數(shù)一真題標準答案及解析

1、2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一真題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為_ .（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)=_ .（3）設為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為_.（4）歐拉方程的通解為. _ .（5）設矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 _ .（6）設隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= _ .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）把時的無窮小量，使排在后面的是

2、前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . （8）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對任意的有f(x)>f(0) . (D) 對任意的有f(x)>f(0) . （9）設為正項級數(shù)，下列結論中正確的是 (A) 若=0，則級數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(C) 若級數(shù)收斂，則. (D) 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. （10）設f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. （11）設A是

3、3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . （12）設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (B) A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關. (C) A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (D) A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關. （13）設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B) . (C) . (D) . （14）設隨機變量獨立同分布，且其方差為 令，則(A) C

4、ov( (B) . (C) . (D) . （15）（本題滿分12分）設, 證明.（16）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).（18）（本題滿分11分）設有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當時，級數(shù)收斂.（1

5、9）（本題滿分12分）設z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.（20）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.（21）（本題滿分9分） 設矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化. (22)（本題滿分9分）設A,B為隨機事件，且，令 求：（I）二維隨機變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關系數(shù)（23）（本題滿分9分）設總體X的分布函數(shù)為 其中未知參數(shù)為來自總體X的簡單隨機樣本，求：（I） 的矩估計量；（II） 的最大似然估計量.2004年數(shù)學一試題分析、詳解和評注一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24

6、分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為.【分析】 本題為基礎題型，相當于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導數(shù)為1可確定切點的坐標.【詳解】 由，得x=1, 可見切點為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評注】 本題也可先設切點為，曲線y=lnx過此切點的導數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .本題比較簡單，類似例題在一般教科書上均可找到.（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達式，再積分即可.【詳解】 令，則，于是有 ， 即 積分得 . 利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)= .【評注】 本題屬基礎題

7、型，已知導函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分.（3）設為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標將曲線用參數(shù)方程表示，相應曲線積分可化為定積分.【詳解】 正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =【評注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定積分計算即可.（4）歐拉方程的通解為 .【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可.【詳解】 令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評注】 本題屬基礎題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 （5）設矩陣，矩陣B滿足，其中

8、為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為【評注】 先化簡再計算是此類問題求解的特點，而題設含有伴隨矩陣，一般均應先利用公式進行化簡.（6）設隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】 已知連續(xù)型隨機變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計算即可.【詳解】 由題設，知，于是 = =【評注】 本題應記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應在考試時再去推算.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目

9、要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）把時的無窮小量，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先兩兩進行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項，又 =，可見是比低階的無窮小量，故應選(B).【評注】 本題是無窮小量的比較問題，也可先將分別與進行比較，再確定相互的高低次序.（8）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對任意的有f(x)>f(0) . (D) 對任意的有f(x)>f(0) . C 【分析】 函數(shù)f(

10、x)只在一點的導數(shù)大于零，一般不能推導出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項，再利用導數(shù)的定義及極限的保號性進行分析即可.【詳解】 由導數(shù)的定義，知 ，根據(jù)保號性，知存在，當時，有 即當時，f(x)<f(0); 而當時，有f(x)>f(0). 故應選(C).【評注】 題設函數(shù)一點可導，一般均應聯(lián)想到用導數(shù)的定義進行討論.（9）設為正項級數(shù)，下列結論中正確的是 (A) 若=0，則級數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(C) 若級數(shù)收斂，則. (E) 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往可用反例通過排除法找到正確選

11、項.【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級數(shù)收斂，但，排除(C), 故應選(B).【評注】 本題也可用比較判別法的極限形式， ，而級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)也發(fā)散，故應選(B).（10）設f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導，再代入t=2求即可.關鍵是求導前應先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應選(B).【評注】 在應用變限的積分對變量x求導時，應注意被積函數(shù)中不能含有變量x: 否則，應先通過恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)

12、中的變量x換到積分號外或積分線上.（11）設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對A作兩次初等列變換，相當于右乘兩個相應的初等矩陣，而Q即為此兩個初等矩陣的乘積.【詳解】由題設，有 ， ，于是， 可見，應選(D).【評注】 涉及到初等變換的問題，應掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關系.（12）設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有(D) A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (E) A的列向量組線性

