數(shù)學建模集訓小題目新

1、2011年數(shù)學建模集訓小題目1.求下列積分的數(shù)值解（1）（2），；（3），。2.已知，畫出時，的圖形。3.畫出由橢圓所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體（叫做旋轉(zhuǎn)橢球體）的圖形，并計算它的體積。4.畫出繞軸一周所圍成的圖形，并求所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。5. 有一外表面母線為的旋轉(zhuǎn)體（繞軸旋轉(zhuǎn)）工件，畫出該工件并計算工件的體積。6.畫出下列曲面的圖形（1）旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面；（2）旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面；（3）拋物柱面；（4）橢圓錐面；（5）橢球面；（6）馬鞍面；（7）橢圓柱面。7.畫出隱函數(shù)的圖形。8.（1）求函數(shù)的三階導數(shù)；（2）求向量的一階向前差分。9.求解非線性方程組（1）（2）10.求函數(shù)的極值點，

2、并畫出函數(shù)的圖形。11畫出函數(shù)在上的等值線和相應的梯度方向。12.曲線是橢圓在第一象限部分，求曲線積分。13.曲線是圓周的上半部分，求積分。14.被積曲面為球面在第一卦限部分的外側(cè)，計算曲面積分15. 是一個二維隨機變量的概率密度函數(shù)，繪出這一分布的聯(lián)合分布函數(shù)圖像和概率密度函數(shù)圖像。16.判別二次型的正定性，并求正交變換把二次型化成標準型。17.某單位需要加工制作100套鋼架，每套用長為2.9m，2.1m和1m的圓鋼各一根。已知原料長6.9m，問應如何下料，使用的原材料最省。18. 某部門在今后五年內(nèi)考慮給下列項目投資，已知：項目，從第一年到第四年每年年初需要投資，并于次年末回收本利115；

3、項目，從第三年初需要投資，到第五年末能回收本利125，但規(guī)定最大投資額不超過4萬元；項目，第二年初需要投資，到第五年末能回收本利140，但規(guī)定最大投資額不超過3萬元；項目，五年內(nèi)每年初可購買公債，于當年末歸還，并加利息6。該部門現(xiàn)有資金10萬元，問它應如何確定給這些項目每年的投資額，使到第五年末擁有的資金的本利總額為最大？19.已知某工廠計劃生產(chǎn)，三種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品需要在A，B，C三種設備上加工生產(chǎn)，具體相關(guān)數(shù)據(jù)如表1。試研究下列問題。（1）如何充分發(fā)揮已有設備的能力，使生產(chǎn)盈利最大？（2）如果為了增加產(chǎn)量，可租用其他廠家設備B，每月可租用60臺時，租金為1.8萬元，試問租用設備B是否合算？（

4、3）如果該工廠擬增加生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品和，其中產(chǎn)品需用A設備12臺時，B設備5臺時，C設備10臺時，單位產(chǎn)品盈利21000元；產(chǎn)品需用A設備4臺時，B設備4臺時，C設備12臺時，單位產(chǎn)品盈利1870元。假如A，B，C三種設備臺時不增加，試分別考慮這兩種新產(chǎn)品的投產(chǎn)在經(jīng)濟上是否合算？表1 生產(chǎn)計劃的相關(guān)數(shù)據(jù)設備有效臺時/每月A8210300B1058400C21310420單位產(chǎn)品利潤/元30002000290020.某市政府擬投入一筆資金和一定數(shù)量的勞動力建設兩類公益項目A和B，目的是方便市民的生活，提高城市的生活質(zhì)量。根據(jù)預測投入1萬元資金和1百個勞動力·h（即每個勞動力用1h）,分別

