必修五基本不等式講義

1、3.4 基本不等式 一、基本不等式： 1、重要不等式：2b22ab(a、bR) 當且僅當“b”時“”成立。注意：（1）不等式成立的條件是“b”，如果、b不相等，則“”不成立；（2）不等式的變形 ：b b 2(2b2)(b)22、基本不等式： (、bR) 當且僅當“b”時“”成立。注意：（1）內(nèi)容：0， b0，當且僅當“ab”時“”成立；（2）其中叫做正數(shù)、b的算術平均數(shù)，叫做正數(shù)、b的幾何平均數(shù)，即兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。例1：求證對于任意實數(shù)，b，c，有2b2c2bbcc，當且僅當bc時等號成立?！咀C明】： a2b22ab c2b22bc a2c22ac 2(a2b2c2

2、) 2ab2bc2ac ， a2b2c2abbcca當且僅當abc時等號成立。變式練習1：若01，0b1，且b，則b，2，2b，2b2中最大的一個是（ ）A：2b2 B：2 C：2b D：b變式練習2：下列不等式：（1）x2；（2）x2；（3）若01b，則logablogba2；（4）若0a1b，logablogba2。其中正確的是_。均值不等式推廣： 調(diào)和平均數(shù) 幾何平均數(shù) 算術平均數(shù) 平方平均數(shù)當僅且當“ab”時“”成立。二、最值定理已知x、y都是正數(shù)。（1）如果積xy是定值P，那么當xy時，和xy有最小值2，即xy2；（2）如果和xy就定值S，那么xy時，積xy有最大值，即xy。利用基本

3、不等式必須滿足三個條件：“一正”、“二定”、“三取等”。應用一：求最值例2：已知函數(shù)f(x)3x(x0) （1）當x0時，求函數(shù)的最值；（2）當x0時，求函數(shù)的最值；【解析】：（1）當x0時，f(x)3x212當且僅當3x，即x2時，“”成立。（2）當x0時，x0，f(x)3x(3x)212，當且僅當3x時，即x2時，“”成立。變式練習：求下列函數(shù)的最值（1）y3x2 （2）yx應用二：湊項例3：已知x，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。【解析】：解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。變式練習1： f(x)x (x3)的最小值為_

4、。例4：當0x4時，求f(x)x(82x)的最大值。【解析】：當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。變式練習1：設，求函數(shù)的最大值?！窘馕觥浚寒斍覂H當即時等號成立。變式練習2： ，求函數(shù)f(x)的最大值。應用三： 分離例5：若x0，求函數(shù)f(x) 的最值。變式練習1：當x0時，則f(x)的最大值為_。變式練習2：已知x1，求函數(shù)f(x)的最小值?！窘馕觥浚寒?即時,（當且僅當x1時取“”號）。變式練習3：若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍為_。應用四：整體代換例6：已知，且，則的最小值是_。變式練習1：已知x0，y0，且2xy1，則的最小值為_。變式練習2：已知，且，則的最小值是_。

5、變式練習3：若函數(shù)f(x)2 (a0，a1)的圖象恒過點A，若點A在直線mxny10，其中m、n均大于0，則的最小值為_。變式練習4：設x0，y0且x2y2xy0，若x2ym0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_。【解析】：x2y2xy0，1， 則(x2y)( )4，故m4變式練習5：已知正項等比數(shù)列滿足23，若存在不同的兩項、使得3×，則的最小值是_?！窘馕觥浚簯盟模簵l件最值例7：若實數(shù)滿足，則的最小值是_。【解析】： 都是正數(shù)，當時等號成立，由及得即當時，的最小值是6。變式練習1：若，求的最小值，并求x，y的值。【解析】：log4xlog4ylog4(x×y)2，x

6、5;y16，當且僅當xy4時“”成立。變式練習2：已知函數(shù)f(x)4x (x0，0)在x3時取得最小值，則_。【解析】：6變式練習3：設x0，y0，z0，且xyz1，若m0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_?！窘馕觥浚簃0恒成立，則m恒成立，則令f(x)13，故m3。應用五：換元例8：求函數(shù)f(x)的最值?！窘馕觥浚篺 (x) 不能用均值不等式： 2， 當且僅當，即：x241，x21，此時x沒有實數(shù)解。 f (x) 令t ( t2) f (t ) t ( t2 ) 函數(shù)f(t )在上單調(diào)遞增。 當t2時，f(t)有最小值 即2，x0，f(x)min變式練習1：求函數(shù)f(x)的值域。變式練習2：求函

7、數(shù)f(x)的最小值。課 后 綜 合 練 習1、設、b是正實數(shù)，以下不等式：（1）；（2）bb；（3）2b24b3b2；（4）b2。恒成立的序號為（ ）A：（1）（3）； B：（1）（4）； C：（2）（3）； D：（2）（4）【解析】：D （1） （2）bb（3）23b2b24b24b24b4b4b0；2、若、b均大于1的正整數(shù)，且b100，則lg×lgb的最大值是（ ）A：0 B：1 C：2 D：【解析】：B3、若x0，則x的最小值是（ ）A：2 B：3 C：2 D：4【解析】：D4、已知0x1，則x(33x)取得最大值時x的值為（ ）A： B： C： D：【解析】：C5、設0，b

8、0若是與的等比中項，則的最小值（ ）A：8 B：4 C：1 D：【解析】：B6、函數(shù)f(x)(x1)圖象的最低點坐標是_?！窘馕觥浚?0，2)7、若0，b0，且x1是函數(shù)f(x)12x22x2b的零點，則b的最大值為_。【解析】：98、若正數(shù)、b滿足bb3，求b的取值范圍?！窘馕觥浚篵99、已知x0，y0，且x21，求x的最大值?！窘馕觥浚?10、已知不等式x2x20的解集為(，x1)(x2，)，其中x10x2，則x1x2的最大值為（ ）A： B：0 C：2 D：【解析】： x10x2， x1×x220 x1x2x1x224011、如圖，在ABC中，D為BC的中點，E為AD上任一點，

9、且，則的最小值為_?！窘馕觥浚?2、若兩個正實數(shù)x，y滿足1，且不等式xm23m有解，則實數(shù)m的取值范圍是()A：(1，4) B：(，1)(4，) C：(4，1) D：(，0)(3，)【解析】：選B不等式x<m23m有解，xminm23m，x0，y0，且1，x2224，當且僅當，即x2，y8時取等號，min4，m23m4，即(m1)(m4)0，解得m1或m4，故實數(shù)m的取值范圍是(，1)(4，)13、某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為400平方米的三級污水處理池，如圖所示，池外圈造價為每米200元，中間兩條隔墻造價為每米250元，池底造價為每平方米80元(池壁的厚度忽略不計，且池無蓋).若使水池的總造價最低，那么污水池的長和寬分別為()A：40米，10米B：20米，20米 C：30米，米D：50米，8米【解析】選C.