上海市上海中學(xué)2018_2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題(含解析)

1、上海市上海中學(xué)2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題(含解析)一、選擇題。1 . lim 1 .n n【答案】1【解析】【分析】,1由lim 1=0即可求得x n11【詳斛】lim(1 )=lim1 lim =1-0=1 xn xx n【點(diǎn)睛】利用和或差的極限等于極限的和或差，此題是一道基礎(chǔ)題。2 .已知等差數(shù)列a1 3冏 21,d2,則n .【答案】10【解析】試題分析：根據(jù)公式，an a n 1 d ,將a1 3,an 21,d 2,代入，計(jì)算得n=10.考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.3 .數(shù)列an中，已知 an 4n 13?2n 2,n N*,50 為第 項(xiàng).【答案】4【解析】【分

2、析】方程變?yōu)?n 13?2n-48=0,設(shè)2n x,解關(guān)于x的二次方程可求得。 nn【詳解】an 413?22,n N ,則 50 4n13?2n2 ,即 4n13?2n-48=0設(shè) 2n x,則 x213x48 0,有 x 16 或 x3取x 16得2n 16, n 4,所以是第4項(xiàng)。4n ( 2n) 2 ，原方程可通過(guò)換元，變?yōu)殛P(guān)于x 的一個(gè)二次方程。對(duì)于指數(shù)結(jié)構(gòu)4n (2n)2, 9n (3n)2, 25n (5n)2等，都可以通過(guò)換元變?yōu)槎涡问窖芯俊? . an等比數(shù)列，若a1a2 a326 , a4 a152 ，則 an .【答案】2?3n 1【解析】【分析】將 a1a2 a326

3、 , a4 a152這兩式中的量全部用 a1,q 表示出來(lái)，正好有兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，解方程組即可求出。2【詳解】a1a2 a326 相當(dāng)于 a(1 1 q q ) =26 ，32a4 a152相當(dāng)于a(1 q -1 )=a1(q 1)(q q 1) 52 ，上面兩式相除得 q 1 2, q 3 代入就得a12 ， an2g3n 1【點(diǎn)睛】基本量法是解決數(shù)列計(jì)算題最重要的方法，即將條件全部用首項(xiàng)和公比表示，列方程，解方程即可求得。5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： n 1 n 2 L n nk 1 ”左邊需增加的代數(shù)式是【答案】 4k 2【解析】【分析】寫(xiě)出 n k 時(shí)的表達(dá)式，然后寫(xiě)出 n k1 時(shí)

4、的表達(dá)式，由此判斷出增加的代數(shù)式n*2 1 3 2n 1 ,n N 時(shí)， 從“ k 到【詳解】當(dāng) n k 時(shí)，左邊為 k 1 k 2 L當(dāng) n k 1 時(shí)，左邊為 k 1 1 k 1 2 L化簡(jiǎn)得k 2 k 3 L k k k k 1 2k 2k k ，左邊的 k 固定，k1 kk1k1，k 2 k 3 L k k 2 2k 1 k 1 ，故增加的項(xiàng)為2 2k 1 4k 2 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念以及運(yùn)用，考查觀察與思考的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題 .6 .數(shù)列2口滿足ai1,a23,an1 (2n)an(n1,2,L ),則a3等于.【答案】 15【解析

5、】【分析】先由 a11, a23,an 1(2n)an(n1,2,L ) ，可求出 ，然后由 n 2，代入已知遞推公式即可求解。Q a1 1,a23,an1(2n )an ,a2(2)a1,【詳解】 3 2,1,an 1(2n 1)ana35a215故答案為 15.【點(diǎn)睛】本題考查是遞推公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題。*7 . 數(shù)列xn滿足xn1xnxn1 ,n 2, n N ,x1 a,x2b ，則x2019 .【答案】 b a【解析】【分析】根據(jù)題意可求得xn2xn1xn和xn1xnxn1 的等式相加，求得xn 2xn1 ，進(jìn)而推出xn6 xn3 xn ，判斷出數(shù)列是以 6 為周期的數(shù)列，進(jìn)而根

