直角三角形性質(zhì)B(教師版)

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級(jí)：科目：數(shù)學(xué)課時(shí)數(shù):課 題直角三角形的性質(zhì)湖當(dāng)日的1.掌握直角三角形的性質(zhì)定理和特殊直角三角形的性質(zhì)定理；秋于曰刑2.能運(yùn)用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題教學(xué)內(nèi)容【知識(shí)梳理】定理1:直角三角形的兩個(gè)銳角互余定理2:直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半推論1:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.推論2:在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°【典型例題講解】題型一：直角三角形兩銳角互余【例1】在直角三角形中，有一個(gè)銳角為52°,那么另一個(gè)銳角度數(shù)為 ;【答案】38°

2、【例2】如圖，AD是RtABC的斜邊BC上的高.(1)寫出圖中與/ B互余的角；(2)圖中互余的角有幾對(duì)，請(qǐng)你一一寫出來.DC【答案】/1/, C;四對(duì)：/ B與/1,/B與/C, /1與/2, /2與/C 【借題發(fā)揮】1 .如圖，/ B=/ C=/ AED=90 ,寫出圖中互余的角.B E【答案】/A與/1,/A與/D, /1與/2, /2與/D3 .已知：如圖,AD / BC,F是AB中點(diǎn)，DF交CB延長線于點(diǎn) E,CE=CD則圖中與/ ADE相等的角有,與/ ADES余的角有.EC【答案】Z E, Z EDC/ FCE,/ FCD4 .已知：如圖，在四邊形 ABCD43 ,M、N分別是

3、CB CD中點(diǎn)，且AML BC于M,ANL CD于N, / MAN=80，則/ B+/ D的度數(shù)題型二：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半【例3】已知：如圖，AD是4ABC的角平分線，BEX AD交AD的延長線于E,F是AB邊的 中點(diǎn).求證：EF/ AC.【提示】 根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，/BFE=Z FEA=Z FAE=2Z BAE=/ BAC.【例4】如圖，已知 C =90° ,A=38° ,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CF=AD求 E的度數(shù).【答案】190【提示】連結(jié)CD【例 5】已知：如圖， ABC中，/ B= 20° , / C=40° , D是 BC上

4、一點(diǎn)，/ BAD=90 .求證：BD=2AC【分析】本題要證明斜邊長是某條線段長度的2倍，首先想到直角三角形斜邊是其中線長度的2倍.【提示】找到BC邊的中點(diǎn)E,聯(lián)接AE,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，/AECh C=40° , 4AEC為等腰三角形，因止匕BD=2AE=2AC【借題發(fā)揮】1 ,已知：如圖，在 ABC中，AB=ACBAC=1200 , AD AC, E是 CD的中點(diǎn).求證： ADE是等邊三角形.B D E C【提示】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半 ，/B=/ BAD4C=Z EAC=302 .已知：如圖，在 ABC中，BD AC于點(diǎn)D, CE AB于點(diǎn)E, M為BC的中

5、點(diǎn).【提示】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，EM=BM=MC,DM=BM=MC.3 .如圖， ABC中，/ ABC=2/ C, AD± BC于D, E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線交 AB 的延長線于 F.求證：BD=BF【提示】 根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，/EDC=/ BDF=/ C, 2/ABC=2 C=Z BDF+/ F, Z BDF=/ F=Z C.4 .如圖，/ ABC=/ ADC=90 , E是 AC的中點(diǎn)，EF± BD,垂足為 F.求證：BF=DF【提示】 連結(jié)BE、DE,根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，BE=1AC=DE,EF是等腰三角形BED的“三線”2D15 .如圖，A

