圓的概念、垂徑定理、圓周角第十課時(shí)

1、第第章章 動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OAOA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O O旋轉(zhuǎn)一周，另一旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)個(gè)端點(diǎn)A A所形成的圖形叫做所形成的圖形叫做圓圓靜態(tài)靜態(tài)：圓心為：圓心為O O、半徑為、半徑為r r的圓可以看的圓可以看成是所有到定點(diǎn)成是所有到定點(diǎn)O O的距離等于定長(zhǎng)的距離等于定長(zhǎng)r r 的的點(diǎn)組成的圖形點(diǎn)組成的圖形如圖，請(qǐng)正確的方式表示出以點(diǎn)如圖，請(qǐng)正確的方式表示出以點(diǎn)A A為端點(diǎn)的優(yōu)弧及劣弧為端點(diǎn)的優(yōu)弧及劣弧. . F E D C B A O I ,.ACD ACF ADE ADC,.AC AE AF AD想一想想一想判斷下列說(shuō)法的正誤

2、：判斷下列說(shuō)法的正誤：(1)(1)弦是直徑；弦是直徑；( )( )(2)(2)半圓是??；半圓是??； ( )(3)(3)過(guò)圓心的線段是直徑；過(guò)圓心的線段是直徑； ( ) ( ) (7)(7)圓心相同，半徑相等的兩個(gè)圓是同心圓圓心相同，半徑相等的兩個(gè)圓是同心圓;( ) ;( ) (8)(8)半徑相等的兩個(gè)圓是等圓半徑相等的兩個(gè)圓是等圓.( ).( )(4)(4)過(guò)圓心的直線是直徑；過(guò)圓心的直線是直徑；( )( )(5)(5)半圓是最長(zhǎng)的弧；半圓是最長(zhǎng)的弧；( )( )(6)(6)直徑是最長(zhǎng)的弦；直徑是最長(zhǎng)的弦；( )( )問(wèn)題問(wèn)題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年

3、前我國(guó)隋代建造的石多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.27.2m m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實(shí)踐探究實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)

4、論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸它的對(duì)稱軸如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？OABCDE活活 動(dòng)動(dòng) 二二（1）是軸對(duì)稱圖形直徑）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對(duì)稱軸直線是它的對(duì)稱軸（2） 線段：線段： AE=BE弧：，?。?，把圓沿著直徑

5、把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直徑平分弦，并且直徑平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧所對(duì)的兩條弧即即，AM=BM,n由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推

6、得可推得M垂徑定理：垂徑定理：推論：推論：判斷下列說(shuō)法的正誤判斷下列說(shuō)法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧必平分此弦所對(duì)的弧 解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題解決求趙州橋拱半徑的

7、問(wèn)題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中在圖中如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD 就是拱高就是拱高1如圖，在如圖，在 O中

8、，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習(xí)練習(xí)解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.活活 動(dòng)動(dòng) 三三118422AEAB 在在Rt AOE 中中 2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB1

9、1 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為、某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為、2 m ，過(guò)，過(guò)O 作作OC AB 于于D， 交圓弧于交圓弧于C，CD=2、4m， 現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的的貨船要經(jīng)過(guò)拱橋，此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋？貨船要經(jīng)過(guò)拱橋，此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋？CNMAEHFBDO請(qǐng)說(shuō)說(shuō)我們是如何給圓心角下定義的，試回答？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)我們是如何給圓心角下定義的，試回答？頂點(diǎn)頂點(diǎn)在在圓心圓心的角叫的角叫。頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交

10、的角叫做 練習(xí)一練習(xí)一：判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？：判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？ ABC1OC2C3一、定理一、定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓 周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角 的一半的一半定定 理理 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，是直角， 9090的圓周角所對(duì)的弦的圓周角所對(duì)的弦是直徑是直徑推推 論論ABCDEO1.如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四邊形在同一個(gè)圓上，四邊形ABCD的對(duì)角線把的對(duì)角線把4個(gè)內(nèi)角分成個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，這些角中哪個(gè)角，這些

11、角中哪些是相等的角？些是相等的角？ABCD123456781 = 45 = 82 = 73 = 6練習(xí)二、練習(xí)二、方法點(diǎn)拔：方法點(diǎn)拔：由同弧來(lái)找相等的圓周角弧來(lái)找相等的圓周角 2 2、求、求圓中角圓中角X X的度數(shù)的度數(shù)BAO.70 xAO.X120600BP例例2 如圖，如圖， O直徑直徑AB為為10cm，弦，弦AC為為6cm，ACB的平的平分線交分線交 O于于D，求，求BC、AD、BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，22105 2(cm)22ADBDABABCDO解：解：AB是直徑，是直徑， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，

12、CD平分平分ACB，AD=BD.ADBD例題例題106）8說(shuō)出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家說(shuō)出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家與你一起分享！與你一起分享！1.如圖，你能設(shè)法確定一個(gè)圓形紙片的圓心嗎？你有多如圖，你能設(shè)法確定一個(gè)圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？與同學(xué)交流一下少種方法？與同學(xué)交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB使用幫助使用幫助練習(xí)三、練習(xí)三、2、求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，、求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形（提示：作出以這條那么這個(gè)三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓邊為直徑的圓.）ABCO已知：已知：ABC ，CO為為AB邊上的中線，邊上的中線，求證：求證： ABC 為直角三角形為直角三角形.證明：證明：CO= AB,以以AB為直徑作為直徑作 O，AO=BO，AO=BO=CO.點(diǎn)點(diǎn)C在在 O上上.又又AB為直徑為直徑,ACB= 180= 90.1212且且CO= AB ABC 為直角三角形為直角三角形.3 3、ABAB、ACAC為為OO的兩條弦，延長(zhǎng)的兩條弦，延長(zhǎng)CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求求