6、據(jù)x2019x3 求出答案?！驹斀狻?Qxn 1 xnxn1xn 2xn 1xn將以上兩式相加得xn 2xn 1xn 6xn 3xn數(shù)列Xn是以6為周期的數(shù)列，故X2019X3X2Xib a【點(diǎn)睛】對(duì)于遞推式的使用，我們可以嘗試讓n取n 1或n 1,又得一個(gè)遞推式，將兩個(gè)遞推式相加或者相減來(lái)找規(guī)律，本題是一道中等難度題目。8 .數(shù)列an滿足下列條件：ai1,且對(duì)于任意正整數(shù) n，恒有a2nan n ,則a5i2 .【答案】512【解析】【分析】直接由 a2nann ,可得a512a256256a2562=a1281282a12822 L ,這樣推下去,再帶入等比數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)論。Q

7、a2nan na512a256a256 25625628= a128a128L1282728281 211 2922 L281 2512故選C?！军c(diǎn)睛】利用遞推式的特點(diǎn)，反復(fù)帶入遞推式進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出結(jié)果，本題是一道 中等難度題目。9 .數(shù)列an定義為 a1 cos , an an 1 nsin cos , n 1 ,貝U S2nl【答案】n2 n sin (n 1)cos【分析】 由已知得兩式 an an 1 nsin cos ,an 1 an 2 (n+1)sin cos ,，相減可發(fā)現(xiàn)原數(shù) 列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，分類(lèi)討論分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相加得 原數(shù)列前

8、2n+1的和Q an an 1 nsin cos an i an 2 (n+1) sin兩式相減得an 2-ansin數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,a1 a2 sin cos ,a2 sin cosa1sin cos cos sin a2n 1 cos (n 1)sin , a2n sin (n 1)sin nsin數(shù)列白前2n項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為:n(n 1)ncos +sin ，2數(shù)列白前2n項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和為:(sin +nsin ) n (1+n) nsin22cn(n 1) .(1+n) nsinS2n 1ncos +sin a2n 122n(n 1) .(1+n) nsin

9、.ncos +sin cos +nsin22(n 1)cos n(n 1)sin【點(diǎn)睛】對(duì)于遞推式為 an 2-an d ,其特點(diǎn)是隔項(xiàng)相減為常數(shù)，這種數(shù)列要分類(lèi)討論，分偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)來(lái)研究，特別注意偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)為a2,而奇數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)為 a1.11.10.已知數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足 Sn - an 一 .右2anan 1bn1丁，Tn是數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和，則T99SnSn 1【答案】10【解析】利用an Sn &1將Sn11、an一變?yōu)镾n2an1 , SnSn 12Sn1,.(n 2),整理發(fā)Sn12現(xiàn)數(shù)列 Sn 為等差數(shù)列，求出2Sn ,進(jìn)一步可以求出

10、an ,再將an , Sn代入bn ,發(fā)現(xiàn)可以裂【分析】項(xiàng)求bn的前99項(xiàng)和。_11【詳解】Q Sn - an 2an_1 _1,一Sn 1 Sn Sn1 Q ' 2)2Sn Sn 1SnSn2SnSn1Sn 1SnSnSn 1Sn121Sn 1_ 2_ 2SnS1(n 1) 1 (n 1) nSnn(n 2)當(dāng)n 1時(shí)，& 1符合Sn 石，Sn VnanSn Sn 1n.Ti(n 2)當(dāng) n 1 時(shí)，a1 1 符合 an Vn Vn1,an n n 1bnan 1SnSn1n 1, n 11. n . n 1、n , n 1T99blb2b3L b9911111 L2.23:

11、3411/19-=. 1 一 一.9910010 10【點(diǎn)睛】一般公式an Sn Sn 1使用是將Sn Sn 1變?yōu)閍n ,而本題是將an變?yōu)镾n Sn 1 ,給后面的整理帶來(lái)方便。先求 Sn,再求an,再求4, 一切都順其自然。11. 一個(gè)三角形的三條邊成等比數(shù)列,那么，公比q的取值范圍是設(shè)三邊按遞增順序排列為a,aq,aq2,其中a 0,q 1.22aq aq ,即 q q。.解得節(jié)1 :52由q>1知q的取值范圍是設(shè)三邊按遞減順序排列為24 _a,aq,aq ,其中 a0,02貝U aqaqq 1.綜上所述,12.數(shù)列an滿足a11, a22, a33,a4 4, a§

