第3章 疑難規(guī)律方法

1、.1概率加法公式應(yīng)用點(diǎn)撥概率的加法公式是計(jì)算概率的一個(gè)最根本的公式，根據(jù)它可以計(jì)算一些復(fù)雜事件的概率概率的加法公式可推廣為假設(shè)事件A1，A2，An彼此互斥兩兩互斥，那么PA1A2AnPA1PA2PAn，即彼此互斥事件和的概率等于各個(gè)事件發(fā)生的概率之和用此公式時(shí)，同學(xué)們首先要判斷事件是否互斥，假如事件不互斥，就不能用此公式下面舉例說(shuō)明概率加法公式的應(yīng)用一、計(jì)算互斥事件和的概率例1 由經(jīng)歷得知，某市某大型超市付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下表：排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0.100.160.300.300.100.04求：1至多2人排隊(duì)的概率；2至少2人排隊(duì)的概率解1記“沒(méi)有人排隊(duì)為事件A，

2、“1人排隊(duì)為事件B，“2人排隊(duì)為事件C，那么A，B，C彼此互斥PABCPAPBPC0.100.160.300.56.2記“至少2人排隊(duì)為事件D，“少于2人排隊(duì)為事件AB，那么事件D與事件AB是對(duì)立事件，那么PDP1PAPB10.100.160.74.點(diǎn)評(píng)應(yīng)用概率加法公式求概率的前提有兩個(gè)：一是所求事件是幾個(gè)事件的和，二是這幾個(gè)事件彼此互斥在應(yīng)用概率加法公式前，一定要弄清各事件之間的關(guān)系，把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)彼此互斥的事件的和，再應(yīng)用公式求解所求概率二、求解“至少與“至多型問(wèn)題例2 甲、乙、丙、丁四人同時(shí)參加一等級(jí)考試，恰有1人過(guò)關(guān)事件A的概率為0.198，恰有2人過(guò)關(guān)事件B的概率為0.380，

3、恰有3人過(guò)關(guān)事件C的概率為0.302，4人都過(guò)關(guān)事件D的概率為0.084.求：1至少有2人過(guò)關(guān)的概率P1；2至多有3人過(guò)關(guān)的概率P2.分析“至少有2人過(guò)關(guān)即事件BCD，“至多有3人過(guò)關(guān)即事件A，B，C與事件“4人均未過(guò)關(guān)的和事件，其對(duì)立事件為D.注意“4人均未過(guò)關(guān)這種可能情況解由條件知，事件A，B，C，D彼此互斥1P1PBCDPBPCPD0.766.2P2P1PD10.0840.916.點(diǎn)評(píng)處理“至多、“至少型問(wèn)題，既可以分情況討論，也可以從反面考慮，即借助對(duì)立事件的概率間接求解當(dāng)事件包含的情況較多時(shí)，常利用PA1P求PA三、列方程求解概率問(wèn)題例3 某班級(jí)同學(xué)的血型分別為A型、B型、AB型、O

4、型，從中任取一名同學(xué)，其血型為AB型的概率為0.09，為A型或O型的概率為0.61，為B型或O型的概率為0.60，試求任取一人，血型為A型、B型、O型的概率各是多少？分析設(shè)出所求事件的概率，將題中涉及到的事件用所求事件表示出來(lái)，借助這些事件的概率及公式，列方程求解即可解記“任取一人，血型為A型、“任取一人，血型為B型、“任取一人，血型為AB型、“任取一人，血型為O型分別為事件E，F(xiàn)，G，H，顯然事件E，F(xiàn)，G，H兩兩互斥故解得所以任取一人，血型為A型、B型、O型的概率分別為0.31，0.30,0.30.點(diǎn)評(píng)此題很好地應(yīng)用了全體事件的和為必然事件這一點(diǎn)挖掘題目中的隱含條件并合理利用是解決某些問(wèn)題

