高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：18.3　不等式的證明(二)

1、.18.3不等式的證明二典例精析題型一用放縮法、反證法證明不等式 【例1】a，bR，且ab1，求證：a22b22.【證明】 方法一：放縮法因為ab1，所以左邊a22b2222ab42右邊.方法二：反證法假設(shè)a22b22，那么 a2b24ab8.由ab1，得b1a，于是有a21a212.所以a20，這與a20矛盾.故假設(shè)不成立，所以a22b22.【點撥】 根據(jù)不等式左邊是平方和及ab1這個特點，選用重要不等式a2 b2來源:1ZXXK22來證明比較好，它可以將具備a2b2形式的式子縮小.而反證法的思路關(guān)鍵是先假設(shè)命題不成立，結(jié)合條件ab1，得到關(guān)于a的不等式，最后與數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)矛盾，從而證

2、明了原不等式.當(dāng)然此題也可以用分析法和作差比較法來證明.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a0，a1，a2，an1，an滿足a0an0，且有a02a1a20，a12a2a30，an22an1an0，求證：a1，a2，an10.【證明】由題設(shè)a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假設(shè)a1，a2，an1中存在大于0的數(shù)，假設(shè)ar是a1，a2，an1中第一個出現(xiàn)的正數(shù). 即a10，a20，ar10，ar0，那么有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.這與題設(shè)an0矛盾.由此證得a1，a2，an10成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明

3、不等式【例2】用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)an，nN*，求證：an.來源:1【證明】 方法一：放縮法，即n.所以12nan132n1.所以an·，來源:1ZXXK即an.方法二：數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n1時，a1，而12，所以原不等式成立.假設(shè)nk k1時，不等式成立，即ak.那么當(dāng)nk1時，ak1，所以ak1.而k1，.所以ak1.故當(dāng)nk1時，不等式也成立.綜合知當(dāng)nN*，都有an.【點撥】 在用放縮法時，常利用根本不等式將某個相乘的的式子進展放縮，而在上面的方法二的數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟也要用到這個公式.在用數(shù)學(xué)歸納法時要注意根據(jù)目的來尋找思路.【變式訓(xùn)練2】數(shù)列，Sn為其前n項和，計算得

4、S1，S2，S3，S4，觀察上述結(jié)果推測出計算Sn的公式且用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】猜測SnnN.證明：當(dāng)n1時，S1，等式成立.假設(shè)當(dāng)nkk1時等式成立，即Sk.那么Sk1Sk.即當(dāng)nk1時，等式也成立.綜合得，對任何nN，等式都成立.題型三用不等式證明方法解決應(yīng)用問題【例3】某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因消費建立的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量.1求an的表達式；2為保護生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年森林木材量應(yīng)不少于a，假如ba，那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？假設(shè)會，需要經(jīng)過幾年？取lg 20.30【解析】1依題意得a1a

5、1bab，a2a1babb2a1b，a3a2b3a21b，由此猜測annan1n21bna4n1bnN.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，a1ab，猜測成立.假設(shè)nkk2時猜測成立，即akka4k1b成立.那么當(dāng)nk1時，ak1akbbk1a4k11b，即當(dāng)nk1時，猜測仍成立.來源:1由知，對任意nN，猜測成立.2當(dāng)ba時，假設(shè)該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，那么森林木材存量必須少于a，所以na4n1·aa，整理得n5，兩邊取對數(shù)得nlg lg 5，所以n7.故經(jīng)過8年該地區(qū)就開場水土流失.【變式訓(xùn)練3】經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y千輛/時與汽車的平均速度v千

6、米/時之間的函數(shù)關(guān)系為yv0.1在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？準(zhǔn)確到0.1千輛/時來源:12假設(shè)要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，那么汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解析】1依題意，y，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v40時，上式等號成立，所以ymax11.1千輛/時.2由條件得10，整理得v289v1 6000，即v25v640，解得25v64.答：當(dāng)v40千米/時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時.假如要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，那么汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時且小于64千米/時.總結(jié)進步1.有些不等式，從正面證假如不易說清，可以考慮反證法，但凡含有“至少、“唯一或者其他否認(rèn)詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進展命題正確與否的判斷.2.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目的，目的在結(jié)論和中間結(jié)果中尋找.常用的放縮方法有：1添加或舍去一些項，如，n；2將分子或分母放大或縮?。?利用根本