第8講夾半角模型(word版)

1、數(shù)學(xué)故事古典密碼術(shù)大家經(jīng)常見到的藏頭詩實際是一種加密術(shù)，它通過坐標(biāo)變換的方式隱藏了秘密，這個例子雖然很簡單， 但它反映出了加密術(shù)的本質(zhì)一一變換坐標(biāo)系。加密術(shù)最早應(yīng)用于古代戰(zhàn)爭，當(dāng)時是靠士兵隨身攜帶的信件來傳遞情報，但總是免不了被敵方俘虜， 從而使情報落入敵手， 這對作戰(zhàn)部隊而言可是生死悠關(guān)的大事。傳說當(dāng)時的凱撒大帝有一個能加密的辦法，就在寫命令前做一個對應(yīng)表：明碼：ABCD EF. . . . WXYZ密碼：DEFGHI. . . . ZABC如果他想寫B(tài)ABY,就用EDEB來表示。當(dāng)大將收到了 EDEB這個密碼后，向前推 3個字母，就得到了明 文。這個對應(yīng)表的移位數(shù)是3,當(dāng)然別的數(shù)也可以，作

2、戰(zhàn)前由凱撒定好后通知大將們。這種加密方式其實就是把坐標(biāo)系橫移了3格，這種方法非常簡單，但同時也很容易被敵方猜到，敵人從 1到25推25次，得到25組新編碼，必有一種編碼是真實的情報內(nèi)容，把這組編碼區(qū)別出來非常容易，因 為其它24組都是毫無意義的字母組合，只有這一組是有意義的句子，找個識字的人就可以看得出來。凱撒該怎么辦呢？有個聰明人幫他出了個主意，對應(yīng)表不按字母順序?qū)懀歉銈€亂乎的。例如A對Q,B對F,隨便配對，只要保證 26個明密碼對里，每個都出現(xiàn)一次就行了。每次出征前，凱撒都會臨時搞個非常亂乎的明密碼對應(yīng)表，然后發(fā)給大將。這招很不錯，敵人即使截獲了 密文，由于不知道明密碼對應(yīng)表，也很難破

3、譯出來，這其實也是坐標(biāo)系的一種變換，這種方法被后人稱為單表系統(tǒng)很多年過去了，有人發(fā)現(xiàn)了這種加密方法的漏洞，因為英文字母的出現(xiàn)次數(shù)是不同的，例如E出現(xiàn)的次數(shù)最多，甚至可以搞出個頻次表來， 如果一件密文中 R出現(xiàn)的次數(shù)最多，那這個R會不會就是E呢？這個猜 想很合理，即使代表的不是 E,那它代表的也應(yīng)是明文中出現(xiàn)次數(shù)較多的字母。按照這種思路試試吧，MyGod,密碼解開了?，F(xiàn)在又輪到加密方糾結(jié)了，他們想，破解方是在拿明密文中字母出現(xiàn)的頻次做文章，如果我們能把頻次的 區(qū)別消除掉，他們不就沒辦法了嗎？道理雖然很好，但怎樣才能消除這種頻次的差別呢，畢竟明文中字母 的頻次就是不一樣，這本身沒法改變啊。功夫不負(fù)

4、有心人，有一天加密方終于找到了解決問題的關(guān)鍵， 這個關(guān)鍵就是 上維”，這個方法被后人稱為 多 表系統(tǒng)”，就是把明文字母兩個一組的重新排列， 按組去設(shè)置亂碼表。明碼表有：AAAB. . . AZ BABB. . . BZ CACB. . . . ZZ,每組再指定一個兩個字母的密碼對。例如明文 BABY,密文就是分別對應(yīng) BA和BY的 兩組密碼對。這個方法其實就是把一維坐標(biāo)系擴展成了二維。這個多表系統(tǒng)非常有效， 一直到二戰(zhàn)期間還在使用。 當(dāng)時德軍有一種根據(jù)多表系統(tǒng)原理設(shè)計的加密轉(zhuǎn)輪機, 有三個輪子負(fù)責(zé)把輸入的明碼置亂成密碼，英國一直破譯不出來。后來德國為了進(jìn)一步增加保密性，多加 了個輪子，可保密性

5、不僅沒有增加反而下降了，終于被英國解了密。這就好比是洗撲克牌，并不是洗的次 數(shù)越多就越亂乎，你已經(jīng)洗得足夠亂乎了，又洗了一次，這次反而不夠亂乎了。加密的方法越來越巧妙，但隨著計算機的誕生，這些被稱為古典密碼術(shù)的方法全部失效，因為它們根本抵 擋不住計算機的窮舉分析?，F(xiàn)代密碼學(xué)的思路跟古典密碼術(shù)非常不同，它是先找出一個數(shù)學(xué)難題，然后把加密方法歸結(jié)到這個難題上,若解不出這個數(shù)學(xué)難題就破解不了這個密碼。所以現(xiàn)代密碼學(xué)更加引人入勝。第8講夾半角模型模塊一夾半角的模型1知識導(dǎo)航(1) 90度夾45度(2) 120度夾60度(3) 2a夾 &題型一 90度夾45度【例 1】 如圖，在四邊形 ABCD 中，/