5、的關(guān)鍵，同學(xué)們應(yīng)注重這種才能的培養(yǎng)2概率誤區(qū)追源同學(xué)們對(duì)概率一詞雖不陌生，但求解概率問(wèn)題時(shí)總會(huì)一不小心就誤入歧途，下文例析幾類典型錯(cuò)誤，為同學(xué)們敲響警鐘一、對(duì)頻率與概率的含義及關(guān)系理解不清致誤例1 以下說(shuō)法中正確的有_拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，結(jié)果7次正面向上，假設(shè)事件A表示“正面向上，那么PA；某人將一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次，兩次都正面向上，那么正面向上的頻率是1；利用均勻的號(hào)簽抽簽決定甲乙二人誰(shuí)當(dāng)班長(zhǎng)時(shí)，先抽的人當(dāng)班長(zhǎng)的概率大；某批水杯的次品率為2%，那么該批水杯中每100個(gè)便會(huì)有2個(gè)次品；做10 000次隨機(jī)試驗(yàn)，某事件發(fā)生的頻率可作為該事件發(fā)生的概率錯(cuò)解剖析中，PA表示事件A發(fā)生的概率，

6、應(yīng)為.而為事件A發(fā)生的頻率，二者不相等；中，無(wú)論先抽還是后抽，抽到當(dāng)班長(zhǎng)的概率一樣；中，概率代表某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，不能由其判斷做一次試驗(yàn)一定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果；中，概率值是在大量試驗(yàn)的根底上，由多個(gè)頻率的變化規(guī)律得到的，僅憑10 000次隨機(jī)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的頻率得不出該事件發(fā)生的概率正解點(diǎn)評(píng)頻率與隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)有關(guān)，具有隨機(jī)性做一樣次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)，某事件發(fā)生的頻率不一定一樣概率與隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)無(wú)關(guān)，具有不變性，反映了事件發(fā)生的可能性大小二、對(duì)立事件概念理解不透致誤例2 某人面試時(shí)，答了3道試題假設(shè)此人各道試題答復(fù)正確與否具有隨機(jī)性，那么他至少答對(duì)1道題的對(duì)立事件是_錯(cuò)解該次面

7、試，此人至多答對(duì)1道題剖析對(duì)一些關(guān)鍵判斷詞的否認(rèn)詞不能準(zhǔn)確理解應(yīng)用，誤認(rèn)為將“至少改為“至多即可得其對(duì)立事件正解此人答對(duì)題的個(gè)數(shù)可以是0、1、2、3.“至少答對(duì)1道題，即答對(duì)1道、2道或3道，所以“他至少答對(duì)1道題的對(duì)立事件是“他1道題也沒(méi)答對(duì)點(diǎn)評(píng)在寫(xiě)某事件的對(duì)立事件時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確把握常見(jiàn)判斷詞及其否認(rèn)，如都是不都是；全不全；至少有n種至多有n1種；大于小于或等于三、錯(cuò)用加法公式不互斥時(shí)致誤例3 幾個(gè)人玩擲骰子游戲，某人先隨機(jī)向上拋擲一顆骰子，骰子落下后各點(diǎn)向上的概率都是，事件A表示“朝上的點(diǎn)數(shù)是不等于6的偶數(shù)，事件B表示“朝上的點(diǎn)數(shù)不少于4，求PAB錯(cuò)解因?yàn)镻A，PB，所以PABPAPB.剖析錯(cuò)

8、解的原因在于無(wú)視了概率加法公式應(yīng)用的前提條件由于當(dāng)朝上一面的數(shù)為4時(shí)，事件A，B同時(shí)發(fā)生，所以事件“朝上一面的數(shù)是不等于6的偶數(shù)與“朝上一面的數(shù)不少于4不互斥，故不能應(yīng)用公式PABPAPB求解正解記“朝上一面的數(shù)為ii1,2,3,4,5,6為事件Ci，那么六個(gè)事件彼此互斥，且AC2C4，BC4C5C6，所以ABC2C4C5C6，所以PABPC2C4C5C6.點(diǎn)評(píng)求解隨機(jī)事件的概率時(shí)，要注意分清哪些事件互斥，哪些不互斥應(yīng)用互斥事件的概率加法公式時(shí)，要先判斷兩個(gè)或多個(gè)事件是否彼此互斥，只有事件彼此互斥時(shí)才可用公式求解3概率中的幾個(gè)易混概念辨析概率問(wèn)題中有許多概念看似相似，實(shí)那么不同，非常容易混淆，

9、本文就概率中的幾組易混概念進(jìn)展比照分析，以進(jìn)步同學(xué)們的區(qū)分才能和解題才能1隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件隨機(jī)事件是指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；而必然事件是指在一定條件下一定發(fā)生的事件，其概率為1；不可能事件是指在一定條件下一定不發(fā)生的事件，其概率為0.但需要注意，從概率學(xué)角度看，概率為1的事件可以是必然事件，也可以是隨機(jī)事件；同樣，概率為0的事件可以是不可能事件也可能是隨機(jī)事件2頻率和概率頻率和概率是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)頻率是指在屢次重復(fù)試驗(yàn)的根底上此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，它不是常數(shù)，但它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著

