數(shù)列應(yīng)用題專題訓(xùn)練

1、數(shù)列應(yīng)用題專題訓(xùn)練高三數(shù)學(xué)備課組以數(shù)列知識(shí)作為背景的應(yīng)用題是高中應(yīng)用題中的常見(jiàn)題型，要正確快速地求解這類問(wèn)題，需要在理解題意的基礎(chǔ)上，正確處理數(shù)列中的遞推關(guān)系。一、儲(chǔ)蓄問(wèn)題對(duì)于這類問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是要搞清：(1)是單利還是復(fù)利；(2)存幾年。單利是指本金到期后的利息不再加入本金計(jì)算。設(shè)本金為P元，每期利率為r，經(jīng)過(guò)n期，按單利計(jì)算的本利和公式為Sn=P(1+nr)。復(fù)利是一種計(jì)算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計(jì)算下一期的利息。設(shè)本金為P，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，則復(fù)利函數(shù)式為y=P(1+r)x。例1、（儲(chǔ)蓄問(wèn)題）某家庭為準(zhǔn)備孩子上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，每年6月30日在

2、銀行中存入2000元，連續(xù)5年，有以下兩種存款的方式：(1)如果按五年期零存整取計(jì)，即每存入a元按a(1+n·6.5%)計(jì)本利(n為年數(shù))；(2)如果按每年轉(zhuǎn)存計(jì)，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a計(jì)算本利(n為年數(shù))。問(wèn)用哪種存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利較高？分析：這兩種存款的方式區(qū)別在于計(jì)復(fù)利與不計(jì)復(fù)利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。解：若不計(jì)復(fù)利，5年的零存整取本利是2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+2000(1+0.065)=11950；若計(jì)復(fù)利，則2000(1+5%)5+2000(1+5%

3、)4+2000(1+5%)11860元。所以,第一種存款方式到期的全部本利較高。二、等差、等比數(shù)列問(wèn)題等差、等比數(shù)列是數(shù)列中的基礎(chǔ)，若能轉(zhuǎn)化成一個(gè)等差、等比數(shù)列問(wèn)題，則可以利用等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解。例2、（分期付款問(wèn)題）用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)家用電器一件，價(jià)格為1150元。購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%。若交付150元以后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一日，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢(qián)？全部貨款付清后，買(mǎi)這件家電實(shí)際花了多少錢(qián)？解：購(gòu)買(mǎi)時(shí)付出150元，余欠款1000元，按題意應(yīng)分20次付清。設(shè)每次所付欠款順次構(gòu)成數(shù)列an，則a1=50

4、+1000×0.01=60元，a2=50+(1000-50)×0.01=59.5元，a3=50+(1000-50×2)×0.01=59，an=60-(n-1)·0.5所以an是以60為首項(xiàng)，-0.5為公差的等差數(shù)列，故a10=60-9×0.5=55.5元20次分期付款總和S20=×20=1105元，實(shí)際付款1105+150=1255(元)答：第10個(gè)月該付55.5元，全部付清后實(shí)際共付額1255元。例3、（疾病控制問(wèn)題）流行性感冒（簡(jiǎn)稱流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1

5、日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于該市醫(yī)療部門(mén)采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問(wèn)11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。分析：設(shè)11月n日這一天新感染者最多，則由題意可知從11月1日到n日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列；從n+1日到30日，每天新感染者構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列。這兩個(gè)等差數(shù)列的和即為這個(gè)月總的感染人數(shù)。略解：由題意，11月1日到n日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列an，

6、a1=20,d1=50,11月n日新感染者人數(shù)an=50n30；從n+1日到30日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列bn,b1=50n-60,d2=30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人數(shù)為b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人數(shù)為：=8670，化簡(jiǎn)得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日這一天感染者人數(shù)最多，為570人。例4（住房問(wèn)題）某城市1991年底人口為500萬(wàn)，人均住房面積為6 m2，如果該城市每年人口平均增長(zhǎng)率為1%，每年平均新增住房面積為30萬(wàn)m2，求2000年底該城市人均