12、5,當(dāng) n 5時(shí),an 1 a1？a2?L ?an1 ,則是否存在不小于一 ._22.2a？a2L ?am a a? L am成立？若存在，則在橫線處直接填寫(xiě)m的值；右不存在，就填寫(xiě)“不存在” .【答案】70【解析】【分析】構(gòu)造數(shù)列 bn (a2 a22 L a2) aazL ?烝，,22.2、八 八，22.2、八 .八兩式 bn(a1a2Lan)a？a2L ?an 與 bn 1(aia2Lan 1)a？a2L ?an1 相減可得數(shù)列bn為等差數(shù)列，求出bn,讓bn =0即可求出m.【詳解】設(shè)bn (a2 a2 L2、an) ai ?a2 L22.bn 1 (ai a2 La2i) a？a2L

13、?ani2兩式相減得 bn bn i an (ai?azL ?an i)(an 1)又 an1 ai?a2?L ?an i222bn bn i an (an i)(an )an an i i數(shù)列bn從第5項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，由已知易得 bi,b2,b3,b4均不為0Qb525i6 9 4i i2065bnb5(n 5)d65 n5 n7022 一2所以當(dāng)n=70的時(shí)候ai?a2 L ?am a a? L am成立，故答案填70.22.2【點(diǎn)睛】如果遞推式中出現(xiàn)和的形式，比如ai a2 L an ,可以嘗試退項(xiàng)相減，即讓n i后，兩式作差，和的部分因?yàn)橄鄿p而抵消，剩下的就好算了。、選擇題。i3.已

14、知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且Si0i00 ,則a7的值為D. i4A. iiB. i2C. i3【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，即可得到結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列an的公差為2,且Si0 i00 , Sw 10al i09 2 i002ai ia7 i 7 i 2 i3.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14.等比數(shù)列烝的前n項(xiàng)和為Sn ,已知& a? 10R,a5 9 ,則為 （）A.B.C.D.由題意可知，a a2 a3 a?210a1 , a3 9闞，解得：q 9 , a54aq1求得a1

15、一 ,故選C.915.設(shè)等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn ,若Sm 12,Sm 0,Sm 13,則 m (A. 3【答案】C【解析】【分析】B. 4C. 5D. 6由Sm 0a1amSmSm12又am1Sm1Sm3 ,可得公差d am 1 am 1 ,從而可得結(jié)果【詳解】Q an是等差數(shù)列Smm aams2aamSmSm1又amSm1Sm3,公差dam3am 1a1m 5,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題16.設(shè)0，若 X sin , Xn 1 (sin 戶(n 1,2,3,L ),則數(shù)列xn是()2A.遞增數(shù)列C

16、.奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列【答案】C【解析】【分析】B.遞減數(shù)列D.偶數(shù)項(xiàng)遞增，奇數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列0 sina 1,進(jìn)而可得函數(shù) y (sin a)x為減函數(shù),數(shù)列4是奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列，故選:C.根據(jù)題意，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得結(jié)合函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系分析可得答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，0 金，則0 sina 1,指數(shù)函數(shù)y (sina)x為減函數(shù) 1sin a0(sin a) (sin a) (sin a) 1即 0x1(sin a)x11(sin a)1(sin a)x2(sin a)X1(sin a)01,即 0 x1 x3 x2 1(sin a)1(sin a)x2(sina)

17、x3(sina)x1(sina)01,即 0 x1x3 x4 x21(sin a)1(sin a)x2(sina)x4(sina)x3(sina)x1(sin a)0 1,即 0 x1x3 x5 x4x21,L,0 X x3 x5 x7 L % x63 x2 1 ,【點(diǎn)睛】本題涉及數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)函數(shù)的大小，反推變量的大小, 是一道中檔題目。、解答題。17.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, S462, S675 ,求數(shù)列| an |前n項(xiàng)和.【解析】【分析】Tn243,-n 154, n 82由已知條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差和首項(xiàng)，由此能求出3n 23 ,且a7 0

18、,出 0當(dāng) 1 n 7 時(shí)，TnSn43n 3n2，當(dāng)n 8時(shí),43,n 154。2Q S462, S6754al6al6d62解得d15d753, ai20,an3n 23設(shè)從第n+1項(xiàng)開(kāi)始大于零,an則nan 120 3(n 1)203n 07,即a70, a87時(shí),TnSn43n 3n28時(shí),Tn3n2 空n 15422綜上有Tn243n n,1 n 723 243n n 154, n 822【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的前 n項(xiàng)和的求法,是中檔題，注意等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。18.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn n2 2n 1 n N(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足：an 1log3