5、可以建成1個項目A和兩個項目B。如果投入1個勞動力·h需要支付10元，市政府為了用有限的資金和勞動力，并用最快的時間建成這批項目，服務于社會，服務于人民。市政府依次提出下面的四條要求。（1）至少要建50個項目A；（2）至多建設60個項目B；（3）至少要利用80萬元資金和10000個勞動力·h；（4）總投入資金不超過預算120萬元。試為該市政府制定一個滿意的項目建設方案。21.在10個頂點的無向圖中，每對頂點之間以概率0.6存在一條權(quán)重為上隨機整數(shù)的邊，首先生成該圖。然后求解下列問題（1）求該圖的最小生成樹。（2）求頂點到頂點的最短距離及最短路徑。（3）求所有頂點對之間的最短

6、距離。22. 在10個頂點的有向圖中，頂點（）和（）之間存在前向弧的概率為0.8，存在后向弧的概率為0.2，各弧上的容量是上的隨機整數(shù)，求起點到終點的最大流量。30.求微分方程組初值問題式中，。選用ode45函數(shù)計算，其相對誤差限為，絕對誤差限為，分別畫出初值條件為，解的相平面軌跡圖。31.JHEngel用第二次世界大戰(zhàn)末期美日硫磺島戰(zhàn)役中的美軍戰(zhàn)地記錄，對Lanchester作戰(zhàn)模型進行了驗證，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)吻合得很好。硫黃島位于東京以南660英里的海面上，是日軍的重要空軍基地。美軍在1945年2月開始進攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個月，雙方傷亡慘重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美

7、方投入兵力73000人，其中第1天登陸54000人，第2天未增援，第3天增援6000人，第4、5天未增援，第6天增援13000人，以后未增援。戰(zhàn)斗結(jié)束時，戰(zhàn)斗結(jié)束時，美軍傷亡20265人，戰(zhàn)爭進行到28天時美軍宣布占領該島，實際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍的戰(zhàn)地記錄有按天統(tǒng)計的戰(zhàn)斗減員情況。日軍沒有后援，戰(zhàn)地記錄則全部遺失。用和表示美軍和日軍第天的人數(shù)，忽略雙方的非戰(zhàn)斗減員，則 （1）美軍戰(zhàn)地記錄給出增援為 并可由每天傷亡人數(shù)算出（）的實際值。模型求解的主要工作是對參數(shù)進行估計。對（1）式兩邊積分，并用求和來近似代替積分，有 （2） （3）為估計在（3）式中取，因為，且由的實際數(shù)據(jù)可得（Engle

8、根據(jù)Morehouse所給的數(shù)據(jù)算出來的），于是從（3）式估計出。再把這個值代入（3）式即可算出，。然后從（2）式估計。令，得 （4）其中分子是美軍的總傷亡人數(shù)，為20265人，分母可由已經(jīng)算出的得到，為372500人，于是從（4）式有。把這個值代入（2）式得 （5）由（5）式就能夠算出美軍人數(shù)的理論值，與實際數(shù)據(jù)吻合得很好。根據(jù)上述求得的參數(shù)的值，求微分方程組（1）的數(shù)值解，并畫出美軍人數(shù)、日軍人數(shù)的按時間變化曲線和微分方程組的軌線。32.某地區(qū)用水管理機構(gòu)需要對居民的用水速度（單位時間的用水量）和日總用水量進行估計?，F(xiàn)有一居民區(qū)，其自來水是由一個圓柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直徑為

9、17.4m。水塔是由水泵根據(jù)水塔中的水位自動加水。按照設計，當水塔中的水位降至最低水位，約8.2m時，水泵自動啟動加水；當水位升高到最高水位，約10.8m時，水泵停止工作。表2給出的是28個時刻的數(shù)據(jù)，但由于水泵正向水塔供水，有4個時刻無法測到水位（表1中為-）。表2 水塔中水位原始數(shù)據(jù)時刻（t）/h水位/m時刻（t）/h水位/m時刻（t）/h水位/m時刻（t）/h水位/m試建立數(shù)學模型，來估計居民的用水速度和日總用水量。33求兩個圓，所圍公共部分的面積。34.已知二維正態(tài)分布的隨機變量的概率密度函數(shù)為，計算，并求使得.35.已知平面區(qū)域，的高程數(shù)據(jù)見表3（單位：m）。 表3480044004

10、000360032002800240020001600120080040001350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 1501370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 2101380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 3501420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 5

