高中數(shù)學解題思想之分類討論思想

1、分類討論思想方法在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。 分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同 時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：問題所涉及到的數(shù)學概念是分類進行定義的。如 |a|的定義分a>0、a= 0、a<0三種 情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。問題中涉及到的數(shù)學定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范

2、圍或者條件限制，或者是分 類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q= 1和qw 1兩種情況。這種分類討論題型可 以稱為性質(zhì)型。解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論。如解不等式 ax>2時 分a>0、a= 0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過 分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、 不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先

3、要確定討論對象以及所討論對象 的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥 (沒有重復)；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。I、再現(xiàn)性題組：1 .集合 A= x|x| W4,xCR,B= x|x 3| w a,x C R,若 A B,那么 a 的范圍是。 A. 0 wawi B. a < 1 C. a<l D. 0<a<12 .若 a>0 且 aw 1, p= log a (a 3 + a+ 1), q= log a (a 2 +a+ 1),則 p、q 的大小關系是A. p = q

4、 B. p<q C. p>q D.當 a>1 時，p>q;當 0<a<1 時，p<q3.函數(shù)y =sin x+|sin x|cosx tgx |ctgx|+ 3一 +的值域是|cosx| |tgx| ctgx4.若。£ (0,7t2)，則 pmcosn 8 sinn。cosn 0 + sinn 0的值為A. 1 或一1 B. 0或1 C. 0 或1 D. 0 或1或11 ,5 .函數(shù)y = x+ 的值域是。xA. 2,+ 8) B. (- oo,-2 U2,+ 8) C. (- oo,+ oo)D. -2,26 .正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分

5、別為2和4的矩形，則它的體積為 A. 8 3 B. 4 3 C. 992百D. Q或第7 .過點P(2,3),且在坐標軸上的截距相等的直線方程是 。A. 3x -2y=0 B. x +y-5=0 C. 3x 2y= 0 或 x + y5= 0 D.不能確定【簡解】1小題：對參數(shù) a分a>0、a=0、a<0三種情況討論，選 B;2小題：對底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選 C;3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案 4,-2,0;4小題：分。= 、0< 0 <、一< 0 <三種情況，選 D;5小題：分x>0、x<

6、;0兩種情況，選 B;6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選 D;7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選 QII、示范性題組：例 1.設 0<x<1, a>0 且 awl,比較 |log a (1 - x)| 與 110g a (1 +x)| 的大小?！痉治觥?比較對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù) a有關，所以對底 數(shù)a分兩類情況進行討論。【解】< 0<x<10<1 x<1 , 1+x>1當 0<a<1 時，log a (1 x)>0 , log a (1 + x)<0 ,所以|

7、log a(1x)| |log a(1 +x)| =log a(1 x) log a(1 +x) =log a(1 x2)>0;當 a>1 時，log a (1 -x)<0 , log a(1 +x)>0,所以|log a (1 一 x)| |log a (1 + x)| =- log a (1 - x) log a (1 + x) = log a (1 一x2)>0 ；由、可知，|log a(1 x)|>|log a(1 +x)| ?！咀ⅰ勘绢}要求對對數(shù)函數(shù) y=log ax的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當 a>1時其是增函數(shù)，當0<a<

8、1時其是減函數(shù)。去絕對值時要判別符號，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。例2.已知集合A和集合B各含有12個元素，An B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合 C的個數(shù)：.C AU B且C中含有3個元素；.C PAW。【分析】 由已知并結合集合的概念，C中的元素分兩類：屬于 A元素；不屬于 A而屬于B的元素。并由含 A中元素的個數(shù)1、2、3,而將取法分三種?！窘狻?C 12 - C； + C22 - c8 + C；2 C0 = 1084【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問題，正確地解題的前提是合理科學的分類，達到分類完整及每類互斥的要求，還有一個關鍵是

