中考數(shù)學復習之專題八_三角形-完美編輯版(word文檔良心出品)

1、中考專題復習三角形中考復習之專題八三角形、的相似及全等、解直角三角形目也口手 教學準備.教學目標:(1)掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關概念。(2)利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進行計算、解答有關綜合題。(3)培養(yǎng)學生的轉化、數(shù)形結合、及分類討論的數(shù)學思想的能力二.教學重點、難點：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎知識、基本技能是本節(jié)的重點。難點是綜合應用這些 知識解決問題的能力。三.知識要點：知識點1三角形的邊、角關系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個內(nèi)角的和等于 180° ;三角形三個外角的和等于 36

2、0° ;三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。知識點2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高；三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點3等腰三角形等腰三角形的識別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是

3、等邊三角形；有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質：等邊對等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°。知識點4直角三角形直角三角形的識別：有一個角等于90°的三角形是直角三角形；有兩個角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余；page 1 of 11中考專題復習直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和

4、等于斜邊的平方。知識點5全等三角形定義、判定、性質知識點6相似三角形定義，一兩對應邊的比相等，夾角相等相似二角形判定方法兩個對應角相等三條對應邊的比相等對應邊的比相似三角形的性質對應高的比等于相似比周長比面積比相似比平方知識點7銳角三角函數(shù)與解直角三角形rhE弦片 _ I sin銳角三T角菌數(shù)|一雇而匕T特殊角三廂函數(shù)I|4三邊關系I麗苴通三箱形常用關系I 4兩班百吳系I T-一角關系I轉化直角三角形、,視角問題常用術語坡度方位角例題精講例1. (1)已知：等腰三角形的一邊長為12,另一邊長為5,求第三邊長。(2)已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80。，求這個三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等

5、腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：(1)分兩種情況：若腰長為12,底邊長為5,則第三邊長為12。若腰長為5,底邊長為12,則第三邊長為5。但此時兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長為12。(2)分兩種情況：若頂角為80。，則另兩個內(nèi)角均為底角分別是50。、50。若底角為80。，則另兩個內(nèi)角分別是80。、20。因此這個三角形的另外兩個內(nèi)角分別是50。、50?；?0。、20。page 5 of 11中考專題復習說明：此題運用“分類討論”的數(shù)學思想，本題著重考查等腰三角形的性質、三角形的三邊關系。例2.已知：如圖，/ABC和ECD都是等腰三角形， Z ACB = Z DCE =90&

6、#176; ,BD 為 AB 邊上的一點，求證：(1)/ACEBCD, (2) AD 2 +AE2 = DE 2。分析：要證NACE/BCD,已具備AC=BC, CE=CD兩個條件，還需 AE =BD 或/ ACE = Z BCD,而/ ACE = Z BCD 顯然能證；要證 AD 2 + AE 2 = DE 2 ,需條件/ DAE = 90° ,因為/ BAC = 45° ,所以只需證/ CAE = /B=45° ,由ACEN BCD能得證。證明：(1)DCE =/ACB=90° , DCE - Z ACD = Z ACB - Z ACD,即/ACE

7、=/BCD, .AC=BC, CE= CD, ./ACEE BCD。(2) ./ACEN BCD,CAE = Z B=45° , / Z BAC=Z B=45° , ，/DAE = 90° , ，AD2+AE2=DE 2。例3.已知：點P是等邊ABC內(nèi)的一點，ZBPC = 150° , PB=2, PC=3, 求PA的長。分析：將BAP繞點B順時針方向旋轉 60°至BCD,即可證得BPD 為等邊三角形，/PCD為直角三角形。解：.BC=BA,將/BAP繞點B順時針方向旋轉 60° ,使BA與BC重合，得BCD, 連ZPD。,-.BD