10、試驗(yàn)次數(shù)的不斷增大，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小而上述中的常數(shù)是事件發(fā)生的概率，它不隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，頻率只能作為概率的一個(gè)近似值有時(shí)頻率與概率相等，如必然事件例1判斷以下命題的真假1擲100次硬幣，出現(xiàn)正面的頻率是0.4，那么在試驗(yàn)中出現(xiàn)正面向上的次數(shù)為40次；2某產(chǎn)品的次品率為3%，那么任取該產(chǎn)品100件，其中必有3件次品解1真；2假3互斥事件與對(duì)立事件互斥事件、對(duì)立事件的共同點(diǎn)是都涉及兩個(gè)事件之間的關(guān)系假如事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，那么稱事件A與B為互斥事件，它包含兩層含義：在同一次試驗(yàn)中，A，B都未發(fā)生；A，B恰有一個(gè)發(fā)生在同一試驗(yàn)中，不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件互為對(duì)立事

11、件注：互斥事件是對(duì)立事件的前提；兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生；對(duì)立事件的概率和等于1，即PAP1.因此，兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥不一定對(duì)立從集合角度考慮：兩個(gè)事件A與B互斥，是指由A，B所含的結(jié)果所組成的集合的交集是.一般情形：假如事件A1，A2，An中任何兩個(gè)都是互斥事件，那么我們稱A1，A2，An彼此互斥各事件包含的結(jié)果組成的集合A1，A2，An有A1A2An；對(duì)于事件A，B所包含的結(jié)果組成的集合A，B假設(shè)滿足“AB為所有可能事件組成的集合且AB，那么事件A與B為對(duì)立事件，也即AB，BA.利用上述集合觀點(diǎn)，很容易判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件或?qū)α⑹录?“放回與“不放回例2從含有兩件正品a1，a

12、2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中每次任取一件，連續(xù)取兩次1假設(shè)每次取出后不放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；2假設(shè)每次取出后放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率解1每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果為a1，a2，a1，b1，a2，a1，a2，b1，b1，a1，b1，a2，其中小括號(hào)中左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中，恰好有一件次品這一事件，那么事件A由a1，b1，a2，b1，b1，a1，b1，a24個(gè)事件組成，因此PA.2有放回地取出兩件，其一切可能的結(jié)果為a1，a1，a1，a2，a1，b1，a2，a1，a2

13、，a2，a2，b1，b1，a1，b1，a2，b1，b1，且B表示“恰有一件次品這一事件，那么事件B由a1，b1，a2，b1，b1，a1，b1，a24個(gè)事件組成，因此PB.4點(diǎn)擊古典概型中的列舉法古典概型是概率部分的一個(gè)重要內(nèi)容，涉及到古典概型概率求解的問(wèn)題一般難度不大，但極易出錯(cuò)，下面介紹三種列舉方法供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考一、直接列舉法例1 袋中有除顏色外大小均一樣的紅、白、黃、黑4個(gè)小球1從中任取一球，求取出白球的概率；2從中任取兩球，求取出的是紅球和白球的概率分析求古典概型的概率，應(yīng)先列舉出總的根本領(lǐng)件數(shù)、所求事件包含的根本領(lǐng)件數(shù)，然后利用公式求概率解1設(shè)A表示事件“取出白球在“從中任取一球的

14、試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的結(jié)果有取出紅球，取出白球，取出黃球，取出黑球，共4種，所以PA.2設(shè)B表示事件“取出的兩個(gè)球是紅球和白球，在“從中任取兩球這個(gè)試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種：紅，白，紅，黃，紅，黑，白，黃，白，黑，黃，黑所以PB.點(diǎn)評(píng)假設(shè)事件發(fā)生的總數(shù)不是很多時(shí)，常用直接列舉法，就是依次將各根本領(lǐng)件列舉出來(lái)二、表格列舉法例2 用正方體做一顆骰子，在6個(gè)面上分別標(biāo)上1,2,3,4,5,6，現(xiàn)將這顆骰子先后拋擲兩次，試問(wèn)：1“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)與“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率是否一樣大？2“點(diǎn)數(shù)之和為6與“點(diǎn)數(shù)之和為8的概率是否一樣大？3從問(wèn)題2中你能發(fā)現(xiàn)什么樣的一般規(guī)律？分析兩次點(diǎn)數(shù)之和的事件數(shù)比較多，可

