微積分在大學物理的一些應(yīng)

1、微積分在大學物理的一些應(yīng)用 班級 2010級數(shù)學與數(shù)學應(yīng)用本科班學號9010106050指導老師劉小偉姓名潘安林摘要在大學物理中微積分有非常大的用處，隨處可見給我們解題帶來的方便。即如在質(zhì)點運動，力學，功，熱學，電磁學等都有體現(xiàn)出了。在習題解答中也處處能用到，也許是他們的特殊的性質(zhì)和集合意義，讓他們在物理應(yīng)用中非常的全面。如在質(zhì)點運動中瞬時速度，用符號 “”表示，即。微積分作為數(shù)學的一門分支學科，在物理學中有著非常重要的應(yīng)用價值。大學物理中，我們常常研究始終都在變化的物理量，會覺得很難研究，但通過微元分割成一小塊一小塊，那就就可以認為是常量處理，最終加起來就行了。關(guān)鍵詞：微積分，取極限，分割，

2、求導引言微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數(shù)學思想，“無限細化”就是微分，“無限求和”就是積分。在學習物理的過程中，我們常常是在研究不規(guī)則的物理量或物理狀態(tài)。有了這個思想，那我們就可以把問題細化，研究一個小的微元的變化量，然后相加，非常方便。一、力學1.1質(zhì)點運動學1、若質(zhì)點在時間內(nèi)的位移，則定義與的比值為質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度，寫為 其分量形式當時，平均速度的極限值叫做瞬時速度，用符號“”表示，即時，的量值可以看作和相等，此時瞬時速度的大小等于質(zhì)點在該點的瞬時速率。 時刻質(zhì)點的速度為在時刻，質(zhì)點位于下一點時其速度為；則在時間內(nèi)，質(zhì)點的速度為。定義質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均加速度為 平均

3、加速度是矢量，方向與速度增量的方向相同。時，平均加速度的極限值叫做瞬時加速度，即這樣在解題過程中就能用到。微積分在題目中的用處十分的便捷。如下例題例1、質(zhì)點沿軸運動，其加速度和位置的關(guān)系為 2+6，的單位為，的單位為 m. 質(zhì)點在0處，速度為10,試求質(zhì)點在任何坐標處的速度值解： 分離變量： 兩邊積分得由題知，時，, 2、在運動學中微積分同樣可以發(fā)揮作用，就連在振動欲動中我們也能用微積分來解救問題，如：例2、如題1圖所示，物體的質(zhì)量為，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為，彈簧的倔強系數(shù)為，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為先把物體托住，使彈簧維持原長，然 后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動，并求振動周

4、期 題1圖解：分別以物體和滑輪為對象，其受力如題4-3圖(b)所示，以重物在斜面上靜平衡時位置為坐標原點，沿斜面向下為軸正向，則當重物偏離原點的坐標為時，有 式中，為靜平衡時彈簧之伸長量，聯(lián)立以上三式，有令 則有故知該系統(tǒng)是作簡諧振動，其振動周期為1.2牛頓定律物體的質(zhì)量m和其運動速度的乘積叫做物體的動量，用符號“”表示。是矢量，其方向與速度的方向一致。牛頓第二定律的內(nèi)容是：動量為的物體，在合力的作用下，其動量隨時間的變化率應(yīng)當?shù)扔谧饔门c物體的合外力。其微積分的表達式為 物體運動的速度小于光速時，物體的質(zhì)量可以認為是常量，此時上式可寫成在直角坐標系中式可以沿著坐標軸分解，寫成如下式即物體在運動

5、的過程中力一般的時刻在變的，那利用微積分學就能讓變化的力變成一個簡單的勻速直線運動，然后積分和變速運動。下面用一個例子說明下，微積分用在這里很方便，給我們解題帶來了很大的幫助。見例題：例3、一個正在沿直線行駛的汽船，關(guān)閉發(fā)動機后，由于阻力得到一個與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k為常數(shù)（1）試證在關(guān)閉發(fā)動機后，船在t時刻的速度大小為；（2）試證在時間t內(nèi)，船行駛的距離為證明（1）分離變量得，積分 ，可得 （2）公式可化為，由于v = dx/dt，所以積分 因此 證畢討論當力是速度的函數(shù)時，即f = f(v)，根據(jù)牛頓第二定律得f = ma由于a = d2

6、x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分離變量得方程1.3動量定理牛頓第二定律的積分形式為即在經(jīng)典力學里，當物體運動的速度遠遠小于光速時，物體的質(zhì)量可以認為是不依賴于速度的常量，此時上式變形為在作用下的一段時間內(nèi)，上式兩端可積分，得式中，、以及、分別對應(yīng)、時刻的動量和速度。式子左面為力在這段時間內(nèi)對時間的積累，叫做力的沖量，即顯然我們就能利用上面的公式來求解題目，即使物體在做不規(guī)則運動，我們?nèi)匀灰材芮蟮玫健?.4功在以前我們知道用公式計算但當物體的路徑是不規(guī)則的那我們在呢么辦呢。有了微積分學的幫助問題就簡單多了，當質(zhì)點有A點運動到B點，此過程中作用于質(zhì)點上的力的大小和方

