第3章 3.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式

1、.3.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，貝努利不等式3.2.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式3.2.2用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的不等式.2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式；理解貝努利不等式的應(yīng)用條件.根底·初探教材整理1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在不等關(guān)系的證明中，有多種多樣的方法，其中數(shù)學(xué)歸納法是最常用的方法之一，在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證不等式時(shí)，推導(dǎo)“k1成立時(shí)其他的方法如比較法、分析法、綜合法、放縮法等常被靈敏地運(yùn)用.教材整理2貝努利不等式1.定理1貝努利不等式設(shè)x>1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，那么1xn1nx.2.定理2選學(xué)設(shè)為有理數(shù)，x>1，1假如0&l

2、t;<1，那么1x1x；2假如<0或者>1，那么1x1x.當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立.事實(shí)上，當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí)，也是成立的.設(shè)nN，那么2n與n的大小關(guān)系是A.2n>nB.2n<nC.2nnD.不確定【解析】2n11n，根據(jù)貝努利不等式有11n1n×11n，上式右邊舍去1，得11n>n，即2n>n.【答案】A質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型數(shù)學(xué)歸納法證明不等式Sn1n>1，nN，求證：S2n>1n2，nN.【精彩點(diǎn)撥】求Sn 再證明比較

3、困難，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，注意Sn表示前n項(xiàng)的和n>1，首先驗(yàn)證n2，然后證明歸納遞推.【自主解答】1當(dāng)n2時(shí)，S221>1，即n2時(shí)命題成立.2假設(shè)nkk2，kN時(shí)命題成立，即S2k1>1.當(dāng)nk1時(shí)，S2k11>111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立.由12知，對(duì)nN，n2，S2n>1都成立.此題容易犯兩個(gè)錯(cuò)誤，一是由nk到nk1項(xiàng)數(shù)變化弄錯(cuò)，認(rèn)為的后一項(xiàng)為，實(shí)際上應(yīng)為；二是共有多少項(xiàng)之和，實(shí)際上 2k1到2k1是自然數(shù)遞增，項(xiàng)數(shù)為2k12k112k.再練一題1.假設(shè)在本例中，條件變?yōu)椤霸O(shè)fn1nN，由f11>，f3>1，f7>，f15>

4、;2， .試問(wèn)：你能得到怎樣的結(jié)論？并加以證明.【解】數(shù)列1,3,7,15，通項(xiàng)公式為an2n1，數(shù)列，1，2，通項(xiàng)公式為an，猜測(cè)：f2n1>.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，f211f11>，不等式成立.假設(shè)當(dāng)nkk1，kN時(shí)不等式成立，即f2k1>，那么f2k11f2k1>f2k1f2k1>.當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立.據(jù)知對(duì)任何nN原不等式均成立.利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小設(shè)Pn1xn，Qn1nxx2，nN，x1，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000059】【精彩點(diǎn)撥】此題考察數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答此題需要先對(duì)n取特殊值，猜測(cè)Pn與Qn的大小

5、關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【自主解答】1當(dāng)n1,2時(shí)，PnQn.2當(dāng)n3時(shí)，以下再對(duì)x進(jìn)展分類(lèi).假設(shè)x0，顯然有PnQn.假設(shè)x0，那么PnQn.假設(shè)x1,0，那么P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x34x0，所以P4Q4.假設(shè)PkQkk3，那么Pk11xPk1xQkQkxQk1kxxkx21k1xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立.所以當(dāng)n3，且x1,0時(shí)，PnQn.1.利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系，猜測(cè)出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.2.此題除對(duì)n的不同取值會(huì)有Pn與Qn之間的大小變化，變量x也影響Pn與Q

6、n的大小關(guān)系，這就要求我們?cè)谔骄看笮￡P(guān)系時(shí)，不能只顧“n，而無(wú)視其他變量參數(shù)的作用.再練一題2.數(shù)列an，bn與函數(shù)fx，gx，xR，滿(mǎn)足條件：b1b，anfbngbn1nN，假設(shè)函數(shù)yfx為R上的增函數(shù)，gxf1x，b1，f11，證明：對(duì)任意xN，an1an.【證明】因?yàn)間xf1x，所以angbn1f1bn1，即bn1fan.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an1annN.1當(dāng)n1時(shí)，由fx為增函數(shù)，且f11，得a1fb1f11，b2fa1f11，a2fb2f1a1，即a2a1，結(jié)論成立.2假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即ak1ak.由fx為增函數(shù)，得fak1fak，即bk2bk1.進(jìn)而得fbk2fbk1，即ak

7、2ak1.這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立.根據(jù)1和2可知，對(duì)任意的nN，an1an.利用貝努利不等式證明不等式設(shè)n為正整數(shù)，記ann+1，n1,2,3，.求證：an1<an.【精彩點(diǎn)撥】用求商比較法證明an1<an，其中要用貝努利不等式.【自主解答】由an的意義知對(duì)一切n1,2,3，都成立.只需證明>1，n1,2,3，.由于×1×××，因此，根據(jù)貝努利不等式，有>×>××1.an>an1對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.此題在證明的過(guò)程中，綜合運(yùn)用了求商比較法，放縮法，進(jìn)而通過(guò)貝努利不等式證明不等式

