數(shù)學(xué)四試題分析詳解和評注

1、以下題型均在05年考研文登數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班中講過2005年數(shù)學(xué)四試題分析、詳解和評注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）極限= 2 .【分析】 本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可.【詳解】 =【評注】 若在某變化過程下，則完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.23【例1.28】（2） 微分方程滿足初始條件的特解為 .【分析】 直接積分即可.【詳解】 原方程可化為 ，積分得 ，代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2.【評注】 本題雖屬基本題型， 也可先變形 ，再積分求解.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.229【例10.5】

2、（3）設(shè)二元函數(shù)，則 .【分析】 基本題型，直接套用相應(yīng)的公式即可.【詳解】 , ,于是 .完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.166【例7.6】（4）設(shè)行向量組，線性相關(guān)，且，則a= .【分析】 四個4維向量線性相關(guān)，必有其對應(yīng)行列式為零，由此即可確定a.【詳解】 由題設(shè)，有 , 得，但題設(shè)，故.【評注】 當(dāng)向量的個數(shù)小于維數(shù)時，一般通過初等變換化階梯形討論其線性相關(guān)性.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.312【例3.3】（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 2 .【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 =，于

3、是有 【評注】 本題相當(dāng)于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示。一般地，若 ， ，則有 完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.268【例1.5】（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ + =【評注】 全概率公式綜合考查了加法公式、乘法公式和條件概率，這類題型一直都是考查的重點.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.407【例1.31】二、選擇題（本題共8小題，每小題4

4、分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）當(dāng)a取下列哪個值時，函數(shù)恰好有兩個不同的零點.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】 先求出可能極值點，再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對應(yīng)簡單圖形進行分析，當(dāng)恰好有一個極值為零時，函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點.【詳解】 =，知可能極值點為x=1,x=2，且 ，可見當(dāng)a=4時，函數(shù)f(x) 恰好有兩個零點，故應(yīng)選(B).【評注】 對于三次多項式函數(shù)f(x)=,當(dāng)兩個極值同號時，函數(shù)f(x) 只有一個零點；當(dāng)兩個極值異號時，函數(shù)f(x) 有三個零點；當(dāng)兩個極值有一為

5、零時，函數(shù)f(x) 有兩個零點.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.151【例6.26】（8）設(shè),其中，則(A) . （B）.(C) . (D) . A 【分析】 關(guān)鍵在于比較、與在區(qū)域上的大小.【詳解】 在區(qū)域上，有，從而有 由于cosx在 上為單調(diào)減函數(shù)，于是 因此 ，故應(yīng)選(A).【評注】 本題比較二重積分大小，本質(zhì)上涉及到用重積分的不等式性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性進行分析討論.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.183【例8.2】（9）下列結(jié)論中正確的是 (A) 與都收斂. （B）與都發(fā)散.(C) 發(fā)散，收斂. (D) 收斂，發(fā)散. D 【分析】 直接計算相應(yīng)積分，判定其斂散性即可.【

6、詳解】 =，積分收斂， =，積分發(fā)散.故應(yīng)選(D).【評注】 廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袛?，一般只要求掌握通過計算能判定的情形.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.123【例4.52】（10）設(shè),下列命題中正確的是(A) f(0)是極大值，是極小值. （B） f(0)是極小值，是極大值.（C） f(0)是極大值，也是極大值. (D) f(0)是極小值，也是極小值. B 【分析】 先求出，再用取極值的充分條件判斷即可.【詳解】 ，顯然 ，又 ，且，故f(0)是極小值，是極大值，應(yīng)選(B).【評注】 本題為基本題型，主要考查取極值的充分條件.對應(yīng)定理公式見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.141（11）以下四