7、住房面積為多少m2？(精確到0.01)解：1991年、1992年、2000年住房面積總數(shù)成AP a1 = 6×500 = 3000萬(wàn)m2，d = 30萬(wàn)m2，a10 = 3000 + 9×30 = 32701990年、1991年、2000年人口數(shù)成GPb1 = 500 , q = 1% , 2000年底該城市人均住房面積為：點(diǎn)評(píng)：實(shí)際問(wèn)題中提煉出等差、等比數(shù)列。例5 （濃度問(wèn)題） 從盛有鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2 kg的容器中倒出1 kg鹽水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg鹽水，然后再加入1 kg水，問(wèn)：1.第5次倒出的的1 kg鹽水中含鹽多少g？ 2.經(jīng)6次

8、倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1 kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？解：1.每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為an，則： a1= 0.2 kg , a2=×0.2 kg , a3= ()2×0.2 kg 由此可見(jiàn)：an= ()n-1×0.2 kg , a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125 kg 2.由1.得an是等比數(shù)列 a1=0.2 , q= 點(diǎn)評(píng)：掌握濃度問(wèn)題中的數(shù)列知識(shí)。例6（減員增效問(wèn)題）某工廠在1999年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100，從第二年起，以后每年

9、只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長(zhǎng)，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50，如果某人分流前工資的收入每年元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第年的收入為元，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？（3）當(dāng)時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過(guò)分流前的年收入？解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）由已知，當(dāng)時(shí)，要使得上式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，因此這個(gè)人第三年收入最少為元（3）當(dāng)時(shí)，上述等號(hào)成立，須且因此等號(hào)不能取到，當(dāng)時(shí)，這個(gè)人分流一年后的收入永

10、遠(yuǎn)超過(guò)分流前的年收入例7（等差等比綜合問(wèn)題）銀行按規(guī)定每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比上年增加30的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲得利潤(rùn)1萬(wàn)元，以后每年比前一年多獲利5000元兩種方案的期限都是10年，到期一次行歸還本息若銀行貸款利息均以年息10的復(fù)利計(jì)算，試比較兩個(gè)方案哪個(gè)獲得存利潤(rùn)更多？（計(jì)算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：） 解：甲方案10年獲利潤(rùn)是每年利潤(rùn)數(shù)組成的數(shù)列的前10項(xiàng)的和：（萬(wàn)元）到期時(shí)銀行的本息和為（萬(wàn)元）甲方案扣

11、除本息后的凈獲利為：（萬(wàn)元）乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利：（萬(wàn)元）貸款的本利和為：（萬(wàn)元）乙方案扣除本息后的凈獲利為：（萬(wàn)元）所以，甲方案的獲利較多三、an- an-1=f(n),f(n)為等差或等比數(shù)列有的應(yīng)用題中的數(shù)列遞推關(guān)系，an與an-1的差（或商）不是一個(gè)常數(shù)，但是所得的差f(n)本身構(gòu)成一個(gè)等差或等比數(shù)列，這在一定程度上增加了遞推的難度。例8、（廣告問(wèn)題）某產(chǎn)品具有一定的時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)效期內(nèi)，由市場(chǎng)調(diào)查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣(mài)出b件。若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元時(shí)比廣告費(fèi)為（n-1）千元時(shí)多賣(mài)出件，（nN*）。（1）試寫(xiě)出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)

12、系式；（2）當(dāng)a=10,b=4000時(shí)廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元廣告，才能獲利最大？分析：對(duì)于(1)中的函數(shù)關(guān)系，設(shè)廣告費(fèi)為n千元時(shí)的銷量為sn,則sn-1表示廣告費(fèi)為(n-1)元時(shí)的銷量，由題意，snsn-1=，可知數(shù)列sn不成等差也不成等比數(shù)列，但是兩者的差構(gòu)成等比數(shù)列，對(duì)于這類問(wèn)題一般有以下兩種方法求解：解法一、直接列式：由題，s=b+=b(2-)（廣告費(fèi)為1千元時(shí)，s=b+；2千元時(shí)，s=b+；n千元時(shí)s=b+）解法二、（累差疊加法）設(shè)s0表示廣告費(fèi)為0千元時(shí)的銷售量，由題：，相加得Sn-S0=+,即s=b+=b(2-)。（2）b=4000時(shí)，s=4000(2-),設(shè)獲利為t,

