微分方程鴨子過(guò)河

1、鴨子過(guò)河設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A,河寬OA=h(圖)，水流速度為a,有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O,設(shè)鴨子(在靜水中)的游速為b (b>a),且鴨子游動(dòng)的方向始終朝著點(diǎn)Oo設(shè)h=10m, a=1m/s, b=2m/s,用數(shù)值法求渡河所需時(shí)間、任意時(shí)刻鴨子的位置及游動(dòng)曲線。建立任意時(shí)刻鴨子的位置和鴨子游動(dòng)的數(shù) 學(xué)模型，并求其解析解。1 .模型的假設(shè)為了使問(wèn)題確定和簡(jiǎn)化，實(shí)際上已經(jīng)作了如下假設(shè)：假設(shè)河寬固定，設(shè)為h,且兩岸為平行直線；鴨子游速為 b及水流速度a均為常數(shù)；鴨子游動(dòng)的方向始終指向Oo2 .模型的建立和求解取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸，y軸指向?qū)Π?，如圖所示。設(shè)時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn) P

2、 (x, y),設(shè)起點(diǎn)坐標(biāo)(x, y) = (0, h),終點(diǎn)坐標(biāo)(0, 0),設(shè)0為鴨子 速度方向與x軸正向間的夾角，b (bcos ,bsin )bOPa (a,0) , v a b于是鴨子游動(dòng)的跡線滿足：x(0)=0 , y(0)=h(1)模型的數(shù)值解實(shí)際上，從上述方程不能求得x(t) , y(t)的解析式，但在參數(shù)確定的情況下，可以通過(guò)數(shù)值解得到任意時(shí)刻x(2)=y ,編鴨子的位置。設(shè) x=(x(1) , x(2) , x(1)=x 寫如下的函數(shù)M文件：%鳥(niǎo)子過(guò)河、渡河function dx=duhe(t,x) %為duhe的函數(shù)M文件a=1;b=2;s=sqrt(x(1)A2+x(2

3、)A2);dx=a-b*x/s;-b*x/s;%在編寫運(yùn)行程序時(shí)，須設(shè)定時(shí)間t(可見(jiàn)，鴨子的渡河時(shí)間在 7s之間)ts=0:7;x0=0,10;t,x=ode45(duhe,ts,x0); %t,xplot(t,x),gridgtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause % plot(x(:,1),x(:,2),grid,建立名以向量形式表示方程組的起點(diǎn)及終點(diǎn)步長(zhǎng)，可大致估計(jì)靜水中的渡河時(shí)間，并作試探。%* y的初始值調(diào)用ode45計(jì)算姍出 t , x(t) , y(t)%按照數(shù)值輸出作x(t) , y(t)的圖形利用鼠標(biāo)確定字符串位置%乍

4、y(t)的圖形gtext('x'),gtext('y')得到的數(shù)彳t結(jié)果x(t) , y(t)為鴨子的位置列入表。x(t) , y(t)及y(x)的圖形見(jiàn)圖(a)和(b)表h=10 , a=1, b=2時(shí)的數(shù)值解tx(t)y(t)tx(t)y(t)圖(a)和圖(b)(2)模型的解析解為了得到更精確的運(yùn)動(dòng)軌跡，還必須對(duì)模型作進(jìn)一步分析以得到其解析解。鴨子運(yùn)動(dòng)速度為:故有：由此得到微分方程：dx Vxdy Vy22a x ybyx一,x(h)=0y求解此齊次微分方程得到鴨子游動(dòng)的軌跡方程為: a a1 1 -y b y b-,0<y<h (具體求解參見(jiàn)附

5、錄(1)h h采用下列Matlab程序，我們可以畫出鴨子運(yùn)動(dòng)的軌跡(圖)。h=10;a=1;b=2;y=h:0;x=h/2*(y./h).A(1-a/b)-(y./h).A(1+a/b);plot(x,y,'bO-') legend('duck') xlabel('X');ylabel('Y');圖鴨子運(yùn)動(dòng)的軌跡鴨子游動(dòng)曲線軌跡的弧長(zhǎng)可以用公式dsJix2dy求出,也可以用數(shù)值方法求解。3 .對(duì)解以及問(wèn)題的進(jìn)一步討論關(guān)于解可以作進(jìn)一步分析：如果 b<a,由上述軌跡方程當(dāng)y-0,得到x-8。因此，這中情況下鴨子是不可能到達(dá)對(duì)岸

6、的，這與鴨子運(yùn)動(dòng)的力學(xué)分析結(jié)果是一致的。syms y;limit(10/2*(y/10)A(1-2)-(y/10)A(1+2),y,0,'left')syms y;limit(10/2*(y/10)A(1-2)-(y/10)A(1+2),y,0,'right') 結(jié)果分別為-Inf和Inf。很自然地，還可以探討如下問(wèn)題：如果鴨子上岸的地點(diǎn)不超過(guò)和對(duì)岸下游一定位置(比如與正對(duì) 岸距離為l ),鴨子的速度大小與方向不變，問(wèn)鴨子以怎樣的游動(dòng)方向才能以最少的時(shí)間到達(dá)上岸地點(diǎn)？鴨子能夠按要求到達(dá)對(duì)岸速度應(yīng)滿足什么條件？如果水流速度變化，進(jìn)一步可研究2003年全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)

7、賽D題：強(qiáng)渡長(zhǎng)江。4 .建模過(guò)程總結(jié)這是一個(gè)微分方程應(yīng)用題，整個(gè)解題過(guò)程已經(jīng)包含了建立數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容，即根據(jù)問(wèn)題背景和建模問(wèn)題作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)一一鴨子速度和水流速度均為常數(shù)；用字母和符號(hào)表示有關(guān)變量(如鴨子速度、水流速度、時(shí)間及位置坐標(biāo)等)；利用相應(yīng)的物理（或其他）規(guī)律一一牛頓力學(xué)有關(guān)規(guī)律，列出微分方程；求解微分方程得到鴨子游動(dòng)軌跡曲線解析解，此處我們還采用了數(shù)值解法得到了任意時(shí)刻鴨子的位置（坐標(biāo)）；解的討論及推廣應(yīng)用等。參考文獻(xiàn)20011李志林，歐宜貴，數(shù)學(xué)建模及典型案例分析，北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時(shí)類型） 上冊(cè)（第二版），北京：高等教育出版社，

8、附錄：（1）鴨子游動(dòng)軌跡方程的求解將得到的微分方程dxaX22yx一化成齊次方程dxdybyydydxaH 1 x yydyb;x-的形式，得y（i-i）令ux一,貝1 x=yu , ydx dyduu y，代入上述方程，得 dydua 2u y vu1 u(1-2)dyb化簡(jiǎn)并分離變量得(1-3)兩端積分，得ln(u Ju2 1) aln y G (其中。為常數(shù))(1-4)b au 1 1 y b C2(其中 C2 eC1)(1-5)x將u一代入上式，得y(1-6)-J- 1 y2C2(其中 C2eC1)y . ya_a由 x(h)=0 # y=h, x=0 代入上式，得 1 h b C2 ,求得 C2 hba將C2hb代入式(1-5),得 a aJu2 1 hby b u(1-7)將上式平方并化簡(jiǎn)，得a aa