概率完全解析

1、考綱導(dǎo)讀概率（一）事件與概率1了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別。2了解互斥事件、對(duì)立事件的意義及其運(yùn)算公式.（二）古典概型1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。（三）隨機(jī)數(shù)與幾何概型1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.2.了解幾何概型的意義.概率隨機(jī)事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率相互獨(dú)立事件的概率應(yīng)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)高考導(dǎo)航概率則是概率論入門，目前的概率知識(shí)只是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計(jì)打好基礎(chǔ)，做好鋪墊學(xué)習(xí)中要注意基本概念的理解，要注意與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，要通過(guò)一些典型問(wèn)題的分析，總結(jié)

2、運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的思維規(guī)律縱觀近幾年高考，概率的內(nèi)容在選擇、填空解答題中都很有可能出現(xiàn)。第1課時(shí) 隨機(jī)事件的概率基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1隨機(jī)事件及其概率(1) 必然事件：在一定的條件下必然發(fā)生的事件叫做必然事件(2) 不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件叫做不可能事件(3) 隨機(jī)事件：在一定的條件下，也可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件(4) 隨機(jī)事件的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作(5) 概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，它的取值范圍是，必然事件的概率是1，不可能

3、事件的概率是02等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件(2) 等可能性事件的概率：如果一次試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率是如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率：典型例題例11) 一個(gè)盒子裝有5個(gè)白球3個(gè)黑球，這些球除顏色外，完全相同，從中任意取出兩個(gè)球，求取出的兩個(gè)球都是白球的概率；(2) 箱中有某種產(chǎn)品a個(gè)正品，b個(gè)次品，現(xiàn)有放回地從箱中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）A B C D(3) 某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程，從

4、班級(jí)中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是多少？解：（1）從袋內(nèi)8個(gè)球中任取兩個(gè)球共有種不同結(jié)果，從5個(gè)白球中取出2個(gè)白球有種不同結(jié)果，則取出的兩球都是白球的概率為（2） （3）變式訓(xùn)練1. 盒中有1個(gè)黑球9個(gè)白球，它們除顏色不同外，其它沒(méi)什么差別，現(xiàn)由10人依次摸出1個(gè)球，高第1人摸出的是黑球的概率為P1，第10人摸出是黑球的概率為P10，則（ ）ABCP100DP10P1解：D例2. 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球，兩甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球.(1) 若n3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；(2) 若取到4個(gè)球中至少有2個(gè)

5、紅球的概率為，求n.解：（1）記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件.（2）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件B1，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件B2，由題意，得所以，化簡(jiǎn)，得7n211n60，解得n2，或（舍去），故n2.變式訓(xùn)練2：在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于（ ）ABCD解：A例3. 袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球取出的可能性都相等，用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：(1) 取出3個(gè)小球上的數(shù)字互不相

6、同的概率；(2) 計(jì)分介于20分到40分之間的概率.解：（1）“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則（2）“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)P(“3”或“4”)P(“3”)P(“4”)變式訓(xùn)練3：從數(shù)字1，2，3，4，5中任取3個(gè)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，計(jì)算： 這個(gè)三位數(shù)字是5的倍數(shù)的概率；這個(gè)三位數(shù)是奇數(shù)的概率；這個(gè)三位數(shù)大于400的概率.解： 例4. 在一次口試中，要從20道題中隨機(jī)抽出6道題進(jìn)行回答，答對(duì)了其中的5道就獲得優(yōu)秀，答對(duì)其中的4道就可獲得及格某考生會(huì)回答20道題中的8道題，試求：（1）他獲得優(yōu)秀的概率是多少？（2）他獲得及格

7、與及格以上的概率有多大？解：從20道題中隨機(jī)抽出6道題的結(jié)果數(shù)，即是從20個(gè)元素中任取6個(gè)元素的組合數(shù)由于是隨機(jī)抽取，故這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等(1)記“他答對(duì)5道題”為事件，由分析過(guò)程已知在這種結(jié)果中，他答對(duì)5題的結(jié)果有種，故事件的概率為(2)記“他至少答對(duì)4道題”為事件，由分析知他答對(duì)4道題的可能結(jié)果為種，故事件的概率為：答：他獲得優(yōu)秀的概率為，獲得及格以上的概率為變式訓(xùn)練4：有5個(gè)指定的席位，坐在這5個(gè)席位上的人都不知道指定的號(hào)碼，當(dāng)這5個(gè)人隨機(jī)地在這5個(gè)席位上就坐時(shí).(1) 求5個(gè)人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；(2) 若在這5個(gè)人侍在指定位置上的概率不小于，則至多有幾個(gè)人坐在自