13、則有t=s·10-1000n=40000(2-)-1000n欲使Tn最大，則：，得，故n=5,此時(shí)s=7875。即該廠家應(yīng)生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，做5千元的廣告，能使獲利最大。四、an= C·an-1+B，其中B、C為非零常數(shù)且C1例9、（企業(yè)生產(chǎn)規(guī)劃問(wèn)題）某企業(yè)投資1千萬(wàn)元于一個(gè)高科技項(xiàng)目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年底需要從利潤(rùn)中取出資金200萬(wàn)元進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少年后，該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番（4倍）的目標(biāo)？（lg2=0.3）。分析：設(shè)經(jīng)過(guò)n年后，該項(xiàng)目的資金為an萬(wàn)元，則容易得到前后兩年an和an-1

14、之間的遞推關(guān)系：an =an-1（1+25%）-200（n2），對(duì)于這類問(wèn)題的具體求解，一般可利用“待定系數(shù)法”：解：由題，an =an-1（1+25%）-200（n2），即an =an-1-200，設(shè)an +=（an-1+），展開(kāi)得an =an-1+，=-200，=-800，an -800=（an-1-800），即an -800成一個(gè)等比數(shù)列，a1=1000(1+25%)-200=1050, a1-800=250，an -800=250（）n-1，an =250（）n-1+800，令an4000，得（）n16，解得n12,即至少要過(guò)12年才能達(dá)到目標(biāo)。例10（分期付款問(wèn)題）某人年初向銀行貸款

15、10萬(wàn)元用于買(mǎi)房：(1)如果他向建設(shè)銀行貸款，年利率為5%，且這筆借款分10次等額歸還(不計(jì)復(fù)利)，每年一次，并從借后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)還多少元？(精確到一元)；(2)如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息)，仍分10次等額歸還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？(精確到一元)。解：(1)設(shè)每年還款x元，依題意得x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+x(1+9×5%)=100000×(1+5%)，x12245元(2)設(shè)每年還款x元，依題意得x+x(1+4%)+x(1+4%)2+x(1+4%)9=100000(1+4%)1

16、0，x12330元答：(1)當(dāng)年利率為5%，按單利計(jì)算，每年應(yīng)歸還12245元；(2)當(dāng)年利率為4%，按復(fù)利計(jì)算時(shí)，每年還款12330元。評(píng)注：上述例題是與數(shù)列有關(guān)的分期付款問(wèn)題，兩問(wèn)所用公式各異。 (1)中的利率是單利(即當(dāng)年的利息不計(jì)入次年的本金)，故所用的公式是等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式； (2)中的利率是復(fù)利(即利滾利)，故所用公式是等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，導(dǎo)致這種區(qū)分的原因是付款形式不同。例11（環(huán)保問(wèn)題）（2002年全國(guó)高考題）某城市2001年末汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不

17、超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？分析：由“每年報(bào)廢上年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同”易得某城市每年末汽車保有量與上年末汽車保有量的關(guān)系，于是可構(gòu)造數(shù)列遞推關(guān)系來(lái)求解。解：設(shè)每年新增汽車為b萬(wàn)輛，該城市第n年末的汽車保有量為a n，則容易得到a n和a n1的遞推關(guān)系：即0.94（）是以0.94為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列。（）·0.94n1，即+（）·0.94n1(1)當(dāng)0即b1.8時(shí)，anan-1a1=30(2) 當(dāng)<0即b<1.8時(shí)+（）·0.94n1并且數(shù)列an為遞增數(shù)列，可以任意接近，因此，如果要求汽車保有量不超

