函數(shù)列一致收斂判別法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)哈哈 爾爾 濱濱 師師 范范 大大 學學學士學位論文開題報告學士學位論文開題報告論文題目 函數(shù)列一致收斂性判別法學生姓名 許月指導教師 房維維 講師年 級 2008級2班專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學2011年11月 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)課題來源： 由指導教師提供 課題研究的目的和意義： 由于本課題在數(shù)學領域中對初學者來說比較難理解，難以掌握與應用，所以研究此課題目的是讓初學者掌握該課題知識，學會分析，提高自己的綜合能力，本文給出5種函數(shù)一致收斂性判別法的例題，讓初學者更加形象的理解本課題的應用技巧。 函數(shù)列一致收斂性判別法在數(shù)學分析中是

2、重點難點，有效的判別函數(shù)列的收斂性對研究函數(shù)列的性質(zhì)起著重要作用 。所以本文介紹了判別收斂性的方法及案例，讓初學者能深刻體會其重要性和應用的廣泛性。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢： 函數(shù)列一致收斂性判別法在求解極限領域中起著極其重要的作用，它不僅有助于提高我們對極限認識清晰度，而且更能幫助我們領悟一致收斂這一性質(zhì)。但在國內(nèi)對于寫相關課題已被廣泛研究，1991年海南師范學院學報第二期張國才和方良秋的函數(shù)列一致收斂性判別法 ，這篇文章參考數(shù)學分析中函數(shù)列的性質(zhì)得出了函數(shù)列一致收斂性的基本方法，包括柯西判別法。1995年吉林師范學院學報第16卷上關偉大的關

3、于一致收斂的判別問題 ，這篇文章討論了處處收斂與一致收斂的關系，得出了“單調(diào)的一致收斂函數(shù)列是一致收斂的”結(jié)論。1994年上海師范大學學報第23卷第3期張駿芳的廣義一致收斂與亞一致收斂,這篇文章討論了連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)連續(xù)條件，采用了先把函數(shù)列為正則收斂減弱為弱正則收斂或一致收斂，在減弱為廣義一致收斂，最后成為一個定理證明。還有很多學者研究了一致收斂判別的各個方面，不僅未來的研究指明了方向，而且在學術界得到廣泛應用，同時也為本文提供了理論依據(jù)和參考。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：主要內(nèi)容：1、函數(shù)列一致收斂性的判別法2、函

4、數(shù)列一致收斂性的定義3、函數(shù)列一致收斂性的柯西準則4、函數(shù)列一致收斂的充要條件5、函數(shù)列一致收斂性判別法的應用6、函數(shù)列一致收斂性判別法的意義主要方法：查詢法：通過文獻調(diào)研有目的有計劃有系統(tǒng)地收集并整理資料，了解圖論在數(shù)學模型中的應用。 文獻研究法：調(diào)研文獻，整理文章，獲取所需材料。 歸納法：總結(jié)并整理論文。主要問題：對于不同的題型，怎么選擇正確方法解答。解決辦法：歸納總結(jié)，查詢文獻，請老師指導等。課題研究起止時間和進度安排：1.選定課題（2011.102011.11）2.收集資料，研究有關課題（2011.112012.2）3.完成初稿（2012.22012.3） 4.請指導教師指導完成論文(

5、2012.32012.4)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)學學 士士 學學 位位 論論 文文題題 目目 函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法學學 生生 許月許月指導教師指導教師 房維維房維維 講師講師年年 級級 2008 級級專專 業(yè)業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學數(shù)學與應用數(shù)學系系 別別 數(shù)學系數(shù)學系學學 院院 文理學院文理學院哈爾濱師范大學2012 年 4 月精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)目目 錄錄 1.3 函數(shù)列一致收斂性充要條件.27 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)函數(shù)列一致收斂性判別法許月 摘要摘要: 在高等數(shù)學中一致收斂是函數(shù)列的一個重要性質(zhì)，有效的判別