6、B/ CD ,BC±CD , AD與 BC交于點(diǎn) E,AC = 一 DE2求證：/ CAD =2/ BAD【提示】找到ED邊的中點(diǎn)F,聯(lián)接CF.根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，CF =DE,因此三角形ACF是等腰三2角形.6.如圖,【答案】已知 AB=AC BD CA于點(diǎn)D,ABD=45 , E是BC的中點(diǎn)，求EDC的度數(shù).題型三67.5A AE C:直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半【例6】如圖，RtABC中，/ ACB=90，/A=30° ,CD是AB邊上的高.寫出圖中線段間存在2倍關(guān)系的等式.AD B【答案】AC=2CD;CB=2BD;AB=2

7、BC【說明】學(xué)生經(jīng)常會(huì)遺漏CB=2BD【例71如圖，AD/ BC,AD = 1BC,CE垂直平分AB,垂足為E.2求證：/ 1 = Z 2=7 3.4 D【提示】BC=AC=2AD,根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，/3=30例 8已知：如圖， ABC中，AB=AC / B=30° , AD ±AC.求證：BC=3BD【提示】/B=/ C=Z BAD=30 ,根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，1 CD BD =AD2【借題發(fā)揮】11 .已知：如圖， ABC是等邊二角形， AD-AB, AD，CR垂足為 D.求證：AD/ BC【提示】根據(jù)30。所對(duì)

8、的直角邊等于斜邊的一半，/ ACD=30，/ DCB=902 .如圖， ABC中，AB=AC / BAC = 120D° ,AC邊的垂直平分線交 BC于E,垂足為 D.求證：BE=2EC【提示】 聯(lián)接AE,根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，BE=2AE=2EC3 .如圖， ABC中，AB=AC / A=120° , MN AC的垂直平分線，垂足為 M,交BC于N.如果NN =2,求BC的長.1【提不】/B=/ C=Z NAC=30 ,根據(jù)30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，NC=AN=1 BN 224 .如圖， ABC中；AB=AC / BAC=120 , AD

9、j_AC , E 是 CD的中點(diǎn)求證：AE=BD1【提不】/B=/ C=Z BAD=30 ,根據(jù)30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，AE=-CD BD =AD215 .如圖，RtABC中，/ C= 90 , / A =15 ,D是AC邊上的一點(diǎn)，BCBD.2求證：點(diǎn)D在AB的垂直平分線上.【提示】 根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，/ BDC=30 =/A+/ ABD6 .(1)已知：如圖，在ABC中，C=90°,沿直線BE將ABC折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)D,求A的度數(shù).1【提不】BC=BD=AB,根據(jù)30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，A=30°2(2)已知

10、，如圖，在 ABC中，A=600, CD AB于點(diǎn)D, BC= 2CD,求處的值.ABB的度數(shù).【提示】根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半, B= ACD=30 ,AB=2AC=4AD(3)已知：如圖，在 RtABC中，CE是斜邊 AB上的中線，CD是斜邊 AB上的高，如果 AB=4, DB=1,求【答案】60°【隨堂練習(xí)】填空題：1 .在 RtABC中，A=90° , B = 74013'，貝U C=2 .如圖，CD是RtABC斜邊上的中線，則圖中相等的銳角是3 .在 RtABC中，ABC=90 , BD AC,C=30° ,AB=4,貝U

11、DC=4 .等腰三角形頂角的平分線的長等于腰長的一半，則這個(gè)等腰三角形的頂角等于 5 .直角三角形斜邊上的中線等于3. 5cm ,斜邊上的高等于 2.4cm,則這個(gè)直角三角形的面積等于 cm2.【答案】1.15° 47' ; 2. ZA=Z ACD / B=/ BCD 3.6; 9.120 ° ;10.8.4.解答題：1 .在 ABC中，AB=AC=10 BAD= DAC=60 , BD=5s/3求：Sabc-【答案】253CE的中點(diǎn).2 .已知，如圖在 ABC中， ACB=90 , D是AC上任意一點(diǎn)，DE AB于E, M N分別是 求證：MN CE【提示】 連結(jié)

