因此分析法的倒退過程尋找成立的充分條件，因此分析法的倒退過

13、程就是綜合法就是綜合法只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，有b2c2a22accos60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2得證綜合法：證明：ABC三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos60，得c2a2acb2，等式兩邊同時(shí)加上abbc得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，點(diǎn)評綜合法和分析法各有優(yōu)缺點(diǎn)從尋找解題思路來看，綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易奏效；分析法執(zhí)果索因，常常根底漸近，有希望成功，就表達(dá)證明過程而論，綜合法形式簡潔，條理清晰；分析法敘述繁瑣，文

14、辭見長也就是說分析法利于思考，綜合法宜于表述因此，在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用，先以分析法為主導(dǎo)求解題思路，再用綜合法有條理地表述解答或證明過程方法歸納方法歸納求證：logn(n1)logn1(n2)(n2)練習(xí)練習(xí) 若若a a、b b、c c是不全相等的正數(shù)，是不全相等的正數(shù)， 求證求證: : 用分析法得到用分析法得到 再用綜合法證明再用綜合法證明. .證明證明 方法一方法一.lglglg2lg2lg2lgcbaaccbba,222abcaccbbaaaccbbalg2lg2lg2lg要證,lglg成立cb.)lg()222lg(成立即證abcaccbba,222成立只需證

15、abcaccbba練習(xí)練習(xí)成立0222, 02, 02, 02abcaccbbacaacbccbabba（*）又又a a、b b、c c是不全相等的正數(shù)，是不全相等的正數(shù)，（* *）式等號不成立，）式等號不成立，原不等式成立原不等式成立. .方法二方法二 a a、b b、c cR R+ +，. 02, 02, 02caacbccbabba又又a a、b b、c c是不全相等的正數(shù)，是不全相等的正數(shù)，.222abcaccbba 分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法方法，分析法的證明過程，恰好是綜合法的分，分析法的證明過程，恰好是綜合法的分析、思考過程，綜合法是分析法的逆過程析、思考過程，綜合法是分析法的逆過程. .lglglg2lg2lg2lg).lg()222lg(cbaaccbbaabcaccbba即分析分析先用分析法將所證不等式轉(zhuǎn)化為易證的等價(jià)式子，先用分析法將所證不等式轉(zhuǎn)化為易證的等價(jià)式子，再用綜合法進(jìn)行證明再用綜合法進(jìn)行證明(2)在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用，根