6、函數(shù)列一致收斂性的方法，對研究函數(shù)列的性質(zhì)起著重要的作用。其方法有定義法，柯西準則，充要條件等重要方法，通過學習這些證明方法，可以幫助我們解決一些實際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維能力，并對各種方法加以系統(tǒng)總結(jié)，以便學者熟練并靈活運用. 關鍵詞關鍵詞： 函數(shù)列；一致收斂；判別法 引言 本文系統(tǒng)總結(jié)了有關函數(shù)列一致收斂性的若干證明方法與技巧，通過對例題的分析，回顧了幾種常用的函數(shù)列一致收斂性判定方法，充分的分析各種判定方法的應用，并結(jié)合實例對不同方法進行具體應用，敘述了證明函數(shù)列一致收斂性判別方法，即函數(shù)列一致收斂性的定義，函數(shù)列一致收斂性的柯西準則，函數(shù)列一致收斂性的充要條件等方法證明函

7、數(shù)列一致收斂性.這樣對我們解題將會起到很大的作用.一 預備知識1.11.1 函數(shù)列一致收斂的定義函數(shù)列一致收斂的定義 定義 1：設函數(shù)列nf與函數(shù) f x定義在同一數(shù)集D上，若對任給的正數(shù)，總存在一正整數(shù)N，使得當nN時，對一切xD，都有 nfxf x，則稱函數(shù)列 nf在D上一致收斂于f，記作 nfxf x n ，xD.1.21.2 函數(shù)列一致收斂性的柯西準則函數(shù)列一致收斂性的柯西準則定理 1（Cauchy）函數(shù)列nf在D上一致收斂的充分必要條件上：對任意給定正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當, n mN時，對一切xD，都有 nmfxfx.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1.31.3 函數(shù)列

8、一致收斂性的充要條件函數(shù)列一致收斂性的充要條件定理 2 函數(shù)列nf在D上一致收斂的充要條件是： limsup0nnx Dfxf x. 二二 函數(shù)列一致收斂性判別法的應用函數(shù)列一致收斂性判別法的應用2.12.1 利用利用函數(shù)列一致收斂性定義證明函數(shù)列一致收斂性定義證明例 1：定義在, 上的函數(shù)列 sin,1,2.nnxfxnn由于對任何實數(shù)x，都有nnnx1sin故對任給的0，只要1nN，就有sin0,nxn所以函數(shù)列sinnxn收斂域為無限區(qū)間, , 極限函數(shù) 0f x .注：對于函數(shù)列，僅停留在談論在那些點上收斂是遠遠不夠的，重要的是研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的解析性質(zhì)的關系。例如，能否由函

9、數(shù)列每項的連續(xù)性，可導性，來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導性；或極限函數(shù)的導數(shù)或積分，是否分別是函數(shù)列每項導數(shù)或積分的極限，對這些更深刻問題的討論，必須對它在D上的收斂性提出更高的要求才行。例 2：設在, a b上， nfx一致收斂于 f x， ngx一致收斂于 g x。若存在正數(shù)列,1,2,.nMxa bn。證明： nnfxgx在, a b上一致收斂于 f xg x。證明：先證 nfx一致有界。因為 nfx一致收斂于 f x，所以0,0N ，當nN時 ,nfxf xxa b特別地對1,有 1nfxf x，所以 11,nnf xfxM 即 f x是有界的。記 1,supxa bMf x ，則當n

10、N時， 11,nnnfxfxM 取121max,.,1NMM MMM精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)則有對于任意的 ,nnNxa bfxM 同理可證 g x是有界的，即0,M使得 ,g xM xa b，由于 nfx一致收斂于 f x， ngx一致收斂于 g x，所以對0,0,N 當nN時對一切,xa b ,22nnfxf xgxg xMM，所以當nN時有 nnfx gxf x g x nnnfx gxf x g xfx g xf x g x nnnfxgxg xg xfxf x22MMMM故 nnfx gx在, a b上一致收斂于 f x g x.2.22.2 利用利用函數(shù)列一致收斂