15、利用表格列舉法來(lái)處理，分別用第一行和第一列的數(shù)表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，穿插處表示它們的和，由此可計(jì)算出所求事件的概率解如表格：第一行、第一列中的數(shù)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，行與列穿插處的數(shù)表示點(diǎn)數(shù)之和：1234561234567234567834567894567891056789101167891011121由表知：根本領(lǐng)件有36個(gè)，記“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)為事件A，“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)為事件B，事件A含根本領(lǐng)件18個(gè)，事件B含根本領(lǐng)件18個(gè)，所以PAPB，即事件A，B的概率一樣大2記“點(diǎn)數(shù)之和為6為事件C，記“點(diǎn)數(shù)之和為8為事件D，事件C含有5個(gè)根本領(lǐng)件，分別為1,5，5,1，2,4，4,2，3,3事件D含有5個(gè)

16、根本領(lǐng)件，分別為2,6，6,2，3,5，5,3，4,4所以PCPD，即事件C，D的概率一樣大3從上面的2中及表格中可發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)之和為x與“點(diǎn)數(shù)之和為14x的概率一樣大點(diǎn)評(píng)涉及到兩次結(jié)果的問(wèn)題，一般可采用表格列舉法來(lái)列舉根本領(lǐng)件，這樣可保證列舉時(shí)不重不漏三、樹(shù)形圖列舉法例3 用三種不同的顏色給圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂1種顏色求：13個(gè)矩形顏色都一樣的概率；23個(gè)矩形顏色都不同的概率解由樹(shù)形圖用R，Y，G分別代表三種不同的顏色可知，此題的根本領(lǐng)件共有27個(gè)因?yàn)閷?duì)3個(gè)矩形涂色時(shí)，選用顏色是隨機(jī)的，所以這27個(gè)根本領(lǐng)件是等可能的1記“3個(gè)矩形顏色都一樣為事件A.由樹(shù)形圖知，事件A包含的根本

17、領(lǐng)件有1×33個(gè)，故PA.2記“3個(gè)矩形顏色都不同為事件B.由樹(shù)形圖可知，事件B包含的根本領(lǐng)件有2×36個(gè)，故PB.點(diǎn)評(píng)當(dāng)題中的根本領(lǐng)件較多、較為復(fù)雜時(shí)，可結(jié)合樹(shù)形圖進(jìn)展分類、列舉求解古典概型的概率問(wèn)題中，上述三種常用的求解方法都是直接求解的假設(shè)直接或正面考慮時(shí)比較困難，那么需轉(zhuǎn)換思維角度，可利用正難那么反的思想，如利用對(duì)立事件的概率進(jìn)展求解5解古典概型技巧談求解古典概型問(wèn)題時(shí)，根本領(lǐng)件數(shù)的求解有時(shí)比較費(fèi)事，下面介紹幾種常見(jiàn)的古典概型解題技巧一、利用對(duì)稱性求概率在古典概型中，處于對(duì)稱平等地位的事件發(fā)生的概率一般一樣，應(yīng)用這一結(jié)論可以巧妙地列舉出根本領(lǐng)件，簡(jiǎn)化計(jì)算，從而收到事

18、半功倍的效果例1 在線段AB上任取不同的3點(diǎn)x1，x2，x3，求x2位于x1，x3之間的概率分析初看此題不是古典概型問(wèn)題，但假如我們仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)是一個(gè)古典概型問(wèn)題解設(shè)A1x1位于x2，x3之間，A2x2位于x1，x3之間，A3x3位于x1，x2之間，那么事件A1，A2，A3處于對(duì)稱平等的地位，其發(fā)生的可能性是相等的，且A1，A2，A3兩兩互斥故該試驗(yàn)可看成只有3個(gè)根本領(lǐng)件A1，A2，A3，所以所求概率PA2.點(diǎn)評(píng)在線段AB上取點(diǎn)有無(wú)數(shù)種情況，但就此題而言，只需考慮x1，x2，x3三者的位置關(guān)系，并由對(duì)稱性順利求解跟蹤訓(xùn)練1臨近畢業(yè)，各個(gè)班級(jí)都在合影紀(jì)念，在高三1班合影時(shí)，攝影師隨意