8、= BP=2, PA=DC。. BPD 是等邊三角形。 ./ BPD = 60° 。.Z DPC = Z BPC-Z BPD =150° 60° =90° 。DC = VpD2 PC2 也2 32 VT3 .PA= DC = x'tT?！咀兪健咳粢阎c P是等邊ABC內(nèi)的一點，PA= ,13 , PB = 2, PC=3。能求出/ BPC的度數(shù)嗎？請試試。PBQ = 60° ,且 BQ = BP,例4.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點，連結 PA、PB、PC, ?以BP為邊作/連ZCQ.(1)觀察并猜想 AP與CQ之間的大小關系，并

9、證明你的結論.(2)若PA: PB: PC= 3: 4: 5,連結PQ,試判斷 PQC的形狀，并說明理由.解：(1)把4ABP繞點B順時針旋轉60°即可得到 CBQ.利用等邊三角形的 性質證 ABPACBQ ,得到 AP = CQ.(2)連接 PQ,則4PBQ 是等邊三角形. PQ=PB, AP= CQ 故 CQ: PQ: PC= PA: PB: PC=3: 4: 5, PQC是直角三角形.點評：利用等邊三角形性質、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明.中考專題復習例5.如圖，有兩個長度相同的滑梯 （即BC = EF）,左邊滑梯的高度 AC與右 邊滑梯水平方向的長

10、度 DF相等，則/ ABC +Z DFE =.分析：/ABC與Z DFE分布在兩個直角三角形中，？若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解.解答：在 RtABC 和 RtDEF 中，BC = EF, AC = DF ,ABCA DEF, ABC =/ DEF,.Z ABC + Z DFE = 90° ,因此填 90°點評：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運用與它相關的性質進行解題.例6.中華人民共和國道路交通管理條例 規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過 70千米/時” .？ 一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示

11、），在距離路邊25米處有“車速檢測儀 O”，？測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點，所用時間為1.5秒.北（1）試求該車從 A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速.='/ 1,S 'i C解析：（1）要求該車從 A點到B點的速度.只需求出 AB的距離，"丁.， !"工 一在 OAC?中，OC = 25 米. / OAC = 90° 60° = 30° , OA = 2CO = 50%。米由勾股定理得 CA = JoA2 OC2 J502 252 =25 73 （米）25 二. BC

12、= v3 （米）3在 OBC 中，/ BOC=30°.BC= OBo . （2BC） 2=BC2+252 2.AB = AC - BC =25石一停向譚百 （米）從A到B的速度為 號 J3 + 1.5=100 33 （米/秒）100 .二一 一，（2） J3米/秒=69.3千米/時9.,69.3千米/時70千米/時該車沒有超過限速.點評：此題應用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應用.例7.如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實 線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一實線上；連結三個

13、格點，使之構成直角三角形，小華在下面的 正方形網(wǎng)格中作出了 RtAABC .請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等.直角這一特征,簡析：此題的答案可以有很多種，關鍵是抓住有?可以根據(jù)勾股定理的逆定理“若兩邊page 7 of 11的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構造出直角三角形，答案如下圖.例8.如圖所示，在 ABC中，AB=AC=1,點D、ABECBD r1x1,即一, y=ACy1x， 一。1 一、(2)當a、3滿足3=90 , y=仍成立.此時/ DAB + / CAE = 3 - a , . . / DAB

14、+ / ADB =又. / ABD =/ACE , ADB EAC , y=.x點評：確定兩線段間的函數(shù)關系，可利用線段成比例、找相等關系轉化為函數(shù)關系.例9.如圖，梯形 ABCD中，AB /CD,且AB=2CD, E, F分別是 AB , BC?的中點，EF與BD相交于點M .(1)求證： EDM s* FBM ;(2)若 DB = 9,求 BM .(1)證明：E 是 AB 中點，AB = 2BE, AB = 2CD ,CD = EB,又AB / CD, 四邊形 CBED是平行四邊形，.CB / DE,DEMEDMBFM, EDMA FBM .FBM(2)解：AEDM s、FBM ,DM D