8、成立.再練一題3.設(shè)a為有理數(shù)，x>1.假如0<a<1，證明：1xa1ax，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立.【證明】0<a<1，令a，1m<n，其中m，n為正整數(shù)，那么由平均值不等式，得1xa1x1x1ax，當(dāng)且僅當(dāng)1x1，即x0時(shí)，等號(hào)成立.探究共研型放縮法在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式中的應(yīng)用探究1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，如何利用放縮法？【提示】放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目的.而且要恰到好處，目的往往要從證明的結(jié)論考慮.常用的放縮方法有增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)展放縮等.比方：舍去或加上一些項(xiàng)：

9、；將分子或分母放大縮?。海琸R，k1等.證明：2n2>n2nN.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】1當(dāng)n1時(shí)，左邊2124；右邊1，左邊>右邊；當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊>右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊>右邊.因此當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式成立.2假設(shè)當(dāng)nkk3且kN時(shí)，不等式成立，即2k2>k2kN.當(dāng)nk1時(shí)，2k122·2k222k22>2k22k22k1k22k3k22k1k1k3k22k1k12.因?yàn)閗3，那么k30，k1>0所以2k12>k12，故當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立.根據(jù)12知，原不等式對(duì)

10、于任何nN都成立.1.本例中，針對(duì)目的k22k1，由于k的取值范圍k1太大，不便于縮小.因此，用增加奠基步驟把驗(yàn)證n1擴(kuò)大到驗(yàn)證n1,2,3的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，到達(dá)目的.2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形.為滿(mǎn)足題目的要求，常常要采用“放與“縮等手段，但是放縮要有度，這是一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難題一是要仔細(xì)觀察題目構(gòu)造，二是要靠經(jīng)歷積累.再練一題4.設(shè)x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1xn1nx.【證明】1當(dāng)n2時(shí)，由x0，知1x212xx212x，因此n2時(shí)命題成立.2假設(shè)nkk2為正整數(shù)時(shí)命題成立，即1xk1k

11、x，那么當(dāng)nk1時(shí)，1xk11xk1x1kx1x1xkxkx21k1x.即nk1時(shí)，命題也成立.由12及數(shù)學(xué)歸納法知原命題成立.不等式中的探究、猜測(cè)、證明探究2利用數(shù)學(xué)歸納法解決探究型不等式的思路是什么？【提示】利用數(shù)學(xué)歸納法解決探究型不等式的思路是先通過(guò)觀察、判斷，猜測(cè)出結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路是非常重要的，特別是在求解存在型或探究型問(wèn)題時(shí).假設(shè)不等式>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000060】【精彩點(diǎn)撥】先通過(guò)n取值計(jì)算，求出a的最大值，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展證明，證明時(shí)，根據(jù)不等式特征，在第二步，運(yùn)用比差法較

12、方便.【自主解答】當(dāng)n1時(shí)，>，那么>，a<26.又aN，取a25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明>.1n1時(shí)，已證.2假設(shè)當(dāng)nk時(shí)k1，kN，>，當(dāng)nk1時(shí)，>.>，>0，>也成立.由12可知，對(duì)一切nN，都有>，a的最大值為25.1.不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究結(jié)論，但結(jié)論必須證明.2.此題中從nk到nk1時(shí)，左邊添加項(xiàng)是，這一點(diǎn)必須清楚.再練一題5.設(shè)an1nN，是否存在n的整式gn，使得等式a1a2a3an1gnan1對(duì)大于1的一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.【解】假設(shè)gn存在，那么當(dāng)n2時(shí)，由a1g2a21，即1g2，g22；

13、當(dāng)n3時(shí)，由a1a2g3a31，即1g3，g33，當(dāng)n4時(shí)，由a1a2a3g4a41，即1g4，g44，由此猜測(cè)gnnn2，nN.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2，nN時(shí)，等式a1a2a3an1nan1成立.1當(dāng)n2時(shí)，a11，g2a212×1，結(jié)論成立.2假設(shè)當(dāng)nkk2，kN時(shí)結(jié)論成立，即a1a2a3ak1kak1成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，a1a2ak1akkak1akk1akkk1akk11k1k1ak11，說(shuō)明當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立，由12可知，對(duì)一切大于1的正整數(shù)n，存在gnn使等式a1a2a3an1gnan1成立.構(gòu)建·體系1.用數(shù)學(xué)歸納法證不等式：1成立，起始值至少取A.7B.8C.9D.10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2，即1，n7，n取8，選B.【答案】B2.用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2n5，nN成立時(shí)第二步歸納假設(shè)的正確寫(xiě)法是A.假設(shè)nk時(shí)命題成立B.假設(shè)nkkN時(shí)命題成立C.假設(shè)nkk5時(shí)命題成立D.假設(shè)nkk>5時(shí)命題成立【解析】由題意知n5，nN，故應(yīng)假設(shè)nkk5時(shí)命題成立.【答案】C3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>n2，nN的過(guò)程中，由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000061】A.增加了一項(xiàng)B.增加了兩項(xiàng)，C.增加了兩項(xiàng)，但減少了一項(xiàng)D.以上各種情況均不對(duì)【解析】nk時(shí)，左邊，nk1時(shí)