11、50 5001430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950830 980 1

12、180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250

13、0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600試用二維插值求方向間隔都為10的高程，畫出該區(qū)域的等高線和三維視圖，并求該區(qū)域的表面積。36. 已知矩陣，求二次型在單位球面上的最小值。37. 求解線性規(guī)劃問題s.t. 38求解數(shù)學規(guī)劃問題s.t.其中，這里是服從均值為5，標準差為2的正態(tài)分布的隨機數(shù)；表示500個元素全部為1的列向量。39. 均值向量為，協(xié)方差矩陣為的3維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，其中。生成上述三維正態(tài)分布的1000對隨機數(shù)（），把代入求得（）。反過來用（）來擬合三維正態(tài)分布的均值向量

14、和協(xié)方差矩陣。40. 根據(jù)表4某豬場24頭育肥豬4個胴體性狀的數(shù)據(jù)資料，試進行瘦肉量y對眼肌面積（x1）、腿肉量(x2)、腰肉量(x3)的多元回歸分析。 表4 某養(yǎng)豬場數(shù)據(jù)資料序號瘦肉量y(kg)眼肌面積x1(cm2)腿肉量x2(kg)腰肉量x3(kg)序號瘦肉量y(kg)眼肌面積x1(cm2)腿肉量x2(kg)腰肉量x3(kg)115.0223.735.491.211415.9423.525.181.98212.6222.344.321.351514.3321.864.861.59314.8628.845.041.921615.1128.955.181.37413.9827.674.721.

15、491713.8124.534.881.39515.9120.835.351.561815.5827.655.021.66612.4722.274.271.501915.8527.295.551.70715.8027.575.251.852015.2829.075.261.82814.3228.014.621.512116.4032.475.181.75913.7624.794.421.462215.0229.655.081.701015.1828.965.301.662315.7322.114.901.811114.2025.774.871.642414.7522.434.651.82121

16、7.0723.175.801.901315.4028.575.221.66要求（1）求關(guān)于的線性回歸方程，計算的估計值；（2）對上述回歸模型和回歸系數(shù)進行檢驗（要寫出相關(guān)的統(tǒng)計量）；（3）試建立關(guān)于的二項式回歸模型，并根據(jù)適當統(tǒng)計量指標選擇一個較好的模型。（4）利用表4的數(shù)據(jù)分別利用Matlab的命令lsqcurvefit和nlinfit擬合非線性函數(shù)41.對于表7中的數(shù)據(jù)，求三次樣條插值函數(shù)（要求寫出具體的插值函數(shù)），并求插值函數(shù)與，及軸所圍曲邊梯形的面積。 表5 341.5122.542. 用Matlab符號求解命令求微分方程的精確解，并用龍格庫塔方法求微分方程數(shù)值解，畫出解的圖形，對結(jié)果

17、進行分析比較。，其中，它的精確解43. 某核心企業(yè)需要在5個待選的零部件供應商中選擇一個合作伙伴，各待選供應商有關(guān)數(shù)據(jù)見表6。表6 某核心企業(yè)待選供應商的指標評價有關(guān)數(shù)據(jù)評價指標待選供應商12345產(chǎn)品質(zhì)量0.830.900.990.920.87產(chǎn)品價格（元）326295340287310地理位置（千米）2138251927售后服務（小時）3.22.42.22.00.9技術(shù)水平0.200.250.120.330.20經(jīng)濟效益0.150.200.140.090.15供應能力（件）250180300200150市場影響度0.230.150.270.300.18至少要用三種方法建模，對供貨商進行評價

18、。44. （設備更新問題）某企業(yè)使用一臺設備，在每年年初，企業(yè)領導部門就要決定是購置新的，還是繼續(xù)使用舊的。若購置新設備，就要支付一定的購置費用；若繼續(xù)使用舊設備，則需支付更多的維修費用。現(xiàn)在的問題是如何制定一個幾年之內(nèi)的設備更新計劃，使得總的支付費用最少。我們用一個五年之內(nèi)要更新某種設備的計劃為例，若已知該種設備在各年年初的價格為：第1年第2年第3年第4年第5年1111121213還已知使用不同時間（年）的設備所需要的維修費用為：使用年限0112233445維修費用5681118如何制定使得總的支付費用最少的設備更新計劃呢？45. 要鋪設一條的輸送天然氣的主管道, 如圖1所示。經(jīng)篩選后可以生

