點(diǎn)集拓?fù)湓嚲?

1、 | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 線 | | | | | | | | | | | | 5、設(shè)，則是 （ ） 空間 空間 空間 6、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)具有有限可積性的是 （ ） 連通性 緊致性 正則性 可分性得分閱卷人二、簡(jiǎn)答題（每題4分，共32分）1、寫(xiě)出同胚映射的定義.2、什么是不連通空間?3、什么是正則空間？4、寫(xiě)出緊致空間的定義.5、寫(xiě)出可分空間的定義6、寫(xiě)出列緊空間的定義.共 6 頁(yè)，第 2 頁(yè)共 6 頁(yè)，第 1 頁(yè) 點(diǎn)集拓?fù)湓囶}樣卷2 一二三四總分代號(hào) 學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 備注: 試卷首頁(yè)必須用統(tǒng)一的考試

2、命題專(zhuān)用紙,第二頁(yè)以后用專(zhuān)用紙續(xù)頁(yè)。 試卷必須打印成卷字跡要工整、清楚。 各題留出答案空白。 試卷打印后應(yīng)認(rèn)真校對(duì)，避免卷面錯(cuò)誤。得分閱卷人一、選擇題 (將正確答案填入題后的括號(hào)內(nèi) ,每題3分，共18分)1、已知,下列集族中， 是上的拓?fù)? （ ） 2、已知，拓?fù)?則是 （ ） 3、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者 設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,則的商拓?fù)涫?（ ） 4、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)具有可遺傳性的是 （ ）連通性 正則 正規(guī)規(guī), （ ） 空間 以上都不對(duì)河北師范大學(xué)考試命題專(zhuān)用紙?jiān)嚲泶?hào) A卷 學(xué)院 數(shù)信學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 數(shù) 學(xué) 年級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) |得分閱卷人四、證明題（共40分).1、

3、 設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集, 證明: 如果和是的兩 個(gè)無(wú)交的開(kāi)集使得,則或者,或者. (7分)2、設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的有限補(bǔ)空間.證明:X不滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理.(7分)7、寫(xiě)出導(dǎo)集的定義.8、寫(xiě)出Urysohn引理的內(nèi)容.得分閱卷人三 、判斷下列各題的正誤, 正確的打，錯(cuò)誤的打×，并說(shuō)明理由 （每題 5分，其中判斷2分，理由3 分，本題共10分） 1、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射 （ ）2、若拓?fù)淇臻g中存在一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，則是一個(gè)不連通空間 （ ） | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | |

4、 | 線 線 | | | | | | | |共 6 頁(yè)，第 4 頁(yè)共 6 頁(yè)，第 3 頁(yè) | | 河北師范大學(xué)考試命題專(zhuān)用紙?jiān)嚲泶?hào) A卷 學(xué)院 數(shù)信學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 數(shù) 學(xué) 年級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) |5、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)連續(xù)映射.如果是一個(gè)緊致空間，證明是的一個(gè)緊致子集. (7分)6、設(shè)為Hausdorff空間 ,是一個(gè)連續(xù)映射, 且證明:是的閉集 (5分).3、設(shè)是空間的一個(gè)收斂序列,證明：的極限點(diǎn)唯一. (7分)4、設(shè)是Hausdorff空間，是連續(xù)映射.證明是的閉子集. (7分) | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | |

5、 線 線 | | | | | | | |共 6 頁(yè)，第 6 頁(yè)共 6 頁(yè)，第 5 頁(yè) | | 點(diǎn)集拓?fù)湓囶}樣卷2卷參考答案一、選擇題 (將正確答案填入題后的括號(hào)內(nèi) ,每題3分，共18分)1、 2、 3、 4、 5、 6、 二、簡(jiǎn)答題（每題4分，共32分）1、設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果是一個(gè)一一映射，并且和 都是連續(xù)映射，則稱(chēng)是一個(gè)同胚映射.2、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有兩個(gè)非空的隔離子集,使得,則稱(chēng)是一個(gè)不連通空間.3、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任何一個(gè)點(diǎn)和任何一個(gè)不包含這個(gè)點(diǎn)的閉集都各自有一個(gè)開(kāi)鄰域，它們互不相交，則稱(chēng)是正則空間.4、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱(chēng)

6、拓?fù)淇臻g是一個(gè)緊致空間. 5、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱(chēng)是一個(gè)可分空間。6、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 如果的每一個(gè)無(wú)限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱(chēng)拓?fù)淇臻g是一個(gè)列緊空間.7、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，集合的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為 的導(dǎo)集.8、設(shè)X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)閉區(qū)間. 則是一個(gè)正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于中任意兩個(gè)無(wú)交的閉集和，存在一個(gè)連續(xù)映射,使得當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí).三 、判斷下列各題的正誤, 正確的打，錯(cuò)誤的打×，并說(shuō)明理由（每題 5分，其中判斷2分，理由3 分， 本題共10分） 1、答案: 理由：設(shè)是離散空間，是拓?fù)淇臻g，是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意，都有,由于中的任何一個(gè)子集都是開(kāi)集，從而

7、是中的開(kāi)集，所以是連續(xù)的. 2、答案: 理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)是中的一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿(mǎn)足，易見(jiàn)是隔離子集，所以拓?fù)淇臻g是一個(gè)不連通空間.四、證明題（共40分). 1、證明：因?yàn)槭堑拈_(kāi)集，從而是子空間的開(kāi)集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個(gè)是空集. 若,則;若,則 7分2、證明：若滿(mǎn)足第一可數(shù)公理，則在處,有一個(gè)可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x ,因?yàn)閄是有限補(bǔ)空間，因此對(duì),是 的一個(gè)開(kāi)鄰域，從而 ,使得. 4分于是, 由上面的討論我們知道： 因?yàn)槭且粋€(gè)不可數(shù)集，而是一個(gè)可數(shù)集，矛盾.從而X不滿(mǎn)足第一可數(shù)性公理. 7分3、證明：若極限點(diǎn)不唯一，不妨設(shè),其中，由于是空間，故和各自的開(kāi)鄰域，使得. 4分因，故存在，使得當(dāng)時(shí)，；同理存在，使得當(dāng)時(shí)，.令,則當(dāng)時(shí)，從而,矛盾，故的極限點(diǎn)唯一. 7分4、證明：對(duì)于，則，從而有互不相交的開(kāi)鄰域和，設(shè)， 4分則是的開(kāi)鄰域，并且,故是開(kāi)集，從而是閉集. 7分5、證明：設(shè)C是的一個(gè)由中的開(kāi)集構(gòu)成的覆蓋.對(duì)于任意，是中的一個(gè)開(kāi)集，由于,從而有：所以是的開(kāi)覆蓋.由于是緊致空間，所以A 有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為. 4分因?yàn)?，從而，即是C 的一個(gè)