7、個命題中，正確的是(A) 若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （B）若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （C）若在（0，1）內(nèi)有界，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. (D) 若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界. C 【分析】 通過反例用排除法找到正確答案即可.【詳解】 設(shè)f(x)=, 則f(x)及均在（0，1）內(nèi)連續(xù)，但f(x)在（0，1）內(nèi)無界，排除(A)、(B); 又在（0，1）內(nèi)有界，但在（0，1）內(nèi)無界，排除(D). 故應(yīng)選(C). 【評注】 本題也可直接證明：用拉格朗日中值定理，有 在(0,1)之間，由此容易推知若在（0，1）內(nèi)有界，則f(x

8、)在（0，1）內(nèi)有界. （12）設(shè)A,B,C均為n階矩陣，E為n階單位矩陣，若B=E+AB,C=A+CA，則B-C為(A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A A 【分析】 利用矩陣運算進行分析即可.【詳解】 由B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,可見，E-A與B 互為逆矩陣，于是有 B(E-A)=E.從而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A可逆，故 B-C=E. 應(yīng)選(A).【評注】 本題考查矩陣運算性質(zhì)，注意當(dāng)(E-A)B=E時，表明E-A,B均可逆，且互為逆矩陣，從而利用逆矩陣的定義，它們還可互換.（13）設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的概

9、率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機事件與相互獨立，則(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.5又事件與相互獨立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故應(yīng)選(B).【評注】 本題考查二維隨機變量分布律的性質(zhì)和獨立隨機事件的概念，均為大綱要求的基本內(nèi)容.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.528【

10、習(xí)題二，1.（9）】（14） 設(shè)為獨立同分布的隨機變量列，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則(A) . (B) .(C)(D) C 【分析】 只需求出的期望與方差，再根據(jù)中心極限定理將其標(biāo)準(zhǔn)化即可.【詳解】 由題設(shè)，于是 ， ，根據(jù)中心極限定理，知 其極限分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故應(yīng)選(C).【評注】 本題考查中心極限定理，應(yīng)注意中心極限定理的條件和結(jié)論，特別是注意結(jié)論之間的轉(zhuǎn)換.完全類似結(jié)論見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.484三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分8分）求 【分析】 型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則

11、.【詳解】 = = =【評注】 本題屬基本題型，在里用羅必塔法則求極限的過程中，應(yīng)注意利用無窮小量的等價代換進行簡化.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.29【例1.45】（16）（本題滿分8分）設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求 【分析】 先求出二階偏導(dǎo)數(shù)，再代入相應(yīng)表達式即可.【詳解】 由已知條件可得 ， ， ，所以 =【評注】 本題屬基本題型，但在求偏導(dǎo)數(shù)的過程中應(yīng)注意計算的準(zhǔn)確性.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.171【例7.18】（17）（本題滿分9分） 計算二重積分，其中.【分析】 被積函數(shù)含有絕對值，應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.【詳解】 記，

12、于是 =+=【評注】 形如積分、等的被積函數(shù)均應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.193【例8.18】（18）（本題滿分9分）求f(x,y)=在橢圓域上的最大值和最小值.【分析】 根據(jù)全微分和初始條件可先確定f(x,y)的表達式. 而f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值, 可能在區(qū)域的內(nèi)部達到，也可能在區(qū)域的邊界上達到，且在邊界上的最值又轉(zhuǎn)化為求條件極值.【詳解】 令得可能極值點為x=0,y=0. 且 ，所以點(0,0) 不是極值點，從而也非最值點.再考慮其在邊界曲線上的情形：令拉格朗日函數(shù)為 ，解 得可能極值點； 代入f(x,y)得 ，

13、可見z=f(x,y)在區(qū)域內(nèi)的最大值為3，最小值為-2.【評注】 本題綜合考查了多元函數(shù)微分學(xué)的知識，涉及到多個重要基礎(chǔ)概念，特別是通過偏導(dǎo)數(shù)反求函數(shù)關(guān)系，要求考生真正理解并掌握了相關(guān)知識.當(dāng)在區(qū)域邊界上求極值時，也可將代入f(x,y)=,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極值.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.178【例7.29】（19）（本題滿分8分）設(shè)f(x),g(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對任何a,有 【分析】 可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通過分部積分討論. 【詳解】 方法一：設(shè)，則F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時，因此，即F(x)在