12、CM ME, CM=ME=1 BD23 .如圖 AB BC于 B, DC BC于 C, AMB=75 , DMC=45 , AM=AD AB=10, BM=4 求：CD的長【答案】4A =3E.4 .如圖，在 ABC中，ACB=90 , D是AB的中點(diǎn)，E是AC延長線上一點(diǎn)， DE交BC于F,求證：EF=AB【提示】找到EF中點(diǎn)G,連結(jié)CD CG 【課堂總結(jié)】【課后作業(yè)】一、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練填空題：1 .上題中AB,BC AC BD四條線段滿足怎樣的等量關(guān)系 2 .等腰直角三角形斜邊上的高是AD,圖中有 個(gè)等腰直角三角形，圖中相等的線段是3 .等腰三角形腰上的高是腰長的一半，那么它的底角等于 度.

13、4 .三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2:3 ,它最短的邊長5厘米，則它最長邊上的中線等于 厘米.5 .在RtABC中，ACB=90 , A< B,CE是斜邊上的中線，CD AB,如果 AB=10cm, DE=2. 5cm ,貝U BC=cm.【答案】1.AB CB=AC BD; 2.3 ; AB=AC AD=BD=CD; 3.75 或 15° ; 4.5; 5.5;選擇題：1 .直角三角形中有一個(gè) 30。的銳角，那么它所對(duì)的邊就等于（）A.另一條直角邊的一半B .斜邊上的高C .直角的平分線D .斜邊上的中線2 .AD是RtABC斜邊上的高，CAD=30 ,則下列關(guān)系式成立的是

14、（）A . AB=2ADB . CD =2ACC . BD =2ADD. AB=2AC3 .如圖，在 ABC中，AB=AC B=30° ,AD AB, AD=4則下列各式中正確的是（）A . AB=8B . BC=16C . DC=4D. BD=104.如圖RtABC中，AC=BCB=45° , AD是角平分線，DE AB于E,則下列各式中不成立的是()A . AC+CD= ABB . CD=BEC . AACD AEDD. CD=BDAB=AC它的三條高AD. BE、CF相交于點(diǎn)H,那么該圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)為A . 7C. 5【答案】DACDA解答題：1 .已知， A

15、BC中，AF平分BAC,CG AF交 AF于 D,交 AB于 G,DE/ AB.求證：BG=AB AC (2)AE= EC【答案】略2 .如圖，在等邊三角形 ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DE AC于E,EF/AB,若AE=1.求： EFC的周長【答案】9DE=DF3 .如圖， ABC中，/ C=90° ,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，E、.F分別在 CA CB上，且/ EDF =90° .求證:【提示】證明 AEDA CFD3.已知：如圖，在 RtABC中，ACB=90°, D E、F分別是AB BC AC上的點(diǎn)，DE DC DF將 ABC分成四個(gè)全4.已知：如圖，在 RtA

16、BC中,ACB=900, CD AB邊上的高，CE是中線，CF是 ACB的平分線.求證:ECF=BD CE分另1J是 AGDCEACE= A= BCDAB邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，MNL DE,垂足為 N. 求證：DN=ENA【提示】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,EM=DM1 BQ MN是等腰三角形EMD勺“三線”6.已知：如圖， ABC中，AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線， DC=BE DGL CE,垂足為 G. 求證：(1)G是CE的中點(diǎn)；(2) / B=2/ BCEU C【提示】 聯(lián)接DE,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，DE=BE=DC ED愛等腰三角形7.如圖，已知 A =90,D=25° , CD /AB, B. D.E在一條直線上， ED=2BC求 ABC的度數(shù).【答案】75°【提示】找到AD的中點(diǎn)F,連結(jié)CF二、綜合提高訓(xùn)練：1 .如圖，AD是4ABC的角平分線，/ BAC=90 , EF垂直平分 BG 垂足為F,EF交AD 的延長線于E.求證：BF=EF(1)【提示】連結(jié)AF,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,AF=BF, /BAF=Z B/ E=90° - / EDB=90 - / ADC=90 -( /