有限維線性空間的分解

1、畢業(yè)論文題 目 有限維線性空間的分解 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 姓 名 周吉強(qiáng) 專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 20101010646 指導(dǎo)教師 邵海琴 教授 提交日期 2014-5-28 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的科研成果。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名： 年 月 日論文指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日目錄1引言與預(yù)備知識(shí)12有限維線性空間的分解22.1按子空間的直和分解22.2按生

2、成子空間分解32.3按特征子空間分解，即按可對(duì)角化的線性變換分解42.4按根子空間分解，即準(zhǔn)素分解62.5按循環(huán)子空間分解72.6按線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形分解9參考文獻(xiàn). . . .12 有限維線性空間的分解周吉強(qiáng) （天水師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅，天水，741000）摘要 總結(jié)了有限維線性空間按子空間、生成子空間、特征子空間、根子空間、循環(huán)子空間以及線性變換的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形等分解方法，并通過(guò)具體的例子加以說(shuō)明.關(guān)鍵詞 線性空間;直和分解；子空間；生成子空間；根子空間；循環(huán)子空間；線性變換Decomposition of finite-dimensional linear spaceJiqi

3、ang Zhou(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000)Abstract In this paper, we summary decomposition methods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space, - cyclic subspace and standard from of transformat

4、ion, we explain for the six decomposition methods by concrete examples.Keywords Linear space, straight and decomposition, subspace, generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation 有限維線性空間的分解1引言與預(yù)備知識(shí)線性空間是線性代數(shù)中的重要知識(shí)點(diǎn)，線性空間也是線性代數(shù)中最為抽象的概念.子空間的和，尤其是直和雖然概念抽象，證明困難，但仍然有規(guī)律可循.只要掌握了方法，便能

5、得心應(yīng)手.定義1.1 設(shè)與是有限維線性空間的兩個(gè)子空間，如果與的和中每個(gè)元素的分解式是惟一的，則稱這個(gè)和為直和.定義1.2 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，,為的一組基.在該基下的矩陣為，則有設(shè)是的特征值，令 則是的子空間，且稱其為的屬于特征值 的特征子空間.定義1.3 設(shè)線性變換的特征多項(xiàng)式為，它可以分解成一次因式的乘積則可分解成不變子空間的直和，其中 稱為屬于的根子空間.定理1.1設(shè)是有限維線性空間的兩個(gè)子空間,那么下列命題等價(jià)(1);(2)零向量的分解式是惟一的；(3);(4).定理1.2 復(fù)數(shù)域上有限維線性空間的每一個(gè)線性變換都有標(biāo)準(zhǔn)形，并且這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外，是被線性

6、變換唯一決定的.線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形的求法具體如下：(1)首先用初等變換化特征矩陣為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是的全部初等因子.(2)每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)若而當(dāng)塊. (3)就是的標(biāo)準(zhǔn)形.2有限維線性空間的分解2.1按子空間的直和分解在判定兩個(gè)子空間的和是直和是應(yīng)熟練應(yīng)用直和的等價(jià)條件，其中最常用的是與.如果要證明線性空間可以分解成子空間的直和時(shí)，先任取,證明，,則有;再任取,證，則有.于是.例2.1.1已知的兩個(gè)子空間，證明 .證明 對(duì)任意的，有 ,其中,.容易驗(yàn)證,所以,即有.對(duì)任意的,則,所以,故.

7、2.2按生成子空間分解定義 設(shè)是線性空間中的一組向量，不難看出，這組向量所有的線性組合所成的集合是非空的.而且對(duì)兩種運(yùn)算封閉，因而是的一個(gè)子空間.這個(gè)子空間叫做由生成的子空間，記為.例證明：數(shù)域上任意一個(gè)維線性空間可以表示成個(gè)1維子空間的直和.證明 在線性空間中取一個(gè)基，則由于因此 是直和，于是.2.3按特征子空間分解，即按可對(duì)角化的線性變換分解如果可以寫(xiě)成兩個(gè)非平凡子空間與的直和：,那么任選的一個(gè)基和的一個(gè)基湊成的一個(gè)基.當(dāng)與都在線性變換之下不變時(shí)，關(guān)于這樣選取的矩陣是，其中是一個(gè)階矩陣，它是關(guān)于基的矩陣，是一個(gè)階矩陣，它是關(guān)于基的矩陣.由此可知，矩陣分解為準(zhǔn)對(duì)角形與維線性空間分解為不變子空