14、0，1上單調(diào)遞減.注意到 ，而 =，故F(1)=0.因此時，由此可得對任何，有 方法二： =， = 由于時，因此 ， ，從而 【評注】 對于積分不等式的證明，主要有兩個途徑：一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，二是通過恒等變形，如變量代換、分部積分等，再用積分的不等式性質(zhì)進行討論.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.115【例4.4246】（20）（本題滿分13分）已知齊次線性方程組 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.【分析】 方程組（ii）顯然有無窮多解，于是方程組（i）也有無窮多解，從而可確定a，這樣先求出（i）的通解，再代入方程組（ii）確定b,c即可.【詳解】 方程組（ii）的未知量

15、個數(shù)大于方程個數(shù)，故方程組方程組（ii）有無窮多解.因為方程組（i）與（ii）同解，所以方程組（i）的系數(shù)矩陣的秩小于3.對方程組（i）的系數(shù)矩陣施以初等行變換 ，從而a=2. 此時，方程組（i）的系數(shù)矩陣可化為 ，故是方程組（i）的一個基礎(chǔ)解系.將代入方程組（ii）可得 或當(dāng)時，對方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有 ，顯然此時方程組（i）與（ii）同解.當(dāng)時，對方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有 ，顯然此時方程組（i）與（ii）的解不相同. 綜上所述，當(dāng)a=2,b=1,c=2時，方程組（i）與（ii）同解.【評注】 本題求a也可利用行列式，得a=2.本題也可這樣考慮：方程組必

16、存在無窮多解，化系數(shù)矩陣為階梯形，可確定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再對兩組數(shù)據(jù)進行討論即可.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.355【習(xí)題3（7）】（21）（本題滿分13分）設(shè)A為三階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足，.(I) 求矩陣B, 使得；（II）求矩陣A的特征值；（III）求可逆矩陣P, 使得為對角矩陣.【分析】 利用(I)的結(jié)果相當(dāng)于確定了A的相似矩陣，求矩陣A的特征值轉(zhuǎn)化為求A的相似矩陣的特征值.【詳解】 (I) ,可知 （II）因為是線性無關(guān)的三維列向量，可知矩陣可逆，所以，即矩陣A與B相似，由此可得矩陣A與B有相同的特征值.由 ，得矩陣B的特征值

17、，也即矩陣A的特征值 （III） 對應(yīng)于，解齊次線性方程組(E-B)X=0，得基礎(chǔ)解系 ，；對應(yīng)于，解齊次線性方程組(4E-B)X=0，得基礎(chǔ)解系 令矩陣 ，則 因 ，記矩陣 =，故P即為所求的可逆矩陣.【評注】 本題未知矩陣A的具體形式求其特征值及相似對角形，問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為A的相似矩陣進行分析討論，這種處理思路值得注意.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.370【例5.19】（22）（本題滿分13分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) 【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機變量函數(shù)的概率密度

18、，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度; 直接用條件概率公式計算即可.【詳解】 （I） 關(guān)于X的邊緣概率密度= =關(guān)于Y的邊緣概率密度= = （II） 令，1） 當(dāng)時，；2） 當(dāng)時， =; 3) 當(dāng)時，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：（III） 【評注】 本題屬基本題型，只需注意計算的準(zhǔn)確性，應(yīng)該可以順利求解.第二步求隨機變量函數(shù)分布，一般都是通過定義用分布函數(shù)法討論.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（經(jīng)濟類）P.436【例2.3840】（23）（本題滿分13分）設(shè)為來自總體N(0,)的簡單隨機樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差 （III） 【分析】 先將表示為相互獨立的隨機變量求和，再用方差的性質(zhì)進行計算即可；求與的協(xié)方差，本質(zhì)上還是數(shù)學(xué)期望