15、EBM BF.F 是 BC 中點，DE = 2FB,DM = 2BM , BM = 1 DB = 33例 10.已知 ABC 中，/ ACB=90o, CD LAB 于 D, AD ： BD=2 : 3 且 CD = 6。求(1) AB; (2) AC。E在直線BC上運動，設 BD = x, CE=y.(1)如果/ BAC=30° , / DAE = 105° ,試確定y與x之間的函數(shù)關系式；(2)如果/ BAC的度數(shù)為a, / DAE的度數(shù)為3 ,當“、3滿足怎樣的關系式時, (1)中y與x?之間的函數(shù)關系式還成立，試說明理由.解：(1)在 ABC 中，AB = AC =

16、 1 , /BAC = 30° , Z ABC = ?/ACB =75° , Z ABD = / ACE = 105又/DAE = 105° , DAB +/ CAE =75° . ?又/ DAB+?/ADB =/ ABC = 75° ,/ CAE = / ADB , ADB EAC ,分析：設AD = 2k, BD = 3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知ABCA ACDA cbdo通過相似三角形對應邊成比例求出其中k的大??；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計算出k的大小。解：設 AD = 2k, BD=3k(k >0)。 ./

17、ACB=90o, CD± ABo . CD 2= AD?BD ,，62=2k?3k, . . k= <6。 . AB= 576。又. AC2= AD?AB, . AC= 2715。例 11.已知 ABC 中，/ ACB=90o, CH ±AB, HEXBC, HFXACo求證：(1) HEF EHC ; (2) HEFA HBCo分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊EH,根據(jù)矩形的性質可知EF = CH, HF=EC。要證明三角形相似，從條件中得/FHE = Z CHB = 90o,由全等三角形可知，/ HEF =

18、 / HCB ,這樣就可以證明兩個三角形相似。證明： HEX BC, HF ±AC, ./ CEH = /CFH =900。又. / ACB=90o, .四邊形 CEHF 是矩形。.EF=CH, HF = EC, / FHE = 900。又 HE= EH ,HFE EHCo . HEF =/HCB。 . / FHE = Z CHB = 90o, . HEFA HBCo說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結論出發(fā)，尋 找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關系。培養(yǎng)學生良好的思維習慣。例12.兩個全等的含300, 600角的

19、三角板 ADE和ABC如圖所示放置，E, A, C 三點在一條直線上，連接 BD,取BD的中點 M,連結 ME, MC。試判斷 EMC 是什么樣的三角形，并說明理由。分析：判斷一個三角形的形狀，可以結合所給出的圖形作出假設，或許是等腰三角形。這樣就可以轉化為另一個問題：嘗試去證明EM = MC,要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉化為這樣一個新問題：如何構造一對全等三角形？根據(jù)已知點 M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：MD = MB = MA。連結M A后，可以證明 MDEMAC。答： EM

20、C是等腰直角三角形。證明：連接AM,由題意得，DE=AC, AD = AB, / DAE+Z BAC = 90o。/ DAB = 900o .DAB為等腰直角三角形。又 MD= MB,，MA = MD = MB, AMXDB, /MAD = /M AB = 45o。 ./ MDE = Z MAC = 105。，/ DMA = 90o。 . MDEA MAC。 ./ DME = /AMC, ME=MC。又/ DME + Z EMA = 90o, ./ AMC + Z EMA = 90o。 MCXEMo .EMC是等腰直角三角形。說明：構造全等三角形是解決這個問題的關鍵，那么構造全等又如何進行的呢

21、？對條件的充分認識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構造過程中要不斷地轉化問題或轉化思維的角度。會轉化，善于轉化,更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設以三角板為情境也是考題的一個熱點。日M聽 課后練習上的點，BD與CE交于點O, ?給出下列三個條件：/ EBO1.如圖， ABC中，D、E分別是 AC、AB =Z DCO;/ BEO = Z CDO; BE=CD.(1)上述三個條件中，哪兩個條件可判定(2)選擇第(1)小題中的一種情況，證明2. (1)已知如圖，在 AOB和ACOD中,ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形)；ABC是等腰三角形.OA=OB, OC=OD, / AOB =

