數(shù)學(xué)一試題評(píng)析

1、2003年考研數(shù)學(xué)（一）真題評(píng)注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） = .【分析】 型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式=進(jìn)行計(jì)算求極限均可.【詳解1】 =,而 ，故 原式=【詳解2】 因?yàn)?，所以 原式=【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.24-25 【例1.30-31】.（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是.【分析】 待求平面的法矢量為，因此只需確定切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出平面方程, 而切點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)曲面切平面的法矢量與平行確定.【詳解】 令 ，則， .設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切平面的法矢量為 ，其與已知平面平行，因此有 ，可解得 ，相應(yīng)地

2、有 故所求的切平面方程為 ，即 .【評(píng)注】 本題屬基本題型，完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.279 【例10.28】和數(shù)學(xué)題型集粹和練習(xí)題集P.112 【例8.13】.（3） 設(shè)，則= 1 .【分析】 將展開為余弦級(jí)數(shù)，其系數(shù)計(jì)算公式為.【詳解】 根據(jù)余弦級(jí)數(shù)的定義，有 = = =1.【評(píng)注】 本題屬基本題型，主要考查傅里葉級(jí)數(shù)的展開公式，本質(zhì)上轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算. 完全類似例題見文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)一P.62第一大題第（6）小題和數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.240 【例8.37】.（4）從的基到基的過渡矩陣為 .【分析】 n維向量空間中，從基到基的過渡矩陣P滿足=P，因此過渡矩陣P為：P=.【詳解】根

3、據(jù)定義，從的基到基的過渡矩陣為P=. =【評(píng)注】 本題屬基本題型，完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.429 【例3.35】.（5）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 則 .【分析】 已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求滿足一定條件的概率，一般可轉(zhuǎn)化為二重積分=進(jìn)行計(jì)算.【詳解】 由題設(shè)，有 = y 1 D O 1 x【評(píng)注】 本題屬基本題型，但在計(jì)算二重積分時(shí)，應(yīng)注意找出概率密度不為零與滿足不等式的公共部分D，再在其上積分即可. 完全類似例題見文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)一P.14第一大題第（5）小題.（6）已知一批零件的長度X (單位：cm)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，

4、得到長度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值【分析】 已知方差，對(duì)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計(jì)，可根據(jù)，由確定臨界值，進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間.【詳解】 由題設(shè)，可見 于是查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知本題n=16, , 因此，根據(jù) ，有，即 ，故的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .【評(píng)注】 本題屬基本題型，完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.608 【例6.16】.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A)

5、 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). (C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). C y O x 【分析】 答案與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而 x=0 則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C

6、).【評(píng)注】 本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過，當(dāng)時(shí)考查的是已知f(x)的圖象去推導(dǎo)的圖象，本題是其逆問題. 完全類似例題在文登學(xué)校經(jīng)濟(jì)類串講班上介紹過.（2）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. D 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限屬型，必為無窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 對(duì)于不便直接證明的問題，經(jīng)

7、?？煽紤]用反例，通過排除法找到正確選項(xiàng). 完全類似方法見數(shù)學(xué)最后沖刺P.179.（3）已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn). (B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn). (C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn). (D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn). A 【分析】 由題設(shè)，容易推知f(0,0)=0，因此點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值，關(guān)鍵看在點(diǎn)(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號(hào). 【詳解】 由知，分子的極限必為零，從而有f(0,0)=0, 且 充分小時(shí)

8、），于是可見當(dāng)y=x且充分小時(shí)，；而當(dāng)y= -x且充分小時(shí)，. 故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)，應(yīng)選(A).【評(píng)注】 本題綜合考查了多元函數(shù)的極限、連續(xù)和多元函數(shù)的極值概念，題型比較新，有一定難度. 將極限表示式轉(zhuǎn)化為極限值加無窮小量，是有關(guān)極限分析過程中常用的思想，類似分析思想的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.43 【例1.71】.（4）設(shè)向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). D 【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組I

9、：可由向量組II：線性表示，則當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). 或其逆否命題：若向量組I：可由向量組II：線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有. 可見正確選項(xiàng)為(D). 本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】 用排除法：如，則，但線性無關(guān)，排除(A)；，則可由線性表示，但線性無關(guān)，排除(B)；，可由線性表示，但線性無關(guān)，排除(C). 故正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】 本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案，若記不清楚，也可通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢业秸_選項(xiàng)。此定理見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.409 定理11.（5）設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命

10、題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本題也可找反例用排除法進(jìn)行分析，但 兩個(gè)命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住 與 ，迅速排除不正確的選項(xiàng).【詳解】 若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命題成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩(A)=秩(B)， 則不能推出Ax=0與Bx=0同解，如，則秩(

11、A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),故正確選項(xiàng)為(B).【評(píng)注】 文登學(xué)校數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班上曾介紹過這樣一個(gè)例題：【例】 齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充要條件(A) r(A)=r(B). (B) A,B為相似矩陣.(C) A, B的行向量組等價(jià). (D) A,B的列向量組等價(jià). C 有此例題為基礎(chǔ)，相信考生能迅速找到答案.（6）設(shè)隨機(jī)變量，則 (A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 先由分布的定義知，其中，再將其代入，然后利用F分布的定義即可.【詳解】 由題設(shè)知，其中，于是=，這里，根據(jù)F分布的定義知故應(yīng)選(C).【評(píng)注】 本題