7、向時刻都在變化。為求的在此過程中變力所做的功，可以把A到B的路徑分成很多小段，每一小段都看做是一個元位移，在每個元位移中，力可以近似看作不變。因此我們就能用微積分式子表示它，即：合力的功，等于各個分力的功的代數(shù)和。我們可以把力和看作是其在各個坐標軸上的分力的矢量和，即 此時做功為各個分力所做功為同理，若有幾個力、同時作用在質(zhì)點上，則其合力所做的功為二，熱學2.1氣體分子的速率我用一個例題說明微積分在這里的一個簡單的應(yīng)用。例4、 設(shè)有個粒子的系統(tǒng)，其速率分布如題2圖所示求(1)分布函數(shù)的表達式；(2)與之間的關(guān)系；(3)速度在1.5到2.0之間的粒子數(shù)(4)粒子的平均速率(5)0.5到1區(qū)間內(nèi)粒

8、子平均速率題2圖解：(1)從圖上可得分布函數(shù)表達式滿足歸一化條件，但這里縱坐標是而不是故曲線下的總面積為，(2)由歸一化條件可得(3)可通過面積計算(4) 個粒子平均速率(5)到區(qū)間內(nèi)粒子平均速率 到區(qū)間內(nèi)粒子數(shù)三、電磁學3.1電磁學是研究電、磁和電磁的相互作用現(xiàn)象，及其規(guī)律和應(yīng)用的物理學分支學科。根據(jù)近代物理學的觀點，磁的現(xiàn)象是由運動電荷所產(chǎn)生的，因而在電學的范圍內(nèi)必然不同程度地包含磁學的內(nèi)容。所以，電磁學和電學的內(nèi)容很難截然劃分，而“電學”有時也就作為“電磁學”的簡稱.早期，由于磁現(xiàn)象曾被認為是與電現(xiàn)象獨立無關(guān)的，同時也由于磁學本身的發(fā)展和應(yīng)用，如近代磁性材料和磁學技術(shù)的發(fā)展，新的磁效應(yīng)和

9、磁現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用等等，使得磁學的內(nèi)容不斷擴大，所以磁學在實際上也就作為一門和電學相平行的學科來研究了。和電磁學密切相關(guān)的是經(jīng)典電動力學，兩者在內(nèi)容上并沒有原則的區(qū)別。一般說來，電磁學偏重于電磁現(xiàn)象的實驗研究，從廣泛的電磁現(xiàn)象研究中歸納出電磁學的基本規(guī)律；經(jīng)典電動力學則偏重于理論方面，它以麥克斯韋方程組和洛倫茲力為基礎(chǔ)，研究電磁場分布，電磁波的激發(fā)、輻射和傳播，以及帶電粒子與電磁場的相互作用等電磁問題，也可以說，廣義的電磁學包含了經(jīng)典電動力學。微積分在電磁學中的應(yīng)用實例：例5、.同軸電纜的內(nèi)導體是半徑為的金屬圓柱，外道體是內(nèi)外半徑分別為和的金屬圓桶，兩導體相對磁導率為，兩者之間充滿相對磁導率為

10、的不導電的均勻介質(zhì)。電纜工作時，兩導體的電流均為I（方向相反），電流在每個導體的橫截面均勻分布。求各區(qū)的B。解：根據(jù)有介質(zhì)時的安培環(huán)路定理分別在區(qū)內(nèi)求解 (31) (32) (33)在區(qū)域，由有介質(zhì)的安培環(huán)路定理得：H=0 B=0 (34)這是一個計算磁感應(yīng)強度的典型例題，在空間的傳導電流分布及磁介質(zhì)性質(zhì)已知時，運用了安培環(huán)路定理，在恒定磁場理論原則上應(yīng)能求的中安培環(huán)路定理是非常重要的一個定理，它說明了磁場不是勢場，不是勢場的矢量場稱為渦旋場。所以磁場B是渦旋場。在靜磁學中，當電荷分布有適當對稱性時單從安培環(huán)路定理就可求得恒定磁場。它對任意恒定磁場中的任意閉曲線都是成立的.例6、一個半徑為的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為,求環(huán)心處點的場強解: 如3圖在圓上取題3圖，它在點產(chǎn)生場強大小為方向沿半徑向外則 積分 ，方向沿軸正向四、結(jié)束語我覺在物理中，高中我們都學會了在理想狀態(tài)下的解題，而大學物理就是那公式中有一個變量，而且是隨時在邊，那我們就把那個量用來積分，如。 由此可見，微積分不僅在數(shù)學中有重要的作用而且在物理學中也有著十分的廣泛的作用。在使用微積分解決問題時應(yīng)注意由微積分導出的許多物理概念、物理定律，分析每個物理量的意義，讓學生把復(fù)雜的物理問題化整為零，然后再積零為整的這種方法學會