19、安排A，B，C，D，E共5名同學(xué)站成一排，試求A在B的右邊A，B可以不相鄰的概率為_(kāi)解析A在B的右邊與B在A的右邊對(duì)稱答案二、轉(zhuǎn)換角度求概率在解決古典概型問(wèn)題時(shí)，應(yīng)抓住事件的本質(zhì)，從適宜的角度入手，正確列舉出根本領(lǐng)件例2 任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1的概率分析任取一個(gè)正整數(shù)，有無(wú)數(shù)種情況，但它們的四次方的末位數(shù)只與正整數(shù)的末位數(shù)09有關(guān)，因此，只研究其末位數(shù)即可解不能把所有的正整數(shù)作為根本領(lǐng)件總體，因?yàn)檫@樣得到的根本領(lǐng)件是無(wú)限的，不滿足古典概型所要求的“有限性的條件由于正整數(shù)四次方的末位數(shù)是由這個(gè)數(shù)的末位數(shù)決定的，可能是0,1,2，9中的任意一個(gè)等可能，當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1,3,

20、7,9時(shí)，其四次方的末位數(shù)均為1，所以取根本領(lǐng)件為0,1,2，9，那么所求事件A1,3,7,9，其概率PA.點(diǎn)評(píng)通過(guò)該例，我們看到當(dāng)問(wèn)題應(yīng)用常規(guī)的列舉法無(wú)法解答時(shí)，應(yīng)探求其本質(zhì)，此題只是根據(jù)決定四次方的末位數(shù)為1的“末位數(shù)來(lái)解答的當(dāng)然這類題有其特殊性，但是從中可以發(fā)現(xiàn)選取適宜的根本領(lǐng)件是非常重要的跟蹤訓(xùn)練2有五名同學(xué)A，B，C，D，E需在最短時(shí)間內(nèi)站成一排，那么C恰好站在中間的概率為_(kāi)解析只考慮中間位置答案三、利用互斥事件或?qū)α⑹录蟾怕视行┕诺涓判蛦?wèn)題，假如從正面考慮其根本領(lǐng)件比較多，可以分解為幾個(gè)互斥事件進(jìn)展求解，也可以從它的反面考慮，即借助對(duì)立事件來(lái)求例3盒子中裝有編號(hào)為1,2,3,4,

21、5,6,7的七個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，那么這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是_結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示分析兩個(gè)數(shù)之積是偶數(shù)，那么兩個(gè)數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù)，需考慮的情形比較多，但是對(duì)立事件：“兩數(shù)之積為奇數(shù)那么很簡(jiǎn)單，所以先求對(duì)立事件的概率解析從4個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)共7個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，通過(guò)列舉共有21個(gè)根本領(lǐng)件，2個(gè)數(shù)之積為奇數(shù)2個(gè)數(shù)分別為奇數(shù)，共有6個(gè)根本領(lǐng)件，所以2個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的概率P1.答案跟蹤訓(xùn)練3將一枚硬幣連擲4次，那么至少有1次正面朝上的概率為_(kāi)答案6走出解古典概型的誤區(qū)古典概型是根本領(lǐng)件滿足有限性和等可能性的一類特殊的概率模型，假設(shè)對(duì)這兩點(diǎn)理解不透徹，便會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤另外，根據(jù)題目條件的不同，處

22、理問(wèn)題的過(guò)程中也要注意上述兩點(diǎn)，防止得出錯(cuò)誤的結(jié)論下面我們將常見(jiàn)的古典概型易錯(cuò)題型總結(jié)如下：一、根本領(lǐng)件表示不合理，導(dǎo)致不滿足等可能性例1 拋兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果為“兩個(gè)正面、“兩個(gè)反面、“一正一反三種，那么事件“一正一反發(fā)生的概率為_(kāi)錯(cuò)解因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果有“兩個(gè)正面、“兩個(gè)反面、“一正一反三類，故事件“一正一反發(fā)生的概率為.錯(cuò)因分析“一正一反包括“正，反，反，正兩個(gè)根本領(lǐng)件，上述解題過(guò)程中列舉的結(jié)果把其當(dāng)成一個(gè)根本領(lǐng)件，導(dǎo)致根本領(lǐng)件不是等可能發(fā)生的，因此求得的概率是錯(cuò)誤的正解試驗(yàn)的所有根本領(lǐng)件為正，正，反，反，反，正，正，反四個(gè)因此，事件“一正一反發(fā)生的概率為.答案點(diǎn)評(píng)對(duì)古典概型的根本領(lǐng)

