復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、 復(fù) 數(shù)知識(shí)梳理1、 復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；這樣方程就有解了，解為或2、復(fù)數(shù)的概念（1）定義：形如(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，a叫做，b叫做。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母表示，即(a，bR)對(duì)于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點(diǎn)：(a，bR)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中表示與虛數(shù)單位相乘復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，否則不是代數(shù)形式（2）分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類abi為實(shí)數(shù)b0abi為虛數(shù)b0abi為純虛數(shù)a0且b0例題：當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？2、 復(fù)數(shù)相等也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件

2、是他們的實(shí)部和虛部分別相等注意：只有兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無(wú)法比較大小例題：已知求的值3、 共軛復(fù)數(shù)與共軛的共軛復(fù)數(shù)記作，且4、 復(fù)數(shù)的幾何意義1、 復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸。顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。2、 復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)與平面向量是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表示一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)平面向量）相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)例題：（1）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)平面表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第三象限；位于直線上 （2）復(fù)平面，已知，求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)3、 復(fù)數(shù)的模：向量的模叫

3、做復(fù)數(shù)的模，記作或，表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，若，則表示到的距離，即例題：已知，求的值5、 復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）運(yùn)算法則：設(shè)z1abi，z2cdi，a，b，c，dR（2）幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即，.6、 常用結(jié)論（1），求，只需將除以4看余數(shù)是幾就是的幾次例題：（2） ，（3） ，思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)方程x2x10沒(méi)有解.( )(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.( )(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.( )(4)原

4、點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).( )(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.( )考點(diǎn)自測(cè)1.(2015·)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i)(12i)等于()A.33i B.13i C.3i D.1i2.(2015·課標(biāo)全國(guó))已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i1i，則z等于()A.2i B.2i C.2i D.2i3.在復(fù)平面，復(fù)數(shù)65i，23i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.48i B.82i C.24i D.4i4.已知a，bR，i是虛數(shù)單位.若ai2bi，則(abi)2等于()A.34i B.34i C.43

5、i D.43i5.已知(12i)43i，則z_.題型分析題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)設(shè)i是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)za(aR)是純虛數(shù)，則a的值為()A.3 B.1 C.1 D.3(2)已知aR，復(fù)數(shù)z12ai，z212i，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為()A.1 B.i C.D.0(3)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，則“m1”是“z1z2”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件引申探究1.對(duì)本例(1)中的復(fù)數(shù)z，若|z|，求a的值.2.在本例(2)中，若為實(shí)數(shù)，則a_.思維升華解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法與注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置

6、都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.(1)若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A.1 B.0 C.1 D.1或1(2)(2014·)已知i是虛數(shù)單位，a，bR，則“ab1”是“(abi)22i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算命題點(diǎn)1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例2(1)(2015·)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A.i B.i C.1 D.1

7、(2)(2015·)復(fù)數(shù)i(2i)等于()A.12i B.12i C.12i D.12i命題點(diǎn)2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算例3(1)(2015·)已知1i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)()6_.命題點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合問(wèn)題例4(1)(2015·)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(12i)(ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_.(2)(2014·)已知復(fù)數(shù)z(52i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為_.命題點(diǎn)4復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算例5(1)(2014·)設(shè)i是虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z1i，則i·等于(

8、)A.2 B.2i C.2 D.2i(2)若復(fù)數(shù)z滿足(34i)z|43i|，則z的虛部為()A.4 B.C.4 D.思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的常見類型與解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式. (3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為abi(a，bR)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為abi(a，bR)的

9、形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.(1)(2015·)若復(fù)數(shù)z滿足i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)2 016_.(3)2 016_.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例6(1)(2014·)實(shí)部為2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若復(fù)數(shù)z滿足|zz1|zz2|zz3|，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為ABC的()A.心 B.垂

10、心C.重心 D.外心思維升華因?yàn)閺?fù)平面的點(diǎn)、向量與向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.(1)如圖，在復(fù)平面，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.A B.B C.C D.D(2)已知z是復(fù)數(shù)，z2i、均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，數(shù)a的取值圍.思想與方法解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化思想典例已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.思維點(diǎn)撥(1)x，y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)；(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題.溫馨提醒(1)復(fù)

11、數(shù)問(wèn)題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法.(2)本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學(xué)方法.(3)本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解.方法與技巧1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除與求低次方根.除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程.2.復(fù)數(shù)zabi(a，bR)是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的主要方法.對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù)看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí).3.在復(fù)數(shù)的幾何意

12、義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問(wèn)題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.失誤與防1.判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義.2.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.3.注意復(fù)數(shù)的虛部是指在abi(a，bR)中的實(shí)數(shù)b，即虛部是一個(gè)實(shí)數(shù).鞏固練習(xí)1.(2015·)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A.3，2 B.3,2C.3，3 D.1,42.設(shè)zi，則|z|等于()A.B.C. D.23.(2015·課標(biāo)全國(guó))若a為實(shí)數(shù)，且(2ai)(a2i)4i，則a等于()A.1 B.0 C.1 D.24.若i

13、為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.EB.FC.GD.H5.(2014·)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z2，(z)i2(i為虛數(shù)單位)，則z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i6.(2015·)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z234i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為_.7.若abi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則ab_.8.復(fù)數(shù)(3i)m(2i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)m的取值圍是_.9.計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).10.復(fù)數(shù)z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是實(shí)數(shù)，數(shù)a的值.能力提升11.復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1m(4m2)i，z22cos (

14、3sin )i(m，R)，并且z1z2，則的取值圍是()A.1,1 B. C. D.12.設(shè)f(n)nn(nN*)，則集合f(n)中元素的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.無(wú)數(shù)個(gè)13.已知復(fù)數(shù)zxyi，且|z2|，則的最大值為_.14.設(shè)aR，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy0上，則a的值為_.15.若1i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2bxc0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則b_，c_.鞏固練習(xí)參考答案1A. 2.B. 3.B. 4.D. 5.D. 6. 7.3. 8.m<.9.解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.10.解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是實(shí)數(shù)，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.11.解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得 化簡(jiǎn)得44cos23sin ，由此可得4cos23sin 4