18、過(guò)60萬(wàn)輛，即an60（n=1,2,3），則60，即b3.6（萬(wàn)輛）。綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛。例12用磚砌墻，第一層用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，依此類推，每一層都用去了上次剩下磚塊的一半多一塊，到第10層恰好把磚塊用完，則此次砌墻一共用了多少塊磚？分析：因每一層都用去了上次剩下磚塊的一半多一塊，即每一層剩下磚塊是上次剩下磚塊的一半少一塊，于是可用數(shù)列的遞推關(guān)系求解。解：設(shè)此次砌墻一共用了S塊磚，砌好第n層后剩下磚塊為an塊（1n10，nN*）則，即a n+2為等比數(shù)列，且公比為又由題意得：a11a121a121an2(1)·()n1即an(

19、1)·()n12a100（1）·（）920解得：s21122046例13（生態(tài)問(wèn)題）某地區(qū)森林原有木材存量為，且每年增長(zhǎng)率為25，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為，設(shè)為年后該地區(qū)森林木材的存量，（1）求的表達(dá)式；（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于，如果，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）設(shè)第一年的森林的木材存量為，第年后的森林的木材存量為，則，（2）當(dāng)時(shí)，有得即，所以，答：經(jīng)過(guò)8年后該地區(qū)就開(kāi)始水土流失五、二個(gè)（或多個(gè)）不同數(shù)列之間的遞推關(guān)系有的應(yīng)用題中還會(huì)出現(xiàn)多個(gè)不同數(shù)列相互之間的遞推關(guān)系，

20、對(duì)于該類問(wèn)題，要正確處分沒(méi)數(shù)列間的相互聯(lián)系，整體考慮。例14、（濃度問(wèn)題）甲乙兩容器中分別盛有濃度為10%、20%的某種溶液500ml，同時(shí)從甲乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將近倒入對(duì)方的容器攪勻，這稱為是一次調(diào)和，記a1=10%,b1=20%,經(jīng)（n-1）次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度為an、bn，（1）試用an-1、bn-1表示an、bn；（2）求證數(shù)列 an-bn是等比數(shù)列，并求出an、bn的通項(xiàng)。分析：該問(wèn)題涉及到兩個(gè)不同的數(shù)列an和bn，且這兩者相互之間又有制約關(guān)系，所以不能單獨(dú)地考慮某一個(gè)數(shù)列，而應(yīng)該把兩個(gè)數(shù)列相互聯(lián)系起來(lái)。解：（1）由題意an=； bn=（2）an-bn=（）

21、（n2），an-bn是等比數(shù)列。又a1-b1=-10%,an-bn=-10%(n-1.（1）又= a1+b1=30%，（2）聯(lián)立（1）、（2）得=-(n-1·5%+15%；=(n-1·5%+15%。例15現(xiàn)有流量均為300的兩條河流A、B會(huì)合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2假設(shè)從匯合處開(kāi)始，沿岸設(shè)有若干個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的過(guò)程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合問(wèn)：從第幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開(kāi)始，兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？講解：本題的不等關(guān)

22、系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難為表達(dá)方便，我們分別用來(lái)表示河水在流經(jīng)第n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)時(shí)，A水流和B水流的含沙量則2，0.2，且（）由于題目中的問(wèn)題是針對(duì)兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列由（）可得：所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以，由題，令< 0.01，得所以，由得，所以，即從第9個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開(kāi)始，兩股水流的含沙量之差小于0.01點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列、不等式型綜合應(yīng)用問(wèn)題，難點(diǎn)在于對(duì)題意的理解六、數(shù)列求和綜合問(wèn)題例16 某單位為了職工的住房問(wèn)題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為的宿舍樓（每層的建筑面積相同）。已知土地的征用費(fèi)為元/，土地的征用面積為第一層的1.5倍。經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一層的建筑費(fèi)用為400元/，以后每增高一層，該層建筑費(fèi)用