23、件列舉要全面，即列出進(jìn)展一次試驗(yàn)得到的所有可能結(jié)果再進(jìn)一步驗(yàn)證根本領(lǐng)件發(fā)生的概率是否相等，假設(shè)不相等，那么選擇的根本領(lǐng)件不能用來(lái)計(jì)算概率值二、根本領(lǐng)件選擇不當(dāng)，誤將“無(wú)限當(dāng)成“有限例2 在區(qū)間0,10上任取一個(gè)數(shù)字，取到數(shù)字5的概率是多少？錯(cuò)解由題意易知，此試驗(yàn)的根本領(lǐng)件為取到數(shù)字0,1,2，9,10，共11個(gè)記事件A“取到數(shù)字5，那么PA.錯(cuò)因分析解題過(guò)程中沒(méi)有判斷這個(gè)試驗(yàn)是否滿足古典概型的定義由于試驗(yàn)結(jié)果為區(qū)間0,10上的數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)也就是說(shuō)，這個(gè)試驗(yàn)的根本領(lǐng)件有無(wú)窮多個(gè)，故不滿足古典概型的定義正解0點(diǎn)評(píng)滿足古典概型的試驗(yàn)中僅含有有限個(gè)根本領(lǐng)件，假設(shè)某個(gè)試驗(yàn)的根本領(lǐng)件有無(wú)限個(gè)，那么這樣的

24、試驗(yàn)一定不滿足古典概型三、忽略有無(wú)放回，導(dǎo)致根本領(lǐng)件遺漏例3 某商場(chǎng)舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定每位顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3的四個(gè)大小、質(zhì)地均一樣的小球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出一球，記下編號(hào)后放回，連續(xù)取兩次假設(shè)取出的兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于5，那么中一等獎(jiǎng)；等于4，那么中二等獎(jiǎng)；等于3，那么中三等獎(jiǎng)，求連續(xù)取兩次中獎(jiǎng)的概率錯(cuò)解設(shè)“中獎(jiǎng)為事件A，從四個(gè)小球中取兩個(gè)共有0,1，0,2，0,3，1,2，1,3，2,3共6種不同的結(jié)果而取出的兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于3或4或5的結(jié)果有0,3，1,2，1,3，2,3，共4種，故中獎(jiǎng)的概率PA.錯(cuò)因分析上述解題出錯(cuò)的原因，是沒(méi)有注意到“每次取出一球，記下編號(hào)后放

25、回這個(gè)關(guān)鍵句，對(duì)放回后對(duì)試驗(yàn)的影響不理解，導(dǎo)致忽略0,0，2,2，以及3,0，2,1等事件，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤正解設(shè)“中獎(jiǎng)為事件A，從四個(gè)小球中有放回地取兩個(gè)，共有0,0，0,1，0,2，0,3，1,0，1,1，1,2，1,3，2,0，2,1，2,2，2,3，3,0，3,1，3,2，3,3共16種不同的結(jié)果取出的兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于4或3的結(jié)果有1,3，2,2，3,1，0,3，1,2，2,1，3,0，共7種；兩個(gè)小球號(hào)碼之和等于5的結(jié)果有2種：2,3，3,2故中獎(jiǎng)的概率PA.點(diǎn)評(píng)對(duì)于無(wú)放回的取球問(wèn)題，一般利用無(wú)序的數(shù)組表示兩個(gè)元素，并且不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)元素；但有放回的問(wèn)題，因?yàn)槿〕龅脑貢?huì)被放回，便會(huì)導(dǎo)

26、致兩次可能重復(fù)出現(xiàn)一個(gè)元素，我們用坐標(biāo)來(lái)表示更明晰7概率與其他知識(shí)的綜合概率已成為高考的新重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，由于概率比較容易與其他知識(shí)相結(jié)合出一些綜合性試題，而且創(chuàng)新型試題不斷涌現(xiàn)下面就一些常見(jiàn)的綜合題略作介紹1集合與幾何概型例1集合Ax，y|x2y21，集合Bx，y|xya0，假設(shè)AB的概率為1，那么a的取值范圍是_解析假設(shè)AB的概率為1，那么集合A與B有公共元素，聯(lián)立2x22axa210有實(shí)數(shù)根，4a28a210，a.答案， 點(diǎn)評(píng)由于AB是必然事件，說(shuō)明直線和圓必相交，也可以利用圓心0,0到直線l：xya0的間隔 小于等于圓的半徑r1來(lái)求解2幾何與幾何概型例2事件“在矩形ABCD的邊CD上隨