11、性的柯西準則函數(shù)列一致收斂性的柯西準則例 3：設 nf nx，1,2n 為定義在, 上的函數(shù)列，證明它的收斂域是1,1，且有極限函數(shù) 0,1( )1,1xf xx （3）證明：任給0， （不防設1） ，當01x時，由于 nnfxf xx，只要取ln,lnNxx，當nN,x時，就有 nfxf x，當0 x 和1x 時，則對任何正整數(shù)n，都有 000nff， 110nff.這就證得nf在1,1上收斂，且有（3）式所表現(xiàn)的極限函數(shù).當1x 時，則有nxn ，當1x 時，對應的數(shù)列為，1,1, 1,1. 它顯然是發(fā)散的。所以函數(shù)列 nx在區(qū)間1,1外是發(fā)散的.注：對于不等式中含有可考慮用的因子,)()

12、(afbf拉格朗日中值定理先處理以下，利用中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來證明不等式首先要熟記各個中值定理的應用條件，可將原不等式通過變形找到一個輔助函數(shù)，使其在所給區(qū)間上滿足中精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)值定理的條件，證明的關鍵是處理好點，分析函數(shù)或其導數(shù)在該點的性質(zhì)即可得到所要結(jié)論，在證明過程中也會出現(xiàn)反復應用同一定理或同時應用幾個定理進行證明的情況.例 4：可微函數(shù)列 nfx在, a b上收斂，且導函數(shù)列 nfx在, a b上一致有界，則 nfx在, a b上一致收斂。證明：由假設存在正數(shù) M，對一切自然數(shù) n，當,xa b時，有 nfxM，

13、因此對0 ，只要取3M,則當xx，對一切自然數(shù)n，由微分中值定理有 3nnnfxfxfxxM其中在x和x之間，現(xiàn)對, a b作k等分，使bak，在各個小區(qū)間內(nèi)任取一點12,.,kx xx，在這些點上函數(shù)列 nfx收斂，對0 ，存在自然數(shù)iN，當inN時，有 3nimifxfx令1maxii kNN ，則當nN時，這一切12,.,kx xx都有， 3nimifxfx，對任意,xa b，設x落在ix所在的小區(qū)間上， （1） ， （2） ，及nN有 nmnninimimimfxfxfxfxfxfxfxfx所以 nfx在, a b上是一致收斂的。注：柯西準則的特點是不需要知道極限函數(shù)是什么，只是根據(jù)函

14、數(shù)列本身的特點來判斷函數(shù)列是否一致收斂。例 5： 2nnnfxxx在01x是否一致收斂？分析：考察區(qū)間收斂與一致收斂的邏輯關系注意聯(lián)系閉區(qū)間連續(xù)性與一致收斂的關系.證明：這里 2limlim0,01,nnnnnfxxxf xx，令 11 20nnnfxnxx，得12nnx ，由于 0nfx ，而 010nnff，所以，在12nnx 點， nfx取極大值. 220101111supsup224nnnxxfxf xxx 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)所以 nfx不趨近于 f x.注：當 01supnxfxf x 不好求時，只好訴之于一致或者不一致收斂的定義或柯西準則。從上例題也可看出，

15、函數(shù)列在有限閉區(qū)間上收斂，未必一致收斂，2nnxx在0,1上就是如此，這與有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定一直連續(xù)不同。2.32.3 利用利用函數(shù)列一致收斂性的充要方法函數(shù)列一致收斂性的充要方法例 6：定義在上的函數(shù)列 122,0211222,1,2,.210,1( )nn xxnnn xxnnnxnfx （8）其中1,2,3n 的圖像，如圖所示.由于(0)0nf，故 (0)lim00nnnff。當01x時，只1nx，就有( )0nfx ，故在0,1上有 (0)lim00nnnff于是函數(shù)列（8） ，在 1 , 0上的極限函數(shù)( )0f x ，又由于 0,11sup2nnxfxf xfnnn ，所以函

