四邊形中旋轉(zhuǎn)、折疊問題

1、BD交于點(diǎn)0。直線EF過點(diǎn)四邊形中的旋轉(zhuǎn)、折疊問題例題：如圖，在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)邊長(zhǎng)0g9的矩形紙片ABCO將紙片翻折后，點(diǎn) B恰好落在x軸上，記為B',折痕為 CE已知tan / OB C= 3 .4(1)求B'點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求折痕CE所在直線的解析式.例題：(1)如圖，IqABCD的對(duì)角線 AG0,分另1J交 AR BC于點(diǎn)E、F求證：AE=CF(2)如圖，將 口 ABCD(紙片)沿過又捫I線交點(diǎn) 0的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)Ai處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處。設(shè)FB交CD于點(diǎn)G, AB分別交CD DE于點(diǎn)H I。求證：EI=FG。C例題：(2012眥州)如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為

2、4的正方形紙片 ABCD點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接 BP、BH.(1)求證：/ APB4 BPH(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)， PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化并證明你的結(jié)論；(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP勺面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問 S是否存在最小值若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2012TW寧）如圖，已知矩形紙片ABCD AD=2 AB=4.將紙片折疊，使頂點(diǎn) A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB, C法于點(diǎn) G F,AE與FG交于點(diǎn)O.（1）如圖1,求證：A

3、, G, E, F四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2,當(dāng)4AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn) N是線段BC的中點(diǎn);（3）如圖2,在（2）的條件下，求折痕 FG的長(zhǎng).0rZ?r圖1圖2解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE/AGFW EGF,. DC/ AB,EFGW AGFEFGW EGFEF=EG=A G，四邊形 AGE亂平行四邊形（EF/ AG EF=AG,又. AG=G E，四邊形AGEF菱形.(2)連接ONG S圖2AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)。是AE的中點(diǎn)， AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N, .ONL BG 點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，二ON是梯形ABCE的中位線，.，點(diǎn)N是線

4、段BC的中點(diǎn).(3)作 OM_ AD享圖2設(shè) DE=x,貝U MO=x, 2在矩形 ABC邛,/ C=Z D=90 , 故AE為 AED的外接圓的直徑.延長(zhǎng)MO BC于點(diǎn)N,貝U ON/ CD 四邊形MNC諼矩形，MN=CD=4 .ON=MN MO=4 二x, 2 AED的外接圓與 BC相切， . ON是 AED的外接圓的半徑, .OE=ON=4 4-x, AE=8- x,2在 RtAED中， ad+dE=aE得 x=DE=1, OE=4 _1x=H, 42 8. FES MED,-1=" -=,DE AD解得：FO=i,15 . FG=2FO=15故折痕FG的長(zhǎng)是逛.15對(duì)應(yīng)練習(xí)1

5、. （2012?泰安）如圖，在矩形ABCD43, AB=2, BC=4,對(duì)角線 AC的垂直平分線分別交 AR AC于點(diǎn)E、0,連接CE,則CE的長(zhǎng)為（第17題2. （2012?泰安）如圖，菱形OABC勺頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，ZB=120° , 0A=2將菱形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 105。至OA B' C'的位置，則點(diǎn) B'的坐標(biāo)為（3. （2012?泰安）如圖，將矩形紙片 ABCDgEF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，若AB=2, BC=3則4FCB與AB' DG的面積之比為（4. 如圖，矩形ABC沖，E是AD的中點(diǎn)，將AABEg BE折

6、疊后得到 GBE延長(zhǎng)B僅 CD于F點(diǎn)，若Cf=1, FD=2,則BC的長(zhǎng)為5.矩形紙片ABCD勺邊長(zhǎng)AB=4, AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為（）（試題82頁(yè)）6 . （2010山東濰坊）如圖，直角梯形 ABC時(shí)，AEJ±BQ AD/ BQ B6AD, AA2, AB= 4,點(diǎn) E在AB上，將CBE& CE翻折，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則/ BCE的正切值是. （89頁(yè)）7 .梯形中的對(duì)角線（88頁(yè)）8.1. 圖，將正方形對(duì)折后展開（圖是連續(xù)兩次對(duì)折后再展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)直角三角形，且它的一條直角邊

7、等于斜邊的一半.這樣的圖形有【(A)4 個(gè)(B)3 個(gè)(C)2 個(gè)(D)1 個(gè)9如圖所示，把一長(zhǎng)方形紙片沿MNUf疊后，點(diǎn)D, C分別落在D' , C'的位置.若/ AMD =36則/ NM序于(A) 144°(B) 126°(C) 108°(D) 7210. 一副三角板按圖1所示的位置擺放.將 DEF繞點(diǎn)A （F）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后（圖2）,測(cè)得CG10cm,則兩個(gè)三角形重疊（陰影）部分的面 2（A） 75cm（B） （25 25 3） cm2BA (F)Ba(F)-25_2(C) (2525 .3)cm23 50-o(D) (25 一

8、3) cm3例題：在正方形 ABCD勺邊AB上任取一點(diǎn) E,彳EF，AB交BD于點(diǎn)F,取FD的中點(diǎn) G 連結(jié)EG CQ如圖（1）,易證 EG=CG且EGL CG.如圖（2）,則線段EGD CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系請(qǐng)直接寫出你的猜想（1）將 BEF繞點(diǎn)B 逆時(shí)針旋 轉(zhuǎn)90°,圖(1)圖圖(3)CG(2分）(2) EG=CG EG± CG(2分）（2）將 BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180° ,如圖（3）,則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系請(qǐng) 寫出你的猜想，并加以證明.證明：延長(zhǎng) FE交DC延長(zhǎng)線于 M連MG / AEM=90 , / EBC=90 , / BCM=90四邊形BEMO矩形.BE=CM / EMC=90又 BE=EFEF=CM / EMC=90 , FG=DGmgW FD=FG BC=EM , BC=CDEM=CD EF=CMFM=DM/ F=45°又 FG=DG工 / CMG