27、機(jī)取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB發(fā)生的概率為，那么_.分析此題的關(guān)鍵是找出使APB的最大邊是AB的臨界條件，首先是確定AD<AB，然后作出矩形ABCD，最后分別以A，B為圓心，以AB為半徑作圓弧交CD于F，E，當(dāng)EFCD時(shí)滿足題意解析如圖，在矩形ABCD中，以AB為半徑作圓交CD分別于E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足題設(shè)要求，所以E，F(xiàn)為 CD的四等分點(diǎn)，設(shè)AB4，那么DF3，AFAB4，在RtADF中，AD，所以.答案點(diǎn)評(píng)數(shù)形結(jié)合的思想方法是常用的數(shù)學(xué)思想方法3古典概型與直角坐標(biāo)系相結(jié)合例3集合A9，7，5，3，1,0,2,4,6,8，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)x，y的坐標(biāo)xA，yA

28、，且xy，計(jì)算：1點(diǎn)x，y不在x軸上的概率；2點(diǎn)x，y正好在第二象限的概率分析x，y的選取是隨機(jī)的，在集合A中任取兩數(shù)，記為x，y是等可能的解點(diǎn)x，y中，xA，yA，且xy，故x有10種可能，y有9種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×990種，且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等1設(shè)事件B為“點(diǎn)x，y不在x軸上，那么y不為0有9種可能，x有9種可能，事件B包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為9×981，因此PB.2設(shè)事件C為“x，y正好在第二象限，那么x<0，y>0，x有5種可能，y有4種可能，事件C包含的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為5×420，因此PC.點(diǎn)評(píng)此題是古典概型與直角坐標(biāo)系相結(jié)合

29、的綜合題關(guān)鍵是把試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)及所求事件的個(gè)數(shù)分析透，找不準(zhǔn)、找不全根本領(lǐng)件是常出現(xiàn)的錯(cuò)誤4跨學(xué)科綜合題例4把x，y兩種遺傳基因冷凍保存以供科研用，假設(shè)x基因有30個(gè)單位，y基因有20個(gè)單位，且在保存過(guò)程中有2個(gè)單位的基因失效，求x，y兩種基因各失效一個(gè)單位的概率分析哪一個(gè)單位的基因失效是等可能的，且根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是有限的，所以屬于古典概型解2個(gè)單位的基因失效取自x，y兩種基因各一個(gè)，共有30×20600種可能，而整個(gè)事件共有1 225種可能，故所求概率為P.點(diǎn)評(píng)此題考察了利用古典概型解決實(shí)際問(wèn)題的才能.8概率中的數(shù)學(xué)思想概率的有關(guān)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，

30、恰當(dāng)合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助我們更快、更準(zhǔn)確地解決問(wèn)題下面舉例說(shuō)明求解概率問(wèn)題時(shí)常用的三種思想方法一、數(shù)形結(jié)合思想例1 某學(xué)校成立了三個(gè)社團(tuán)，共60人參加，A社團(tuán)有39人，B社團(tuán)有33人，C社團(tuán)有32人，僅參加B社團(tuán)的有8人，只參加A，B兩社團(tuán)的有10人，只參加A，C兩社團(tuán)的有11人，三個(gè)社團(tuán)都參加的有8人從這60人中隨機(jī)抽取一名成員，求1他只參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為多少？2他至少參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為多少？分析此題為古典概型問(wèn)題，直接求解思路不太明晰，可以借助Venn圖解由條件可得如下圖的Venn圖：設(shè)事件D表示“他只參加兩個(gè)社團(tuán)，事件E表示“他至少參加兩個(gè)社團(tuán)，那么有1隨機(jī)抽取一名成員，他只參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為PD.2隨機(jī)抽取一名成員，他至少參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為PE.點(diǎn)評(píng)此題借助于集合中的Venn圖，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)數(shù)與形的雙向聯(lián)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了直觀、快速、準(zhǔn)確解題的目的例2 在一次商貿(mào)交易會(huì)上，某商家開(kāi)展促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)，甲、乙兩人相約參與抽獎(jiǎng)假設(shè)甲方案