9、要確定 C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即c30-C8 = 1084olgSnlgSn2/Q<lgS n 1 ；2例3.設a n 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S n是前n項和。 .證明：.是否存在常數(shù) c>0,使得 必Sn一c)一1gs 2c) = lg再應用比較法而求解。其中q = 1和qw1兩種情況。(Sn 1 c)成立？并證明結論。(95年全國理)【分析】要證的不等式和討論的等式可以進行等價變形;在應用等比數(shù)列前 n項和的公式時，由于公式的要求，分【解】 設a n的公比q,則a1 >0, q>0.當 q=1 時，Sn =na1,從而 SnSn2

10、Sn=na 1(n + 2)a 1 (n + 1) 2al 2a 2<0;當qw1時，SnSnSn 2-Sn12nn 2、ai (1 q )(1 q )a12(1n 1、2q )由上可得SnS2<Sn(1 q)2(1 q)2a1 2qn<0;1 2,所以 lg(SnSn2尸吸n12)，即 lgSnlgSn 2 V即2 <lgS n 1。lg(S.要使出士c)lg(Sn 2 c)lg (Sn 1 c)成立,則必有(S n c)(S n 2c)=(Sn 1-c) 2,分兩種情況討論如下:當 q=1 時，Sn =na1 ,則(S n- c)(S nc)"(Sn1c)

11、2=(na 1 c)(n+ 2)a 1c 一 (n +1)a 1 -ca1 2<0當qw1時,Sna1 (1則(S n c)(S n2 c) (S n 1 c)=a1(1n 2、a1(1 q ), c -c1 qra_(1一.1)2c =- a1q a 1 - c(1 q)aqn w 0一 a1a 1 c(1 q) = 0 即 c=11,a1而 Sn c=Sn -1 qnaq<01 q.對數(shù)式無意義由上綜述，不存在常數(shù)c>0,使得1gsc)一1g(Sn 2c)”一 =lg (Sn 1 c)成立?！咀ⅰ?本例由所用公式的適用范圍而導致分類討論。該題文科考生改問題為：證明10g0

12、.5 Sn10g 0.5 Sn 2>log 0.5Sn 1 ,和理科第一問類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時,對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的 問題或者分類給出的，我們解決時按要求進行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例4.設函數(shù)f(x) =ax2 2x+2,對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0 ,求實數(shù)a的取值范圍?！痉治觥?含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問題，需要先對開口方向討論, 物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關系進行分類討論, 得解。再對其拋最后綜合【解】當a>0時，f(

13、x) =a (x 1+ 2- a1<1a或f (1) = a 2 2>0a1f (一)= 2a1>4或af(4) = 16a 8 2>01a> 一2f(1)=a 2當a<0時，f (4)= 16a2>0當 a=0 時，f(x) =-2x+2, f(1)= 0f(4) =-6, 一 ，E1由上而得，實數(shù)a的取值范圍是a>-2【注】本題分兩級討論，先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a<0、a= 0三種情況，再每種情況結合二次函數(shù)的圖像，在a>0時將對稱軸與閉區(qū)間的關系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關鍵是分析符

14、合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是 “數(shù)形結合法”的運用。例5.解不等式(x 4a)(x 6a) >0 (a 為常數(shù)，aw 1) 2a 12【分析】 含參數(shù)的不等式，參數(shù) a決定了 2a+1的符號和兩根4a、6a的大小，故對參數(shù)a分四種情況a>0、a=0、- - <a<0> a<1分別加以討論。22【解】2a + 1>0時，a> ;4a<6a時，a>0 。所以分以下四種情況討論：2當 a>0 時，(x+4a)(x 6a)>0 ,解得：x< 4a 或 x>6a;當 a=0 時，x2>0,解得：xw0;，1