8、己指定的席位上？解：（1）（2）由于3人坐在指定位置的概率<，故可考慮2人坐在指定位置上的概率，設(shè)5人中有2人坐在指定位置上為事件B，則，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，則要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合題中條件時(shí)，至多2人坐在指定席位上 小結(jié)歸納1實(shí)際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及隨機(jī)事件隨機(jī)事件在現(xiàn)實(shí)世界中是廣泛存在的在一次試驗(yàn)中，事件是否發(fā)生雖然帶有偶然性，當(dāng)在大量重復(fù)試驗(yàn)下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就叫做這個(gè)事件的概率2如果一次試驗(yàn)中共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那

9、么事件A的概率從集合的角度看，一次試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的所有結(jié)果組成一個(gè)集合I，其中事件A包含的結(jié)果組成I的一個(gè)子集A，因此從排列、組合的角度看，m、n實(shí)際上是某些事件的排列數(shù)或組合數(shù)因此這種“古典概率”的問(wèn)題，幾乎使有關(guān)排列組合的計(jì)算與概率的計(jì)算成為一回事3利用等可能性的概率公式，關(guān)鍵在于尋找基本事件數(shù)和有利事件數(shù)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第2課時(shí) 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率1 的兩個(gè)事件叫做互斥事件2 的互斥事件叫做對(duì)立事件3從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此 事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集4由于集合是可以進(jìn)行運(yùn)算的，故可用集

10、合表示的事件也能進(jìn)行某些運(yùn)算設(shè)A、B是兩個(gè)事件，那么A+B表示這樣一個(gè)事件：在同一試驗(yàn)中，A或B中 就表示A+B發(fā)生我們稱事件A+B為事件A、B的和它可以推廣如下：“”表示這樣一個(gè)事件，在同一試驗(yàn)中，中 即表示發(fā)生，事實(shí)上，也只有其中的某一個(gè)會(huì)發(fā)生5如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于 即P(A+B) 6.由于是一個(gè)必然事件，再加上，故，于是 ，這個(gè)公式很有用，?？墒垢怕实挠?jì)算得到簡(jiǎn)化當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)化去求其對(duì)立事件的概率典型例題例1. 某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21, 0.23, 0.25, 0.28，計(jì)算這個(gè)射手

11、在一次射擊中：射中10環(huán)或7環(huán)的概率；不夠7環(huán)的概率.解： 0.49； 0.03變式訓(xùn)練1. 一個(gè)口袋內(nèi)有9張大小相同的票，其號(hào)數(shù)分別是1，2，3，9，從中任取2張，其號(hào)數(shù)至少有1個(gè)為偶數(shù)的概率等于（ ）AB C D解：D例2. 袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是紅球的概率（2）3只顏色全相同的概率（3）3只顏色不全相同的概率（4）3只顏色全不相同的概率解：(1)記“3只全是紅球”為事件A從袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共會(huì)出現(xiàn)種等可能的結(jié)果，其中3只全是紅球的結(jié)果只有一種，故事件A的概率為(2) “3只顏色全相同”只可能是這樣三種情

12、況：“3只全是紅球”(事件A)；“3只全是黃球”(設(shè)為事件B)；“3只全是白球”(設(shè)為事件C)故“3只顏色全相同”這個(gè)事件為A+B+C，由于事件A、B、C不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事件再由于紅、黃、白球個(gè)數(shù)一樣，故不難得，故(3) 3只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以兩只同紅色或同黃色或同白色等等；或三只球顏色全不相同等考慮起來(lái)比較麻煩，現(xiàn)在記“3只顏色不全相同”為事件D，則事件為“3只顏色全相同”，顯然事件D與是對(duì)立事件(4) 要使3只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到紅、黃、白各一只的可能結(jié)果有種，故3只顏色全不相同的概率為變式