13、相關，B的列向量組線性相關. (F) A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (D) A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關. A 【分析】A,B的行列向量組是否線性相關，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進行分析討論.【詳解1】 設A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)>0,r(B)>0. 可見r(A)<n, r(B)<n, 即A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關，故應選(A).【詳解2】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，而B為非零矩陣，即Ax=0存在非零解，可見A的列向量組線

14、性相關.同理，由AB=O知，于是有的列向量組，從而B的行向量組線性相關，故應選(A).【評注】 AB=O是?？缄P系式，一般來說，與此相關的兩個結論是應記住的：1） AB=O;2） AB=OB的每列均為Ax=0的解.（13）設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 此類問題的求解，可通過的定義進行分析，也可通過畫出草圖，直觀地得到結論.【詳解】 由標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對稱性知，于是即有 ，可見根據(jù)定義有，故應選(C).【評注】 本題相當于分位數(shù)，直觀地有 o （14）設隨機變量獨立同分布，且其方差為 令，

15、則(A) Cov( (B) . (C) . (D) . A 【分析】 本題用方差和協(xié)方差的運算性質(zhì)直接計算即可，注意利用獨立性有：【詳解】 Cov( =【評注】 本題(C),(D) 兩個選項的方差也可直接計算得到：如 =， =（15）（本題滿分12分）設, 證明.【分析】 根據(jù)要證不等式的形式，可考慮用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明.【證法1】 對函數(shù)在a,b上應用拉格朗日中值定理，得 設，則， 當t>e時， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設，則 ， ,所以當x>e時， 故單調(diào)減少，從而當時， ，即當時，單調(diào)增加.因此當時，即 ，故 .【評注】 本題也

16、可設輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進行證明即可.（16）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.【分析】 本題是標準的牛頓第二定理的應用，列出關系式后再解微分方程即可.【詳解1】 由題設，飛機的質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度. 從飛機接觸跑道開始記時，設t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為

17、v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當時， 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機滑行的最長距離為 或由，知，故最長距離為當時，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當時，所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【評注】 本題求飛機滑行的最長距離，可理解為或的極限值，這種條件應引起注意.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應用高斯公式求解，而在添加

18、的曲面上應用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 【評注】 本題選擇時應注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），再就是在上直接投影積分時，應注意符號(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負號).（18）（本題滿分11分）設有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當時，級數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性.而正項級數(shù)的斂散性可用比較法判定.【證】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實數(shù)根當x>0時，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實數(shù)根由與知 ，故

19、當時，.而正項級數(shù)收斂，所以當時，級數(shù)收斂. 【評注】 本題綜合考查了介值定理和無窮級數(shù)的斂散性，題型設計比較新穎，但難度并不大，只要基本概念清楚，應該可以輕松求證.（19）（本題滿分12分）設z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.【分析】 可能極值點是兩個一階偏導數(shù)為零的點，先求出一階偏導，再令其為零確定極值點即可，然后用二階偏導確定是極大值還是極小值，并求出相應的極值.【詳解】 因為 ，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(9,3)是z(x,y)的極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(-9, -3)是z(

20、x,y)的極大值點，極大值為z(-9, -3)= -3.【評注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關鍵是求可能極值點時應注意x,y,z滿足原方程.（20）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進而判斷是否有非零解；或直接計算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設行列式的值必為零，由此對參數(shù)a的可能取值進行討論即可.【詳解1】 對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當a=0時， r(A)=1<n，故方程組有非零解，其同解方程

21、組為 由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當時，對矩陣B作初等行變換，有 可知時，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當，即a=0或時，方程組有非零解.當a=0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評注】 矩陣A的行列式也可這樣計算：=+，矩陣的特征值為，從而A的特征值為a,a, 故行列式（21）（本題滿分9分） 設矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個線性無關的特征向量，確定A是否可相似對角化即可.【詳解】 A的特征多項式為 =當是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當a= -2時，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對應的線性無關的特征向量有兩個，從而A可相似對角化.若不是特征方程的二重根，