6、 BAD = / B=Z C=Z D = 90, AB = BC=CD = AD, E 在 BC 上,F 在 CD 上，且/ EAF = 45,求證：(1) BE+DF=EF (2) /AEB=/AEFD【練】在例1的條件下，若E在CB延長線上，F(xiàn)在DC延長線上，其余條件不變，證明:(1) DF BE=EF / AEB+Z AEF= 180【知識擴充】勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.夾邊角和勾股定理結(jié)合會產(chǎn)生很多有趣的結(jié)論，比如：(1)已知 ABC為等腰三角形，/ ACB=90, M、N是AB上的點，/ MCN=45,求證：AM2+BN2=MN2(2)如圖，在四邊形 ABC

7、D 中，/ BAD = Z B=Z C=Z D=90, AB=BC = CD = AD. F 為 CD 中點，點E在BC上，且/ EAF = 45 ,求證：點 E為線段BC靠近B的三等分點.題型二 120度夾60度【例3】已知如圖，4ABC為等邊三角形，/ BDC = 120, DB = DC, M、N分別是AB、AC上的動點，且 /MDN = 60,求證：MB+CN=MN.A【練】如圖，四邊形 ABCD中，/A=/BCD = 90, Z ADC = 60, AB=BC, E、F分別在 AD、DC延長 線上，且/ EBF= 60,求證：AE=EF + CF.（漢陽區(qū)八上期中）在等邊 ABC的兩

8、邊AB、AC所在直線上分別有兩點 M、N. D為4ABC外一點，且 Z MDN = 60, /BDC = 120, BD = DC.探究：當(dāng) M、N 分別在直線 AB、AC 上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系以及 4AMN的周長Q與等邊4ABC的周長L的關(guān)系.（1）當(dāng)點 M、N在邊AB、AC上，且DM = DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 此時Q =;（不必證明） L（2）當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM為N時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并 加以證明；（3）當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若 AN=2,則Q= （用含有L的式子表示）題型二2 a夾a【

9、例3】如圖，在四邊形 ABDC中，M、N分別為AB、AC上的點，若/ BAC+Z BDC = 180, BD = DC, /MDN= L/BDC,求證：BM+CN=MN.2【練】如圖，在例 3的條件下，若 M、N分別為BA延長線、AC延長線上的點，/ BAC+Z BDC=180,BD = DC, /MDN = 1/BDC,探究：線段 BM、CN、MN的數(shù)量關(guān)系.2模塊二夾半角模型的應(yīng)用【例4】 如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點的坐標(biāo)為（a, 0） , B點的坐標(biāo)為（b , 0）,且a、b滿足D (0, 4) , EBOB于B,且滿足/ EAD=45,試求線段 EB的長度.【例5】點A (a, 0)、

10、B (0, b)分別在x軸、y軸上，且|a b| a2 6a 9 0.(1)求a , b的值(2)如圖1,若線段AB的長為3d2，點C為y軸負(fù)半軸上的一點，且射線CA平分4AOB的外角/ BA x , 求點C的坐標(biāo).(3)如圖2,取點D (0,2)并連接AD,將4AOD煙直線AD折疊得到AADE,過點B作y軸的垂線BF 交射線DE的延長線于F點，連接AF,求BF的長.【例6】(2014年糧道街八上期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A (0, b),點 B (a , 0),點 D(d , 0),且 a、b、d 滿足 da 1|b 3 (2 d)2 0, DEL x 軸且/ BED = /ABD,

11、 BE 交 y 軸于(3)如圖，過P (0, 1)作x軸的平行線，在該平行線上有一點 Q (點Q在點P的右側(cè))使/ QEM =45QE交x軸于點N, ME交y軸的正半軸于點 M,確定AM MQ鉆/古的值.PQ【課后作業(yè)】 夾半角1. ( 2015年洪山區(qū)八中期中)如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的任意一點，以點A為中心，把4ADE順時針旋轉(zhuǎn)90得 AB E1 , / EA E1的平分線交BC邊于點F,求證：4CFE的周長等于正方形 ABCD的周長的一半.2 .如圖4ABC是邊長為3的等邊三角形，4BDC是頂角/ BDC = 120 的等腰三角形，以 D為頂點作一個60的角，角的兩邊分別交 AB、AC于M、N,連接MN,則4AMN的周長為 .3 .已知如圖，五邊形 ABCDE 中，AB = AE, BC+DE=CD, / ABC + / AED= 180求證：(1) AD 平分/CDE;(2) /BAE = 2/CAD.,且滿足 a 1 b2 6b 9 04 .如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知 A ( a