19、產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有。圖中粗線表示鐵路，單細線表示公路，雙細線表示要鋪設的管道(假設沿管道或者原來有公路，或者建有施工公路)，圓圈表示火車站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯數(shù)字表示里程(單位km)。圖1 交通網(wǎng)絡及管道圖為方便計，1km主管道鋼管稱為1單位鋼管。一個鋼廠如果承擔制造這種鋼管，至少需要生產(chǎn)500個單位。鋼廠在指定期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管的最大數(shù)量為個單位，鋼管出廠銷價1單位鋼管為萬元，見表7；1單位鋼管的鐵路運價見表8。表7 各鋼管廠的供貨上限及銷價123456780080010002000200020003000160155155160155150160表8 單位鋼管的鐵路運價里

20、程(km)300301350351400401450451500運價(萬元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000運價(萬元)37445055601000km以上每增加1至100km運價增加5萬元。公路運輸費用為1單位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計算）。鋼管可由鐵路、公路運往鋪設地點（不只是運到點，而是管道全線）。求7個鋼管廠到15個鋪設節(jié)點的最小運費。46. 某公司計劃推出一種新型產(chǎn)品，需要完成的作業(yè)由表9所示。表9 計算網(wǎng)絡圖的相關(guān)數(shù)據(jù)作業(yè) 名稱 計劃完成時間(周) 緊前作業(yè) 最短完成時間(周) 縮短1周的費用(元)

21、設計產(chǎn)品 6 4 800 市場調(diào)查 5 3 600 原材料訂貨 3 1 300 原材料收購 2 1 600 建立產(chǎn)品設計規(guī)范 3 1 400 產(chǎn)品廣告宣傳 2 1 300 建立產(chǎn)品生產(chǎn)基地 4 2 200 產(chǎn)品運輸?shù)綆?2 2 200 （1）畫出產(chǎn)品的計劃網(wǎng)絡圖；（2）求完成新產(chǎn)品的最短時間，列出各項作業(yè)的最早開始時間、最遲開始時間和計劃網(wǎng)絡的關(guān)鍵路線；（3）假定公司計劃在17周內(nèi)推出該產(chǎn)品，各項作業(yè)的最短時間和縮短1周的費用如上表所示，求產(chǎn)品在17周內(nèi)上市的最小費用；（4）如果各項作業(yè)的完成時間并不能完全確定，而是根據(jù)以往的經(jīng)驗估計出來的，其估計值如表10所示。試計算出產(chǎn)品在21周內(nèi)上市的概

22、率和以95的概率完成新產(chǎn)品上市所需的周數(shù)。表10 作業(yè)數(shù)據(jù)作業(yè) 最樂觀的估計 2 4 2 1 1 3 2 1最可能的估計 6 5 3 2 3 4 4 2最悲觀的估計 10 6 4 3 5 5 6 447. 已知各年度的稅收數(shù)據(jù)見表11，預測第15年的稅收，要求至少用4種以上的方法。表11 各年度的稅收數(shù)據(jù)年份1234567稅收15.215.918.722.426.928.330.5年份891011121314稅收33.840.450.75866.781.283.448. 某地100名正常成年男子血清總膽固醇（mmol/L）測量結(jié)果如表12。表12 測量數(shù)據(jù)表4.45.25.36.44.94.34.64.23.44.56.34.73.25.23.04.64.94.92.73.65.23.54.05.95.86.63.45.34.65.25.55.24.14.84.94.13.94.56.03.25.24.85.04.24.44.73.63.64.45.44.64.74.85.64.64.24.34.44.54.65.45.15.14.65.76.45.74.43.96.13.95.84.84.04.83.