13、訓(xùn)練2. 從裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是 （ ）A至少有1個(gè)黑球與都是黑球B至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球C恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球D至少有1個(gè)黑球與都是紅球解：C例3. 設(shè)人的某一特征（如眼睛大?。┦怯伤囊粚?duì)基因所決定的，以d表示顯性基因，r表示隱性基因，則具有dd基因的人為純顯性，具有rr基因的人是純隱性，具有rd基因的人為混合性，純顯性與混合性的人都顯露顯性基因決定的一某一特征，孩子從父母身上各得到一個(gè)基因，假定父母都是混合性，問(wèn)：1個(gè)孩子有顯性決定特征的概率是多少？2個(gè)孩子至少有一個(gè)顯性決定特征的概率是多少？解：；變式訓(xùn)練3. 盒中有6只燈泡，其

14、中2只是次品，4只是正品，從其中任取兩只，試求下列事件的概率： 取到兩只都是次品； 取到兩只中正品、次品各1只； 取到兩只中至少有1只正品解： 例4. 從男女學(xué)生共36名的班級(jí)中，任意選出2名委員，任何人都有同樣的當(dāng)選機(jī)會(huì)，如果選得同性委員的概率等于，求男女相差幾名？解: 設(shè)男生有名，則女生有36-名，選得2名委員都是男生的概率為：選得2名委員都是女生的概率為以上兩種選法是互斥的，又選得同性委員的概率是得：解得：或即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名總之，男、女生相差6名變式訓(xùn)練4. 學(xué)校某班學(xué)習(xí)小組共10小，有男生若干人，女生若干人，現(xiàn)要選出3人去參加某項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)，已

15、知至少有一名女生去的概率為，求該小組男生的人數(shù)？解：6人小結(jié)歸納1互斥事件概率的加法公式、對(duì)立事件概率的加法公式，都必須在各個(gè)事件彼此互斥的前提下使用2要搞清兩個(gè)重要公式：的運(yùn)用前提3在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的對(duì)立事件的概率第3課時(shí) 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率 ，這樣的兩個(gè)事件叫獨(dú)立事件2設(shè)A，B是兩個(gè)事件，則A·B表示這樣一個(gè)事件：它的發(fā)生，表示事件A，B ，類似地可以定義事件A1·A2·An.3兩個(gè)相互獨(dú)立事件A，

16、B同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B) 一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么：P(A1·A2An) .4n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率是典型例題例1. 如圖所示，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)、，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有1個(gè)正常工作時(shí)系統(tǒng)正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.8、0.9、0.9，分別求系統(tǒng)、正常工作時(shí)的概率解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件()因?yàn)槭录?/p>

17、A、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)正常工作的概率 故系統(tǒng)正常工作的概率為0.648.()系統(tǒng)正常工作的概率 故系統(tǒng)正常工作的概率為0.792變式訓(xùn)練1. 有甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲地的合格率為90%，乙地的合格率為92%，從兩地生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于（ ）A112% B9.2% C82.8% D0.8%解：C例2. 箱內(nèi)有大小相同的20個(gè)紅球，80個(gè)黑球，從中任意取出1個(gè)，記錄它的顏色后再放回箱內(nèi)，進(jìn)行攪拌后再任意取出1個(gè)，記錄它的顏色后又放回，假設(shè)三次都是這樣抽取，試回答下列問(wèn)題：求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球”的概率；求事件B：“三次

18、中恰有一次取出紅球”的概率.解：（ ； 變式訓(xùn)練2：從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出1 個(gè)紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個(gè)球，則等于 （ ）A2個(gè)球不都是紅球的概率B2個(gè)球都是紅球的概率C至少有1個(gè)紅球的概率D2個(gè)球中恰好有1個(gè)紅球的概率解：C例3. 兩臺(tái)雷達(dá)獨(dú)立工作，在一段時(shí)間內(nèi)，甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率是0.9，乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率是0.85，計(jì)算在這一段時(shí)間內(nèi)，下列各事件的概率：（1）甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；（2）至少有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；（3）至多有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)解：0.015; 0.985; 0.235變式訓(xùn)練3：甲、乙、丙三人分別獨(dú)立解一道題，甲做對(duì)的概率為，甲、乙、丙