16、數(shù)列（8）在0,1上不一致收斂。例 7：討論函數(shù)列 222n xnfxn xe，0,1x的一致收斂性。證明：因為 222lim0,0,1n xnf xn xex，于是， 2220.n xnfxfn xe容易驗證222n xn xe在0,1上只有唯一的極大點012xn，因此為最大值點。于是 12sup2nnfxf xe 因此該函數(shù)列在0,1上不一致收斂。精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)注： 222n xnfxn xe不一致收斂是因為函數(shù)列余項的數(shù)值在0 x 的附近不能隨 n的增大一致趨于零，因此對任何不含原點的區(qū)間,1 01aa， 222n xnfxn xe在該區(qū)間上一致收斂于零。例

17、8：討論 221,1,2,.1,1nfxxnDn 是否一致收斂，并說明理由。證明：由于 lim,1,1nnfxxf xxD ，且 221limsuplimsupnnnx Dx Dfxf xxxn22211limsuplim01nnx Dnnxxn故221,1,1xxnxn .例 9：討論 22,1,2,.,1nxfxnDn x 是否一致收斂，并說明理由。證明：由于 lim0,nnfxf xx ，且 221limsuplimsuplim021nnnnx Dx Dxfxf xnn x故220, 0,1xxn x .結(jié)束語初等數(shù)學中的常用方法有很多，在數(shù)學的學習過程中，函數(shù)列一致收斂性證明是一個非常

18、重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學和高等數(shù)學中都有很好的體現(xiàn).在極限上，雖然函數(shù)列一致收斂性判別法廣泛的存在于現(xiàn)實的世界里，但是人們對函數(shù)列一致收斂性判別法的認識尚淺.直到 17 世紀以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學基礎理論的一個重要組成部分.但一般來說比較講究解題技巧.而用上述函數(shù)列一致收斂性判別法，有時可大大降低解精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)題技巧的需要，簡化解題過程.所以以上方法給我們提供了便利的條件.注釋：注釋：1李長明,周煥山:初等數(shù)學研究M.北京:高等教育出版社,1995,253-263.2葉慧萍:反思性教學設計-不等式證明綜合法J.數(shù)學教學研究,2005,10

19、(3):89-91.3胡炳生,吳俊:現(xiàn)代數(shù)學觀點下的中學數(shù)學M.北京:高等教育出版社,1998,45-50.4宋慶:函數(shù)列一致收斂性判別法的再推廣J.中等數(shù)學,2006,45(5):29-31.5蔣昌林:也談一類函數(shù)列一致收斂性的統(tǒng)一證明J.數(shù)學通報,2005,15(2):75-79. 6張新全.函數(shù)列一致收斂性的證明J.數(shù)學通報,2006,45(4):54-55.參考文獻：參考文獻：1 孫 濤：數(shù)學分析經(jīng)典習題解析M，高等教育出版社，2004.2 孫清華：數(shù)學分析內(nèi)容、方法與技巧M，華中科技大學出版社，2003.3 謝惠民：數(shù)學分析習題課講義M，高等教育出版社，2003.4 陳傳璋：數(shù)學分析

20、M，人民教育出版社，1980.5 黃先開,曹顯兵：歷屆考研試題M，世界圖書出版公司, 2004.精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)英文摘要英文摘要Uniform Convergence Of Function Sequence Of Discriminant MethodXuYueAbstract: Higher Mathematics in uniform convergence of function sequence is one of the important properties, effective discriminant function uniformly conv

21、ergence method, to study the properties of sequence of functions play an important role. The method of defining method, a sufficient and necessary condition of guidelines, and other important method, through the study of these proven methods, which can help us to solve some practical problems, developing logical reasoning ability and abstract thinking ability, and the various methods to summarize, in order to scholars of skilled and flexible use.Keywords: function list; uniform convergence; discriminant method 精選優(yōu)質(zhì)文檔-