15、,-一當<a<0 時,(x+4a)(x 6a)>0 ,解得：x<6a 或 x> 4a;2當 a>工時，(x+4a)(x 6a)<0 ,解得：6a<x< 4a 。2綜上所述，當 a>0時，x< 4a或x>6a;當a=0時，xw0；當<a<0時，x<6a或x>2 4a;當 a>時，6a<x< 4a。2【注】 本題的關鍵是確定對參數(shù)a分四種情況進行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結合參數(shù)的意義及對結果的影響而進行分類討論，此種題型為含參型。例6.設a> 0

16、,在復數(shù)集C中，解方程：z2+2|z| =a。 (90年全國高考)【分析】由已知z2 + 2|z| =a和團CR可以得到z2CR,即對z分實數(shù)、純虛數(shù)兩種情 況進行討論求解?！窘狻?|z| CR,由z2 + 2憶| =a得：z2C R；. z為實數(shù)或純虛數(shù)當 zCR時，憶| 2 + 2|z| =a，解得：|z| =1+Jl a z =± ( 1 +a/1 ""a)；當 z 為純虛數(shù)時，設 z = ±yi (y>0) , y2 + 2y=a解得：y=1±41 a (0w a w 1)由上可得，z = ± ( 1 + J1a )或

17、± (1 ± J1 一a ) i【注】本題用標準解法(設z = x + y 1再代入原式得到一個方程組，再解方程組)過程十分繁難，而挖掘隱含，對 z分兩類討論則簡化了數(shù)學問題?！玖斫狻?設2=* + 丫1,代入得 x 2 - y 2 + 2x2 y2+2xyi=a；2222x y 2 x y a2xy 0當 y = 0 時，x2 + 2|x| = a,解得 x= ± ( 1 + 幣""a ),所以 z = ± ( 1 + &/1""a );當 x= 0 時，一y 2 + 2|y| =a,解得 y =

18、77; (1 土 <1 a ),所以士(1 ±71 a ) i。由上可得，z=±( 1+J1一a)或±(1±J1 a ) i【注】此題屬于復數(shù)問題的標準解法，即設代數(shù)形式求解。其中抓住 2xy = 0而分x=0 和y=0兩種情況進行討論求解。實際上，每種情況中絕對值方程的求解，也滲透了分類討 論思想。例7.在xoy平面上給定曲線 y2=2x,設點A(a,0) , a C R,曲線上的點到點 A的距離的最小值為f(a),求f(a)的函數(shù)表達式。(本題難度0.40 )【分析】 求兩點間距離的最小值問題，先用公式建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x&

19、gt;0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。【解】 設M(x,y)為曲線y2 = 2x上任意一點，則|MA| 2=(x a) 2 + y2 = (x a) 2+ 2x=x2 2(a -1)x +a2= x - (a - 1) 2 + (2a 1)由于y2 = 2x限定x>0,所以分以下情況討論：當 a1>0 時，x=a1 取最小值，即 |MA2 min =2a 1;當 a1<0 時，x=0 取最小值，即 |MA2min=a2;綜上所述，有f(a)2a 1 (a> 1時)|a| (a 1時)【注】本題解題的基本思路是先建立目標函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問題我們

20、十分熟悉，但含參數(shù) a,以及還有隱含條件 x>0的限制，所以要從中找出正確的分類標準, 從而得到d=f(a)的函數(shù)表達式。出、鞏固性題組：1 .若log a 2 <1,則a的取值范圍是 。 3A. (0,2)B. (2 ,1) C. (0,2)U(1,+ oo) d. (2 ,+ oo)33332 .非零實數(shù)a、b、c,則亙+擔+£ + 土的值組成的集合是 。|a|b|c| |abc|A. -4,4 B. 0,4 C. -4,0 D. -4,0,43 . f(x) =(ax)13a x| , a是正常數(shù)，下列結論正確的是 。 A.當x = 2a時有最小值 0 B. 當x = 3a時有最大值 0 C.無最大值，且無最小值 D. 有最小值但無最大值4 .設f 1 (x,y) = 0是橢圓方程，f 2(x,y)