狀態(tài)空間分析法的特點及其應用

1、狀態(tài)空間分析法的主要特點及其應用1.引言60年代以前,研究自動控制系統(tǒng)的傳統(tǒng)方法 主要使用傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)的數(shù)學描述,研究對象是 SISO 系統(tǒng),這樣建立起來的理論就是現(xiàn)在所說的“古典控制理論”。隨著宇航和生產(chǎn)技術的發(fā)展及電子計算機的出現(xiàn),控制系統(tǒng)日漸復雜(MIMO ,時變,不確定,耦合,大規(guī)模,傳統(tǒng)的研究方法難以適應新的形勢。在 50s'后期,Bellman 等人提議使用狀態(tài)變量法,即狀態(tài)空間法來描述系統(tǒng),時至今日,這種方法已成為現(xiàn)代控制理論的基本模型和數(shù)學工具。所謂狀態(tài)空間是指以狀態(tài)變量n 21X X X ,為軸所構成的n 維向量空間。這樣,系統(tǒng)的任意狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一個點

2、表示。利用狀態(tài)空間的觀點分析系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間法,狀態(tài)空間法的實質不過是將系統(tǒng)的運動方程寫成一階微分方程組,這在力學和電工上早已使用,并非什么新方法,但用來研究控制系統(tǒng)時具有如下優(yōu)點。1、適用面廣:適用于 MIMO 、時變、非線性、隨機、采樣等各種各樣的系統(tǒng),而經(jīng)典法主要適用于線性定常的 SISO 系統(tǒng)。2、 簡化描述,便于計算機處理:可將一階微分方程組寫成向量矩陣方程, 因而簡化數(shù)學符號,方便推導,并很適合于計算機的處理,而古典法是拉氏變換法,用計算機不太好處理。3、內(nèi)部描述:不僅清楚表明 I-O 關系,還精確揭示了系統(tǒng)內(nèi)部有關變量及初始條件同輸出的關系。4、有助于采用現(xiàn)代化的控制方法

3、:如自適應控制、最優(yōu)控制等。上述優(yōu)點便使現(xiàn)代控制理論獲得了廣泛應用,尤其在空間技術方面還有極大成功。狀態(tài)空間法的缺點:1、不直觀,幾何、物理意義不明顯:不象經(jīng)典法那樣, 能用 Bode 圖及根軌跡進行直觀的描述。對于簡單問題,顯得有點煩瑣。2、對數(shù)學模型要求很高:而實際中往往難以獲得高精度的模型,這妨礙了它的推廣和應用。2.狀態(tài)空間分析法在部分系統(tǒng)中的應用2.1狀態(tài)空間分析法在PWM 系統(tǒng)中的應用狀態(tài)空間分析法不僅適用于時變系統(tǒng)(例如PWM 系統(tǒng),而且可以將其簡化,同時便于計算機處理。在許多控制系統(tǒng)中,包括直流和交流電源系統(tǒng),采用了脈沖寬度調(diào)制(衛(wèi)WM方式?？捎糜谟嬎銠C和重要負荷的UPS(不停

4、電供電電源,采用PWM ,除對輸出電壓進行調(diào)節(jié)外,還可通過合理選擇每周期脈沖數(shù),消除指定的高次諧波,并可加快系統(tǒng)的動態(tài)響應速度。在對DC 一Dc 變換器等只具有正脈沖調(diào)制的系統(tǒng)分析中,如滿足一定條件,則可運用狀態(tài)空間平均值法。對交變的PWM 系統(tǒng),每周期系統(tǒng)狀態(tài)變化較大,有的變量正負值交替變化,因而不能運用平均值法分析,故采用狀態(tài)空間分析方法。PWM 系統(tǒng)通常均含開關器件,不同的脈沖間隔對應于開關器件的不同狀態(tài),即器件的導通或開斷。開關狀態(tài)的變化引起系統(tǒng)結構或參數(shù)的變化,則描述系統(tǒng)運動過程的狀態(tài)方程也相應改變。設輸出脈沖波形如圖1所示,每周期有k 個脈沖,正負脈沖數(shù)各一半,且設每個脈沖前沿可調(diào)

5、,其時刻記為j t ,j=l ,3,5,2k 一1,為奇數(shù);脈沖后沿固定,記為l t ,l=2,4,2k ,為偶數(shù)。記在時間1-h h t t -內(nèi)狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A ,輸入矩陣B 和輸出矩陣C 分別記為,h h h C B A h=1,2,2k 。則系統(tǒng)在各脈沖間隔內(nèi)的狀態(tài)方程為: h h h 1-h h t t t y B X A X X C U +=, 由于一周期T 內(nèi)各脈沖寬度相等;記為n D 。兩個脈沖間隔為KT 。則零電平寬度為n n D K T H -=。對各區(qū)間引入邏輯變量(t d i 。 (t d -1t d i i =則描述多脈沖系統(tǒng)的多組狀態(tài)方程式可寫成如下一個完整的表