22、/COD = 60o。page 9 of 11求證： AC=BD,/ APB = 60o。(2)如圖，在 AOB 和ACOD 中，OA=OB, OC=OD, /AOB = /COD=a,則 AC 與 BD 間的等量 關系式為 ； / APB的大小為 。(3)如圖，在 AOB 和403口 中，OA=kOB, OC=kOD (k>1), /AOB = /COD=a,貝U AC 與 BD 間的等量關系式為 ; / APB的大小為 。中考專題復習3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m,面積為1.5m2,工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形，請兩位同學設計加工方案，甲設計方案如圖

23、(1),乙設計的方案如圖(2)。你認為哪位同學設計的方案較好？試說明理由。(加工損耗忽略，計算結果可保留分數(shù))(2)4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為:3.5cm x 3.5cm,放映的熒屏的規(guī)格為 2m x 2m ,若放page 11 of 11映機的光源距膠片 20cm時，問熒屏應拉在離鏡頭多遠的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏?5 .如圖，已知/ MON = 90o,等邊三角形 ABC的一個頂點 A是射線OM上的一定點，頂點 B與點O重合, 頂點C在/ MON內(nèi)部。(1)當頂點B在射線ON上移動到Bi時，連結AB1為一邊的等邊三角形 ABiCi (保留作圖痕跡，不寫作 法

24、和證明)；(2)設AB1與OC交于點Q, AC的延長線與B1C1交于點D。求證：AC AD AB AQ ;(3)連結CC1，試猜想/ ACC1為多少度？并證明你的猜想。6 .如圖所示，設 A城氣象臺測得臺風中心在A?城正西方向600km的B處，正以每小時200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動，距臺風中心 500km?的范圍是受臺風影響的區(qū)域.(1) A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風的影響，那么A城遭受這次臺風的影響有多長時間?中考專題復習7. (1)如圖，在 RtAABC 中，/ C=90° , AD 是/ BAC 的角平分線，/ CAB

25、= 60° , ?CD = J3 , BD =2也,求AC, AB的長.(2) “實驗中學”有一塊三角形狀的花園 ABC, ?有人已經(jīng)測出/ A = 30 ° , AC = 40米，BC = 25米，你 能求出這塊花園的面積嗎？(3)某片綠地形狀如圖所示，其中 AB ± BC , CDXAD , / A = 60° , AB = 200m , CD = 100m, ?求 AD、 BC的長.Lz8 .高為12米的教學樓ED前有一棵大樹 AB,如圖所示.(1)某一時刻測得大樹 AB,教學樓ED在陽光下的投影長分別是 BC = 2.5米，DF=7.5米，求大樹

26、 AB 的高度；(2)現(xiàn)有皮尺和高為 h米的測角儀，請你設計另一種測量大樹 AB高度的方案，要求：在圖中，畫出你設計的圖形(長度用字母 m, n表示，角度用希臘字母a , 3表示) ；根據(jù)你所畫出的示意圖和標注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示.9 .如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，？該居民樓的一樓是高 6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面 15?米處要蓋一棟高20米的新樓.當冬季正午的陽光與水平線的夾角為32。時.(1)問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？53(2)若要使超市采光不受影響，兩樓至少應相距多少米？ (？結果保留整數(shù)，？參考數(shù)據(jù)：sin32。三

27、100cos32°皿32。的三.)1258練習答案1 .解：(1)或(2)已知求證 ABC是等腰三角形.證：先證 EBOA DCO.得 OB = OC,得/ DBC = / ECB./ ABC = / ACB ,即 ABC是等腰三角形2 .證明：. AOB和ACOD為正三角形，.OA=OB, OD = OC, /AOB=60o, /COD = 60o。. / AOB + Z BOC = Z COD + Z BOC , . / AOC=Z BOD。AOCABOD ,，AC=BD。/ OAC = / OBD , ./ APB = / AOB=60o。(2) AC與BD間的等量關系式為 AC=BD; / APB的大小為a。(3) AC與BD間的等量關系式為 AC= kBD; / APB的大小為180o- a。3.解：方案