19、 n log 3 bn n N，求bn的前n項(xiàng)和Tn (結(jié)果需化簡(jiǎn))【答案】(1) an0, n 12n 3,n 2(2)Tn3 8n?9n 9n 1;64(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式得n 1時(shí)，闞 § , n 2時(shí)，an Sn Sn 1 ,化簡(jiǎn)計(jì)算可得所求通項(xiàng)公式;2n 1(2)求得bnn 3,運(yùn)用數(shù)列錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和.Ia1 S1 0S. 2n 1 (n 1)2 2(n 1) 12n 3班MM n log o b nn可得 2n 1 臉.bn n 32n 1前 n 項(xiàng)和 Tn 13 1mmin1,11313c52n 12n 18Tn 3 33 L

20、3133 8n?9n 9n 1【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和【詳解】(1)n 2 時(shí)，an0, 則為 2nSn3,(2)數(shù)列bj滿39Tn 1 32兩式相減可得化簡(jiǎn)可得Tn公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.某產(chǎn)品具有一定的時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)效期內(nèi)，由市場(chǎng)調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣(mài)出 b件；若做廣告宣彳廣告費(fèi)為 n千元比廣告費(fèi)為(n 1)千元時(shí)多賣(mài)出2(n N )件。2n(1)試寫(xiě)出銷(xiāo)售量 Sn與n的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)a 10,b 4000時(shí)，廠家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大?【答案】(1)-.二(

21、2) S57875b ,、(n N )件，可 2n試題分析:(1)根據(jù)若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為(n 1)千元時(shí)多賣(mài)出一 bbS1 -t,5 S0 21 ,利用疊加法可求得(2)根據(jù)題意在a 10,b4000時(shí)，利潤(rùn)工=1051000盟,可利用"5求最值.試題解析:(1)設(shè)S。表示廣告費(fèi)為0元時(shí)的銷(xiāo)售量,由題意知Sn Sn1 fl由疊加法可得22sS0Snb烏21b22b2nn122-1即為所求。2n(2)設(shè)當(dāng)a10,b4000 時(shí),獲利為T(mén)n元,由題意知，Tn 10Sn 1000n140000(2 了)1000n ,Jn欲彳Tn最大，則T nTnTn220,易知n405

22、 ,此時(shí)S57875.考點(diǎn)：疊加法求通項(xiàng)求最值.工2 Aan 123，n20.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn .已知a11,經(jīng)n(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)是否對(duì)一切正整數(shù)1有一 a1a2說(shuō)明理由.2【答案】(1) an n ；(2)對(duì)一切正整數(shù)1n ,有一 a1a2151an 3 n 1(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,可得所求;(2)對(duì)一切正整數(shù) n,1有一a1a2an1考慮當(dāng)n 3時(shí)，一1n2 11小)'再由裂項(xiàng)相消求和'即可得證?！驹斀狻?1)2Snan2 sn nann1 3-n31 2-n32n3nan 123 n(n1)(n 2)當(dāng)n 2時(shí),2

23、Sn(n1)an(n 1)n(n 1)兩式做差得2an2Sn2Sn1nan 1 (n 1)ann(n1)an 1ann 1nann2 / an n (n2)1時(shí),上式顯然成立,an(2)證明：當(dāng)3時(shí),1n2 1可得a1a2an4 2(2)六)2n(n 1)1 1可得1 12 n即有5-1 (13則當(dāng)n_X)<5, n 13 n 13時(shí)，不等式成立。151an 3 n 1-111,2時(shí)，不等式也成立，綜上對(duì)一切正整數(shù)n,有一 一a a2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵.如設(shè)集合 SnX1,X2,L ,Xn |Xi 0,1(i 1,2,L,n)

24、,其中 n N ,n 2.(1)寫(xiě)出集合S2中的所有元素;(2)設(shè) a,a2, ,an , bib,bnSn,證明“a1?2° a2?21n 1an?2一 _0_ _1_ _n1b1?2 b2?2 L bn?2 ”的充要條件是"aibi(i 1,2,l ,n)”(3)設(shè)集合S 玉為，Xn,|Xi 0,1(i 1,2,L ,n,Lai,a2,L ,an,L , bb,L ,bn,LS,使得A,且B，試判斷“ AB” 是 “2 b(i 1,2,L)”的什么條件并說(shuō)明理由(1)(1) (0,0) , (0,1), (1,0),根據(jù)題意，直接列出即可(1,1); (2)證明見(jiàn)解析;(3)充要條件.(