6、達式:(t U t B t X t A X t X t C y +=t t式中(=-=-=-+=+=+=ki ii i i k i i i i i k i ii i i C t d C t d t C B t d B t d t B A t d A t d t A 1212'1212'1212'分析對上式有以下結論:(l、多脈沖調(diào)制系統(tǒng)為時變系統(tǒng),其狀態(tài)方程具有時變系數(shù)A(t,B(t,C(t。(2、如果const D n =,系統(tǒng)處于定寬穩(wěn)定工作狀態(tài),即在無擾動情況下,PWM 系統(tǒng)為周期時變的線性系統(tǒng),其周期為T ,即有(T t A t A +=,(T t B t B

7、+=, (T t C t C +=(3、在擾動及控制作用下,(t B t A H D ,n n 為系統(tǒng)狀態(tài)與激勵的函數(shù),此時系統(tǒng)為時變非線性的。當系統(tǒng)存在擾動作用時,設(D K T H n D D U U d U -=+=+=,t t n 有(=- +-+-n,(,sgn(0D T k i n D T k i n t D Dn t d i ,其它 式中(-+=101sgn z 如果000=z z z系統(tǒng)狀態(tài)變量在擾動作用下變化為:(t Xt X X +=t 在無擾動作用時則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程為: (=-=-+=k i i i i k i i i iX B t d B t d A t d A t d

8、 12i 12'12i 12'U x 由于所選狀態(tài)量在逆變器改變工作量較大。由于所選狀態(tài)變量在逆變器改變工作狀態(tài)時均為連續(xù)的,故采用遞推方法求解。狀態(tài)方程組采用定步長四階龍格一庫格法求解,步長h=0.0004s ,計算換向過程的步長改為h=0.00001s 通過計算機進行求解。多脈沖寬度調(diào)制系統(tǒng)由于其內(nèi)部非線性開關器件狀態(tài)的變化,使其電路結構或參數(shù)也發(fā)生相應變化,因而描述系統(tǒng)運動過程需用多組狀態(tài)方程,即為非線性時變系統(tǒng)。在引入一些反映系統(tǒng)工作特點的變量后,通過給出完整的系統(tǒng)狀態(tài)方程式和當存在擾動系統(tǒng)進行PWM 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)方程,并求出了穩(wěn)態(tài)解。用這些方程可對系統(tǒng)進行計算機

9、輔助分析。這種方法還可用于系統(tǒng)的CAD ,例 如改變?yōu)V波器的結構或參數(shù),通過計算對各種方案進行比較,從中擇優(yōu)。2。2狀態(tài)空間分析法在化工系統(tǒng)中的應用狀態(tài)空間分析法不僅適用于多變量、非線性的系統(tǒng),而且可以用于系統(tǒng)預測,能從一定深度上揭示系統(tǒng)運動的規(guī)律和機制,較全面地反映系統(tǒng)各種因素和變量之間的相互聯(lián)系?；み^程通常是多變量、非線性的,將過程多個變量反映到一個多維狀態(tài)數(shù)據(jù)空間里,采用狀態(tài)空間方法分析可以更全面、直觀和有效地描述過程狀態(tài)的變化。多變量分析方法中的主成分分析PCA(Principle Component Analysis是目前常用的方法。獨立成分分析ICA(Independent Co

10、mponent Analysis是近幾年在PCA 基礎上發(fā)展起來的一種新方法,分解出的各分量之間相互獨立的特點,使ICA 在信號處理領域,尤其是盲源信號分離(Blind Source Separation方面受到廣泛的關注?；み^程的狀態(tài)空間是確定的,可以通過過程的性質作出確定地判斷。通過ICA 算法從狀態(tài)空間中計算出對應的獨立分量,實現(xiàn)了過程狀態(tài)空間確定。通過仿真,證實了這種狀態(tài)空間確定方法的合理性。2。2。1多變量化工過程的狀態(tài)空間表征系統(tǒng)運動的信息稱為系統(tǒng)狀態(tài)(States,確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立(數(shù)目最少的變量稱為狀態(tài)變量。如果狀態(tài)變量有n 個,一般記為X1,X2,Xn 。把描述系統(tǒng)狀

11、態(tài)的狀態(tài)向量看作向量X 的分量,則稱X 為n 維狀態(tài)向量,記為T n 21X X ,X X ,時間總是獨立的,在狀態(tài)空間中獨占一維,給定t=t0時初始狀態(tài)向量X(t0及t t0的輸入向量,則t t0的系統(tǒng)狀態(tài)可由狀態(tài)向量X(t唯一確定。如果用函數(shù)進行表示,則:State=f(符合基本單位變量的集。下面分別對各子集中所包含的變量進行枚舉:時間是統(tǒng)一的,t 集合中元素個數(shù)等于1。M 和N 是有關體系物料組成的變量,在過程中如果總共存在k 種物質,那么可以對應于i 個獨立組成成份。物質的質量和量(摩爾數(shù)存在線性相關,可以用系統(tǒng)所包含的原子數(shù)乘原子量(常數(shù)得到質量,所以,M 和N 的交集中元素的數(shù)目為