12、綜合考查了t分布、分布和F分布的概念，要求熟練掌握此三類常用統(tǒng)計(jì)量分布的定義, 見文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷數(shù)學(xué)一P.57第二大題第（6）小題（事實(shí)上完全相當(dāng)于原題）和數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.592的定義和P.595的【解題提示】.三 、（本題滿分10分）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【分析】 先求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積A; 旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體（圓錐）體積減去一小立體體積進(jìn)行計(jì)算，為了幫助理解，可畫一草圖.【詳解】 (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則曲線y=lnx在點(diǎn)處的切

13、線方程是 由該切線過原點(diǎn)知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 y 1 D O 1 e x【評(píng)注】 本題不是求繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式. 也可考慮用微元法分析，完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.197的【例7.34】和P.201的【例7.42】.四 、（本題滿分12分）將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.【分析】 冪級(jí)數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?、?/p>

14、導(dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知冪級(jí)數(shù)展開的情形。本題可先求導(dǎo)，再利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開即可，然后取x為某特殊值，得所求級(jí)數(shù)的和.【詳解】 因?yàn)橛謋(0)=, 所以 =因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以 令，得 ,再由，得 【評(píng)注】 完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.228的【例8.25】.五 、（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 【分析】 本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式；(2)的證明應(yīng)注意用(1)的結(jié)果.【詳解】 方法一：(1) 左邊= =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得

15、方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因?yàn)镈 具有輪換對(duì)稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用輪換對(duì)稱性） =【評(píng)注】 本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計(jì)算出來的，因此期望通過計(jì)算出結(jié)果去證明恒等式與不等式是困難的. 另外，一個(gè)題由兩部分構(gòu)成時(shí)，求證第二部分時(shí)應(yīng)首先想到利用第一部分的結(jié)果，事實(shí)上，第一部分往往是起橋梁作用的.本題完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.325的【例12.15】, 相當(dāng)于此例題中取，也就是說，本題是【例12.15】的特殊情形.六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功. 設(shè)

16、土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k>0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m. 根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1). 問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：m表示長度單位米.）【分析】 本題屬變力做功問題，可用定積分進(jìn)行計(jì)算，而擊打次數(shù)不限，相當(dāng)于求數(shù)列的極限.【詳解】 (1) 設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下，第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為. 由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí)，土層對(duì)樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得

17、 ，從而 ，即汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下.（2） 由歸納法，設(shè)，則 =由于，故得 ,從而 于是 ，即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下 m.【評(píng)注】 本題巧妙地將變力作功與數(shù)列極限兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合起來了，有一定難度。但用定積分求變力做功并不是什么新問題，何況本題的變力十分簡(jiǎn)單，變力更復(fù)雜的情形可參見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.202的【例7.44-45】.七 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.【分析】 將轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單，=，關(guān)鍵是應(yīng)注意

18、：= =.然后再代入原方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問題的解為 【評(píng)注】 本題的核心是第一步方程變換，完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.53的【例2.8】.八 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零， ，其中，(1) 討論F(t)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2) 證明當(dāng)t>0時(shí)，【分析】 (1) 先分別在球面坐標(biāo)下計(jì)算分子的三重積分和在極坐標(biāo)下計(jì)算分母的重積分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性

19、；(2) 將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏螅瑯?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.【詳解】 (1) 因?yàn)?， ，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t>0時(shí)，只需證明t>0時(shí)，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t>0時(shí)，有g(shù)(t)>g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0,因此，當(dāng)t>0時(shí)，【評(píng)注】 本題將定積分、二重積分和三重積分等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來了，但難點(diǎn)是證明（2）中的不等式，事實(shí)上，這里也可用柯西積分不等式證明： ，在上式中取f(x)為，g(x)為即可. 完全類似例題見

20、數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P.129【例9.21】、【例9.24】和數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P.305的【例11.26】.九 、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出，進(jìn)而確定及B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一：經(jīng)計(jì)算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為

21、 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)A的特征值為，對(duì)應(yīng)特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為由于 ，故A的特征值為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9，9，3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).【評(píng)注】 設(shè)，若是A的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對(duì)應(yīng)特征向量不同，B對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為本題計(jì)算量大，但方法思路都是常規(guī)和熟悉的，主

22、要是考查考生的計(jì)算能力。不過利用相似矩陣有相同的特征值以及A與A*的特征值之間的關(guān)系討論，可適當(dāng)降低計(jì)算量，這方面可參見類似例題考研數(shù)學(xué)大串講P.214【例5】，數(shù)學(xué)最后沖刺P.136【例3】.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為【分析】 三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).方法二：必要性設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個(gè)方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價(jià)于方程組 (* *)因?yàn)?=-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).【評(píng)注】本題將三條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解的