19、三人都做對(duì)的概率是，甲、乙、丙三人全做錯(cuò)的概率是（1）求乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這一道題的概率解： ,或,；例4. 有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有兩件不合格的概率（精確到0.01）解:設(shè)三種產(chǎn)品各取一件，抽到的合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C()因?yàn)槭录嗀、B、C相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為 答：恰有一件不合格的概率為0.176.()解法一：至少有兩件不合格的概率為答：至少有兩件不合格的概率為0.012.解法二：三件都合格的概率為：由()可知恰好有一件不合格的概率為0.176，所以至少有兩件不合格的概

20、率為答：至少有兩件不合格的概率為0.012.變式訓(xùn)練4. 甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.小結(jié)歸納解：,；1當(dāng)且僅當(dāng)事件與事件互相獨(dú)立時(shí)，才有 ，故首先要搞清兩個(gè)事件的獨(dú)立性2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在概率論中占有相當(dāng)重要地地位，這種試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，我們主要研究在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率：，

21、其中P是1 次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率，其實(shí)正好是二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)，很自然地聯(lián)想起二項(xiàng)式定理第4課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的分布列基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做 ，隨機(jī)變量通常用希臘字母，等表示2如果隨機(jī)變量可能取的值 ，那么這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量3從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，P(xk)Pk，k1， 2， ，n，稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)或概率分布，這個(gè)函數(shù)可以用 表示，這個(gè) 叫做離散型隨機(jī)變量的分布列4離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1) 所有變量對(duì)應(yīng)的概率值（函數(shù)值）均為非負(fù)數(shù)，即 (2) 所有這些概率值的總和為 即 (3) 根據(jù)互斥事件的概率公式，

22、離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的 5二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率 ，有了這個(gè)函數(shù)，就能寫(xiě)出它的分布列，由于是二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，所以稱這個(gè)分布為二項(xiàng)分布列，記作典型例題例1. 袋子中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球 每次取1個(gè)球，不放回，直到取到白球?yàn)橹骨笕∏虼螖?shù)的分布列 每次取1個(gè)球，放回，直到取到白球?yàn)橹骨笕∏虼螖?shù)的分布列 每次取1個(gè)球，放回，直到取到白球?yàn)橹?，但抽取次?shù)不超過(guò)5次求取球次數(shù)的分布列 每次取1個(gè)球，放回，共取5次求取到白球次數(shù)的分布列解： 所求的分布列是123每次取到白球的概率是，不取到

23、白球的概率是，所求的分布列是123P12345P P(k)C5k()k·()5k，其中所求的分布列是012345P變式訓(xùn)練1. 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為-101則q （ ）A1BCD解：D例2. 一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼，求的分布列解：隨機(jī)變量的取值為3，4，5，6從袋中隨機(jī)地取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件包含的基本事件總數(shù)為；從而有隨機(jī)變量的分布列為：3456變式訓(xùn)練2：現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占

24、30%，從中任取2粒，記為2粒中優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是 . 解：012P0.490.420.09例3. 一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時(shí)刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒(méi)有影響，假設(shè)該時(shí)刻有部電話占線，試求隨機(jī)變量的概率分布. 解：012340.090.30.370.20.04變式訓(xùn)練3：將編號(hào)為1，2，3，4的賀卡隨意地送給編號(hào)為一，二，三，四的四個(gè)教師，要求每個(gè)教師都得到一張賀卡，記編號(hào)與賀卡相同的教師的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布. 解：0124P小結(jié)歸納1本節(jié)綜合性強(qiáng)，涉及的概念、公式較多，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確理解

25、這些概念、公式的本質(zhì)內(nèi)涵，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系例如，若獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種（即與，是必然事件），在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率就是二項(xiàng)式展開(kāi)式中的第項(xiàng)，故此公式稱為二項(xiàng)分布公式；又如兩事件的概率均不為0，1時(shí)，“若互斥，則一定不相互獨(dú)立”、“若相互獨(dú)立，則一定不互斥”等體現(xiàn)了不同概念、公式之間的內(nèi)在聯(lián)系2運(yùn)用 P(A·B)P(A)·P(B)等概率公式時(shí)，應(yīng)特別注意各自成立的前提條件，切勿混淆不清例如，當(dāng)為相互獨(dú)立事件時(shí)，運(yùn)用公式便錯(cuò)3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在同樣條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，每次試驗(yàn)都只有兩重結(jié)果（即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生），

