點直線平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)課

1、第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)課 一、空間點、線、面間的位置關(guān)系【例題1】如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG=BC，CH=DC，求證：（1）E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）三直線FH，EG，AC共點.【答案】如圖（1）連接EF，GH，由E，F(xiàn)分別為AB，AD中點，EF BD，由CG= BC，CH= DC，HGBD，EFHG且EFHG，EF，HG可確定平面，E,F,G,H四點共面；（2）由（1）知EFHG為平面圖形，且EFHG，EFHG.，四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線FH直線EG=O，點O直線FH，直線FH面ACD，點O平

2、面ACD，同理點O平面ABC，又面ACD面ABC=AC，點O直線AC（公理2），三直線FH，EG，AC共點.【變式訓(xùn)練1】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由；（1）直線AC1平面CC1B1B；（2）設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1；（3）點A，O，C可以確定一個平面；（4）由點A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1確定的平面和由A，C1，D確定的平面是同一平面；【變式訓(xùn)練2】如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE:EB=CF:F

3、B=2:1，CG: GD=3:1，過E，F(xiàn)，G的平面交AD于H，連接EH.（1）求AH:HD；（2）求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點. 二、直線、平面平行的判定與性質(zhì)【例題2】如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,點E、F分別是棱CC1、BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.(1)當(dāng)點M在何位置時，MB平面AEF;(2)若MB平面AEF，判斷MB與EF的位置關(guān)系，說明理由，并求MB與EF所成角的余弦值.【答案】(1)如圖，當(dāng)M是線段AC中點時，MB平面AEF.取AE中點N，連接NF,MN，則MNCEBF,，MN=BF，MNBF，MNFB是平行四邊形，MBBF，又平面

4、AEF，平面AEF，MB平面AEF；(2)MB與EF是兩條異面直線.EF平面BB1CC1 ,B平面BB1CC1,B直線EF,M平面BB1CC1，MB與EF是異面直線由(1)知MBNF,EFN就是異面直線MB與EF所成的角，由平面ABC平面AA1CC1，BMAC,知MB平面AA1CC1，又NFMB,FN平面AA1CC1FNAE，而N是AE的中點,EF=AF=，NF=BM=，在RtEFN中,cosEFN=.即所求角的余弦值為.【變式訓(xùn)練3】如圖所示，在棱長為的正方體中，分別是，的中點(1)求證：平面(2)求的長(3)求證：平面【變式訓(xùn)練4】如圖，四邊形ABCD為矩形，M，N分別是EC與AB的中點，

5、求證：MN平面ADE.MDNBCEA【例題3】如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，截面與棱AB，CD都平行.(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；(2)若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍。DBCEGFAH【答案】(1)AB面EFGH，AB面ABC，面ABC面EFGH=EF，ABEF，同理ABGH，EFGH，又CD面EFGH，同理EHFG，四邊形EFGH為平行四邊形；(2)設(shè)，由(1)知EFAB，即，EF=4x，又GHCD，即，EH=6(1-x)，四邊形EFGH的周長為l=2(4x+6-6x)=4(3-x)，0<x<1，8<l<12.【變式

6、訓(xùn)練5】如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，截面為平行四邊形.(1) 求證：截面EFGH與棱AB，CD都平行；(2)當(dāng)對棱AB，CD滿足什么位置關(guān)系時，平行四邊形EFGH為矩形？說明理由；(3)若AB=4，CD=6，當(dāng)平行四邊形EFGH為矩形時，求它面積的最大值，并求此時點E、F、G、H的位置。DBCEGFAH三、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【例題4】如圖，ABCD為矩形，PA平面ABCD ,M、N分別為AB、PC的中點，(1) 證明：ABMN; (2)若平面PDC與平面ABCD成角，證明：平面MND平面PDC.ABCDPMN【答案】證法一：(1)如圖，連接AN與BN，PA平面ABC

7、D，PAAC，PABC，又BCAB，BC平面PAB，BCPB，BN=PC，又PAAC，AN= PC，BN=AN，ABN為等腰直角，又M為AB中點，MNABABCDPMN(2)PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，PDA為平面PDC與平面ABCD所成的角，PDA=45°，PA=AD=BC，又AM=MB，PAM=CBM=90°，PAMCBM，PM=CM，又N為PC中點，MNPC，由(1)知MNAB，又ABCD，MNCD，PC與CD相交，MN平面PCD。證法二：(1)取PD中點Q連接AQ、NQ，AMCD，NQCD，AMNQ，四邊形AMNQ為平行四邊形，易證AMP

8、A，又AMAD，AM平面PAD，AMAQ，又MNAQ，MNAM，即MNAB；ABCDPMNQ(2) PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，PDA為平面PDC與平面ABCD所成的角，PDA=45°，PAAD，AQPD，又MNAQ，MNPD，由(1)MNAB，又由ABCD，MNCD，CD與PD相交，MN平面PCD，平面MND平面PCD?！咀兪接?xùn)練6】如圖所示，已知三棱錐P-ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分別是AC、PC的中點，DEAP于E，(1)求證：AP平面BDE；(2)求證：平面BDE平面BDF；DAEPFCB【例題5】如圖，直二面角DABE中，四邊形

9、ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE. （1）求證：AE平面BCE； （2）求二面角BACE的余弦值； （3）求點D到平面ACE的距離.DFECBA【答案】(1)證明：BF平面ACE，BFAE，二面角DABE為直二面角，且CBAB，CB平面ABE，CBAE，AE平面BCE.DFECBAG(2) 連接BD交AC于G點，ACGB，又BF平面ACE，BFAC，AC平面BGF，ACGF，BGF為二面角B-AC-E的平面角，由(1)知AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，EB=，F(xiàn)B=，BF平面ACE，BFGF，在RTBGF中，BG=，GF=，cosBGF

10、=；(3)BD的中點G在平面ACE上，D點到平面ACE與B到平面ACE的距離相等，又BF平面ACE，BF長為B到平面ACE的距離，所求距離為【變式訓(xùn)練7】如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中點。求證：（1）PA平面BDE （2）平面PAC平面BDE（3）求二面角E-BD-A的大小。 四、空間位置關(guān)系的簡單證明【課標(biāo)要求】能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。【例題6】如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EF平面BFC,BFC為等腰直角三角形，BF=FC,H為BC的中點，(1)求證：FH平面EAC；(2

11、)求證：面EAC面ABCD；(3)求證：BD平面EAC； (4)求四面體BDEF的體積；CBAEFDHG(1)證明：設(shè)AC與BD交于點G，則G為AC的中點. 連EG，GH，由于H為BC的中點， GHAB 又EFAB，EFGH 四邊形EFHG為平行四邊形，EGFH，而EG 平面EDB，F(xiàn)H平面EDB.(2)證明： EF平面BFC， EFFH，EFAB， ABFH，又BF=FC， H為BC的中點，F(xiàn)HBC， FH平面ABCD，F(xiàn)HEG，EG平面ABCD，又EG平面EAC，面EAC面ABCD；(3)由(2)知EG平面ABCD,EGBD, 又四邊形ABCD為正方形，BDAC，EGAC=G， BD平面EAC.(4) EF平面BFC，EFBF，又BFC為等腰直角三角形，BF=FC，BFFC， BF平面CDEF， BF為四面體B-DEF的高. 又BC=AB=2, BF=FC=，.【歸納拓展】空間幾何綜合題涉及的知識點比較多