12、i 。按照集中參數(shù)考慮系統(tǒng),那么溫度在均勻流股中是一致的,用一個變量表示,T 集合中的元素個數(shù)等于1。在L 集中,用長度描述三維幾何空間,空間中所有變量,都可以表示為不大于3個長度變量的線性組合,所以L 集的元素個數(shù)不大于3,其個數(shù)用j 表示。在上述集合之間不存在交集,因此作為上述集合的并集,系統(tǒng)中具有基本單位變量的集合中,元素的個數(shù)等于各子集的元素數(shù)量之和。通過以上推論,得到結論:描述一個正常運行的化工過程,按照集中參數(shù)進行考慮,用來描述其狀態(tài)的獨立變量數(shù)目DN=2+i+j 式中i 表示系統(tǒng)中獨立組分的數(shù)量,i 1;j 表示需要考慮的三維幾何空間的維數(shù),j 3。如果用時間序列對系統(tǒng)進行描述,

13、時間序列的數(shù)目SLN=1+i+j 。根據(jù)Duhem 定律,考慮的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為,流股按照線性描述,依據(jù)本文所述結論:1+1+i=i+2。結論是一致的。確定了空間維數(shù),可以找出和維數(shù)對應的實際存在的或者概念上定義的最小變量組作為狀態(tài)變量對系統(tǒng)進行描述,同時選擇有效信息損失最少和更符合過程機理特征的算法來表征系統(tǒng)特性。在一定的鄰域內(nèi),非線性化工過程可以按照線性系統(tǒng)描述以簡化問題的難度。按照線性狀態(tài)空間,確定的空間內(nèi)的變換不會增加空間維數(shù)。多變量分析方法的樣本存在于狀態(tài)空間中或通過狀態(tài)輸出方程來表達。采用多變量統(tǒng)計的方法在數(shù)據(jù)空間內(nèi)進行變換,可以實現(xiàn)變量去相關和特征提取,從而獲得不相關的變量組。對

14、于線性系統(tǒng),多變量線性統(tǒng)計方法的不相關分量數(shù)目等于系統(tǒng)狀態(tài)變量數(shù)目,得到的不相關分量是狀態(tài)空間坐標變換后的一組狀態(tài)變量;對于非線性的線性近似,當指定了最小變量數(shù)目后,通過多變量統(tǒng)計方法獲得的變量組也可以被認為是線性近似的狀態(tài)變量的線性變換。狀態(tài)空間可以通過多變量統(tǒng)計來近似確定。2。2。2。1主成分分析主成分分析是應用最廣的多變量統(tǒng)計方法,該方法在數(shù)據(jù)空間內(nèi)尋找原始數(shù)據(jù)樣本的離差最大方向,通過去相關確定一個正交坐標系,按照離差降低順序,選取其中主要的幾個向量(主成分或主元,省略樣本分布密度低的向量完成數(shù)據(jù)降維。Karhunen-Loeve 變換(KL 變換是線性主成分分析的空間變換方法。KL 變

15、換的原理如下:設X 是經(jīng)標準化的含m 個變量n 個樣本的樣本集,矩陣X 可以分解為m 個向量的外積之和。 即 式中T 稱為得分(Score矩陣。P 稱為負荷(Load-ing矩陣,即多維空間內(nèi)的正交坐標系,其中j T i p p = 0(i j,j Ti p p =1( i=j。 式中是P 的特征值數(shù)組。主成分Tj 對系統(tǒng)信息貢獻率: 從統(tǒng)計學觀點,累計主成分貢獻率大于80%,可認為能夠基本反映系統(tǒng)信息。分量貢獻率是目前多。變量分析方法判斷能否正確反映系統(tǒng)的一個重要標準。KL 變換是線性的,非線性狀態(tài)可以用線性方法近似描述。以下算例通過分量貢獻率來說明多變量統(tǒng)計方法描述的近似程度。構造矩陣X1

16、,X2,X3:構造的坐標系是正交的。ICA 不僅實現(xiàn)了去相關(二階統(tǒng)計獨立，而且要求各高 階統(tǒng)計量獨立，尋找一個線性但不一定正交的坐標系來表示多維數(shù)據(jù)。 下圖顯示了兩種分析方法的分量確定情況。 在前面的分析中可以看出， 過程的最小獨立變量數(shù)目是確定的，系統(tǒng)的變化 是由過程狀態(tài)變量的變化引起的。對過程進行 ICA 計算，指定獨立信源的數(shù)目， 將過程獨立變量求解變成盲源信號分離問題，那么，所得到的獨立分量可以作為 狀態(tài)空間描述的一組狀態(tài)分量。通過 ICA 方法對一個確定的化工過程進行計算， 分離出了狀態(tài)空間中的確定的狀態(tài)概念分量。 通過對一個典型化工反應流程進行仿真計算， 多變量分析確定的狀態(tài)空間和 化工機理分析結果是一致的。ICA 是一種有效的狀態(tài)空間分析方法，和 PCA 方 法不同，ICA 可以獲得具有明確解釋的獨立分量。對于確定的狀態(tài)空間，獲取的 分量是確定的，并保持相對穩(wěn)定。當分量數(shù)目和狀態(tài)空間維數(shù)一致時，ICA 分量 的解釋和狀態(tài)