26、并且在任何一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率均相等獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例（概率公式也是如此），就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單一樣4解決概率問(wèn)題要注意“三個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：（1）求概率的步驟是：和事件積事件第一步，確定事件性質(zhì)，即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類事件中的某一種第二步，判斷事件的運(yùn)算，即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件第三步，運(yùn)用公式求得等可能事件：互斥事件：P(AB)P(A)P(B)，P(A·B)0 獨(dú)立事件：P(A·B)P(

27、A)·P(B)等 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：（2）概率問(wèn)題常常與排列組合問(wèn)題相結(jié)合第4課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的期望與方差基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1若離散型隨機(jī)變量的分布列為.則稱 為的數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平2對(duì)于隨機(jī)變量，稱 為的方差的算術(shù)平方根 叫做的標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的 3數(shù)學(xué)期望與方差產(chǎn)生的實(shí)際背景與初中平均數(shù)及樣本方差這兩個(gè)概念有關(guān)平均數(shù)：樣本方差：以上兩式中恰是出現(xiàn)的頻率這與數(shù)學(xué)期望與方差的定義式一致4數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)：若（為隨機(jī)變量），則 ， 典型例題5服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望與方差：若, 則例1 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講

28、比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)求的分布列；求的數(shù)學(xué)期望；求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率.解：012PE1變式訓(xùn)練1：如果袋中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)為取得紅球的次數(shù)，則的期望（ ）ABCD解：B例2 拋擲兩個(gè)骰子,當(dāng)至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,求在30次試驗(yàn)中成功次數(shù)的期望和方差.解:,其中.所以變式訓(xùn)練2：布袋中有大小相同的4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得1分，取到一只黑球得3分，試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望解：例3 甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下表：射手甲 擊中環(huán)數(shù)8910

29、概率0.60.2射手乙擊中環(huán)數(shù)8910概率0.40.4用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平解：甲乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的平均值相等，但射手甲所得環(huán)數(shù)比較集中，射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，射手甲射擊水平較穩(wěn)定變式訓(xùn)練3：某商場(chǎng)根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來(lái)決定節(jié)日是在商場(chǎng)內(nèi)還是在商場(chǎng)外開(kāi)展促銷活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)資料表明，每年五一節(jié)商場(chǎng)內(nèi)的促銷活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益2.5萬(wàn)元，商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)如果不遇到有雨天可獲得經(jīng)濟(jì)效益12萬(wàn)元，如果促銷活動(dòng)遇到有雨天，則帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失5萬(wàn)元，4月30號(hào)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，問(wèn)商場(chǎng)應(yīng)該采取哪種促銷方式？解：采用場(chǎng)外促銷方式例4 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)

30、生的概率為0.3，一旦發(fā)生，可造成400萬(wàn)元的損失，現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后，此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用，聯(lián)合采用或不采用，試確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少（總費(fèi)用采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）.解：聯(lián)合甲、乙，總費(fèi)用最少為81萬(wàn)元變式訓(xùn)練4：假設(shè)1部機(jī)器在1天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，全天停止工作，若1周的5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲得利潤(rùn)10萬(wàn)元，發(fā)生1次故障仍可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生2次故障所獲利潤(rùn)為0；發(fā)生3次或3次以

31、上故障就要虧損2萬(wàn)元，求1周的期望利潤(rùn)是多少？（精確到0.001）.解：用隨機(jī)變量表示1周5天內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)，則服從地一項(xiàng)分布B(5,0.2)，從而，P(2)0.205P(3)0.057設(shè)為所獲得利潤(rùn)，則E10×0.3285×0.4100×0.2052×0.0575.215（萬(wàn)元）小結(jié)歸納1數(shù)學(xué)期望與方差，標(biāo)準(zhǔn)差都是離散型隨機(jī)變量最重要的數(shù)字特征，它們分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平、穩(wěn)定程度、集中與離散的程度離散型隨機(jī)變量的期望與方差都與隨機(jī)變量的分布列緊密相連，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)記住以下重要公式與結(jié)論：一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為則期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)