8、間的直和是相當(dāng)?shù)?上述的討論說(shuō)明對(duì)于維線性空間的一個(gè)線性變換，如果能將分解成若干個(gè)子空間的直和，則可以適當(dāng)?shù)倪x取的一個(gè)基，使在這個(gè)基下的矩陣有比較簡(jiǎn)單的形狀（準(zhǔn)對(duì)角形）.特別的如果能將分解成若干個(gè)一維子空間的直和，則可以適當(dāng)?shù)倪x取的一個(gè)基，使可以對(duì)角化的充分必要條件是可以分解成若干個(gè)一維子空間的直和.例2.3設(shè)是數(shù)域上的維線性空間的線性變換，使得求的特征子空間.解 取的一個(gè)基，則，同樣有，于是在基下的矩陣為的特征多項(xiàng)式為,特征值為.矩陣的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量是.所以線性變換的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量是，的屬于特征值的特征子空間是，同理可求屬于特征值的特征子空間是.2.4按根子空

9、間分解，即準(zhǔn)素分解定理2.4（空間準(zhǔn)素分解） 設(shè)數(shù)域上線性空間的線性變換的最小多項(xiàng)式為，其中為數(shù)域上的首一不可約多項(xiàng)式，互異，為正整數(shù)，則是A的不變子空間，且;的最小多項(xiàng)式為.注1：上述定理中的特征多項(xiàng)式為 ，則是的特征多項(xiàng)式，且=其中對(duì)某正整數(shù)成立.例2.4考慮4維線性空間中由矩陣決定的線性變換：,任意的直和分解問(wèn)題.其中.此時(shí)，線性變換的特征多項(xiàng)式為. 它在實(shí)數(shù)域上只有特征值 ，.在上不可約.由分解定理可以直接算出 ,，；, ,容易驗(yàn)證，為的一組基. 顯然為的直和.2.5按循環(huán)子空間分解定義設(shè)是維向量空間的一個(gè)線性變換.子空間叫做關(guān)于的一個(gè)循環(huán)子空間，簡(jiǎn)稱循環(huán)子空間.如果存在一個(gè)非零向量和

10、一個(gè)正整數(shù)，使得構(gòu)成的一個(gè)基；.這時(shí)叫做循環(huán)子空間的一個(gè)生成向量，而叫做的一個(gè)循環(huán)基.定理2.5.1設(shè)是維向量空間的一個(gè)冪零線性變換，那么向量空間可分解成循環(huán)子空間的直和，令；我們有.注 定理中循環(huán)子空間維數(shù)序列是唯一確定的.定理 每一個(gè)冪零矩陣都與一個(gè)形如的矩陣相似，這里每一個(gè)是一個(gè)階冪零若爾當(dāng)塊，.由于維向量空間的每一個(gè)冪零線性變換，可以分解成一些循環(huán)子空間的直和.于是在每一個(gè)子空間內(nèi)選取一個(gè)循環(huán)基，湊起來(lái)成為的一個(gè)基，關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀.例設(shè)是維線性空間的一個(gè)冪零線性變換，則在基下的矩陣為求.解 由初等變換把化為對(duì)角矩陣并求出它的初等因子組為，.因此的標(biāo)準(zhǔn)形為.因?yàn)椋氏扔?jì)算.注意到

11、是分塊對(duì)角矩陣，它的次方等于將各對(duì)角塊次方.因此，.2.6按線性變換的標(biāo)準(zhǔn)形分解定理2.6.1設(shè)是維線性空間的一個(gè)線性變換，是的互不相同的特征值，那么存在的一個(gè)基，使得關(guān)于這個(gè)基的矩陣有如下形狀， 這里，而都是屬于的若爾當(dāng)塊，.由于線性變換的一個(gè)基是線性空間的一個(gè)基，它使得在這個(gè)基下的矩陣為形矩陣. 當(dāng)我們已經(jīng)求出的標(biāo)準(zhǔn)形之后，為了求出的一個(gè)基.只要把原來(lái)的基到基的過(guò)渡矩陣求出即可.由于J=，所以是矩陣方程的解并且為可逆矩陣. 如果，則上述方程是含有個(gè)未知量的由個(gè)方程組成的線性方程組，解這個(gè)線性方程組，可求出.選取可逆矩陣（因?yàn)榫€性變換的標(biāo)準(zhǔn)形存在，所以滿足上述方程的可逆矩陣一定存在）便可作為過(guò)渡矩陣P.定理2.6.2設(shè)是復(fù)數(shù)域上維線性空間上的線性變換，是的一個(gè)基，則，其中，例2.6.1設(shè)是復(fù)數(shù)域上線性空間的線性變換，是線性空間的一個(gè)基，在這組基下的矩陣為=求線性空間的一個(gè)直和分解.解 由預(yù)備知識(shí)中的定理1.2可知 的標(biāo)準(zhǔn)形為，故的一個(gè)基為：,.由上述推論，令,則 .參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高