32、差若，則，這里概率章節(jié)測(cè)試題一、選擇題1已知非空集合A、B滿足AB，給出以下四個(gè)命題：若任取xA，則xB是必然事件若xA，則xB是不可能事件若任取xB，則xA是隨機(jī)事件若xB，則xA是必然事件其中正確的個(gè)數(shù)是( )A、1B、2C、3D、42一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為，則此射手每次射擊命中的概率為（ ）A. B. C. D. 3設(shè)是離散型隨機(jī)變量，且，現(xiàn)已知：，則的值為（ ）(A)(B)(C) (D) 4福娃是北京2008年第29屆奧運(yùn)會(huì)吉祥物，每組福娃都由“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”這五個(gè)福娃組成甲、乙兩位好友分別從同一組福娃中各隨機(jī)選擇一個(gè)福

33、娃留作紀(jì)念，按先甲選再乙選的順序不放回地選擇，則在這兩位好友所選擇的福娃中，“貝貝”和“晶晶”恰好只有一個(gè)被選中的概率為（ ）A B C D 5（漢沽一中20082009屆月考文9）.面積為S的ABC，D是BC的中點(diǎn)，向ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在ABD內(nèi)的概率為 ( )A. B. C. D. 6（漢沽一中20082009屆月考文9）.面積為S的ABC，D是BC的中點(diǎn)，向ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在ABD內(nèi)的概率為 ( )A. B. C. D. 7在圓周上有10個(gè)等分，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，每3個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如果隨機(jī)選擇了3個(gè)點(diǎn)，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是（ ）A. B. C. D. 8已

34、知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車的準(zhǔn)時(shí)到站率為60%，則他在3天乘車中，此班次公共汽車至少有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為（ ）ABCD9甲、乙、丙三位同學(xué)上課后獨(dú)立完成5道自我檢測(cè)題，甲及格概率為，乙及格概率為，丙及格概率為，則三人中至少有一人及格的概率為（ ）AB CD10從集合中隨機(jī)取出6個(gè)不同的數(shù)，在這些選法中，第二小的數(shù)為的概率是A. B. C. D.二、填空題11已知離散型隨機(jī)變量的分布列如右表若，則 ， 12點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為 。136位身高不同的同學(xué)拍照，要求分成兩排，每排3人，則后排每人均比其前排的同學(xué)身材要

35、高的概率是_.14從分別寫(xiě)有的五張卡片中第一次取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再?gòu)闹腥〕鲆粡埧ㄆ?兩次取出的卡片上的數(shù)字和恰好等于4的概率是 .三、解答題15將、兩枚骰子各拋擲一次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，問(wèn)：（1）共有多少種不同的結(jié)果？（2）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？（3）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？16甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，一袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球。規(guī)則如下：若一方摸中紅球，將此球放入袋中，此人繼續(xù)摸球；若一方?jīng)]有摸到紅球，將摸到的球放入袋中，則由對(duì)方摸彩球?，F(xiàn)甲進(jìn)行第一次摸球。(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次紅球的所有情況；（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中兩次紅球的概率；（3

36、）設(shè)是前三次摸球中，甲摸到的紅球的次數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布與期望.17某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從裝有編號(hào)0，1，2，3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5中一等獎(jiǎng)，等于4中二等獎(jiǎng)，等于3中三等獎(jiǎng)（1）求中三等獎(jiǎng)的概率；（2）求中獎(jiǎng)的概率18將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落過(guò)程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)向左、右兩邊下落的概率都是.（1）求小球落入袋中的概率;（2）在容器入口處依次放入4個(gè)小球,記為落入袋中小球的個(gè)數(shù),試求的概率和的數(shù)學(xué)期望.19某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)(最高環(huán)數(shù))的概率.20學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且(1) 求文娛隊(duì)的人數(shù)；(2) 寫(xiě)出的概率分布列并計(jì)算（1）求恰有兩件合格的概率；（2）求至少有兩件不合格的概率。22有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是10%。（1）連續(xù)抽取兩件產(chǎn)品，求兩件產(chǎn)品均為正品的概率；（2）對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