過程控制第二章 過程建模

1、第二章 過程建模* 基本概念* 單容對象的數(shù)學(xué)模型* 多容對象的數(shù)學(xué)模型* 實驗建模第一節(jié) 基本概念一、對象輸入輸出描述調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)閥測量變送 y(t)y(t) x(t)x(t) e(t)e(t) u(t)u(t) q(t)q(t) z(t)z(t)+ +- -)(1tf)(tfn)(1sw)(swn)(0sw niiisFsWsQsWsY10)()()()()( niiisFsWsQsWsY10)()()()()(控控制制通通道道的的傳傳遞遞函函數(shù)數(shù):)(0sW個擾動通道的傳遞函數(shù)個擾動通道的傳遞函數(shù)第第isWi:)(二、靜態(tài)特性與動態(tài)特性1 、靜態(tài)特性描述對象輸出量與對象輸入量之間的關(guān)系，用

2、放出系數(shù)K表示。yOxyxxyKOxyK2、動態(tài)特性 描述對象在輸入信號作用下，輸出量隨時間變化的特性。 時間常數(shù)用T表示，T表征對象物理量變化的速率。Oty1T2T21TT 三、物料平衡與能量平衡 在靜態(tài)情況下，單位時間流出過程的 物料 （能量）等于流入過程的 物料 （能量） 在動態(tài)情況下，單位時間流入過程的 物料 （能量）與流出過程的 物料 （能量）之差等于過程物料 （能量）儲存量的變化率。四、自衡對象與無自衡對象四、自衡對象與無自衡對象自衡對象： 在擾動作用下，過程平衡狀態(tài)被破壞后，不需人工或儀表干預(yù)，自身能建立新的平衡狀態(tài)。無自衡對象：在擾動作用下，過程平衡狀態(tài)被破壞后，自身不能建立新

3、的平衡狀態(tài)。五、建模途徑1 機理建模2 實驗建模3 其它方法六、建模目的控制系統(tǒng)設(shè)計與參數(shù)整定；2 控制系統(tǒng)仿真研究。第二節(jié) 單容對象的數(shù)學(xué)模型單容對象：單個儲存容器一，自衡單容對象1. 無滯后單容對象例1 設(shè)液位對象如 所示。圖中：Q1：液體流入量，對象的輸入量Q2：液體流出量h：液位，對象的輸出量R1，R2為液阻A：液箱底面積,容量系數(shù)R R1 1R R2 2A Ah hQ Q1 1Q Q2 212 . Fig12 . Fig數(shù)學(xué)模型:取增量：消取中間變量得微分方程：或其中： 為時間常數(shù)， 為放大系數(shù)。 2221RhQdtdhAQQ 2221RhQdthdAQQ 122QRhdthdAR

4、100QKhdthdT ART2020RK R R1 1R R2 2A Ah hQ Q1 1Q Q2 2用傳遞函數(shù)表示：設(shè)H(S)=Lh,Q1(S)=LQ1L:拉氏變換。則傳遞函數(shù)為增量方程組亦可表示為含S變量的方程組：其對應(yīng)的方框圖如下圖所示，據(jù)此亦可求出傳遞函數(shù)。階躍響應(yīng)為： 1)()()(0010STKSQSHSW2221/ )()()()()(RSHSQSASHSQSQ1/AS1/AS1/R1/R2 2)(1SQ)(2SQ)(SHO)(th)(h0Tt22 . Fig32 . Fig例2 設(shè)溫度對象如圖所示，圖中： ： 為容器內(nèi)水溫，確定為輸出量（被控量）； ：電爐供熱量，定為輸入量；

5、 ：爐外空氣溫度； ：加熱器散熱量； 設(shè)G：加熱器內(nèi)水的總重量； ：傳熱系數(shù)； ：水的比熱； A：加熱器的表面積。根據(jù)能量平衡關(guān)系有： ：為熱容 ；令 為熱阻1T1Q2T2QrKdtdTCdtdTGcQQp1121 pcpGcC )(212TTAKQr AKRr/1 1Q1T2Q2TV 22042 . Fig其增量方程組為：令 ，消去中間變量得微分方程：傳遞函數(shù)為：式中 階躍響應(yīng)如 所示RTTQdtTdCQQ212121 02 T 10110QKTdtTdT 1)()()(0010 STKSQSHSWRCT 0RK 0O)(1tT)(1T0Tt52 . Fig52 . Fig小結(jié)：1) 定關(guān)系

6、（應(yīng)用物料或能量平衡原理）；2) 取增量（線性化）；3) 去中間（中間變量），得方程（輸入輸出關(guān)系）；4) 算比值（拉氏變換），得傳函（傳遞函數(shù)）。2. 純滯后單容對象 例3 設(shè)液位純滯后單容對象如圖所示。圖中L為閥門至管道出口的長度，v為液體流速，閥門出口流量為 ，管道出口流量為 ，其余說明同無純滯后對象。R R1 1R R2 2A Ah h1Q*1Qv62 . FigQ Q2 2L)(1tQ)(*1tQ建立數(shù)學(xué)模型：稱 為純滯后時間。微分方程：即傳遞函數(shù)：其中：對象的階躍響應(yīng)曲線如圖所示。0/ vL 0001*1 0 )()( tttQtQ)(*100tQKhdthdT )(0100 tQ

7、KhdthdTseSTKSQSHSW01)()()(0010 seSQtQLtQL0)()()(101*1 00TO)(th)(htO1QtO)(th)(ht1t72 . Fig二. 無自衡單容對象1. 無自衡單容對象（無滯后）例4 無自衡單容對象（無滯后）如圖所示，其特點是在流出液體由定量泵抽出。建立方程：即傳遞函數(shù)為： 1QtR R1 1A Ah hQ Q1 1Q Q2 20221 QdthdAQQ 1QdthdA STSQSHSWa1)()()(10 為積分時間常數(shù)。 無自衡單容對象的階躍響應(yīng)如圖所示，無平衡狀態(tài)。1Q t)(th tOaT/1R R1 1A Ah hQ Q1 1Q Q2

8、 2ATa 2. 純滯后無自衡單容對象純滯后無自衡單容對象例例5 純滯后無自衡單容對象純滯后無自衡單容對象如圖所示，同理可得對象如圖所示，同理可得對象數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：及 純滯后無自衡單容對象的純滯后無自衡單容對象的階躍響應(yīng)如圖所示，純滯后階躍響應(yīng)如圖所示，純滯后時間為時間為 ，無平衡狀態(tài)，無平衡狀態(tài)。LR R1 1A Ah hQ Q1 1Q Q2 2v*1Q)(01 tQdthdASaeSTSQSHSW01)()()(10 1QtO0 )(th tOaT/10 92 . Fig第三節(jié) 多容對象的數(shù)學(xué)模型多容對象：2個以上單容裝置構(gòu)成。一. 自衡對象1. 無滯后自衡無滯后自衡多容多容對象對象

9、例例6 設(shè)雙容液位對象如設(shè)雙容液位對象如圖所示。建立對象圖所示。建立對象Q1為為輸入量輸入量h2為輸出量的為輸出量的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型。Q3R32h2AR1R2Q1Q21A1h102 . Fig寫出增量方程組：消去中間變量得微分方程：式中32322322121121/RhQdthdAQQRhQdthdAQQ 132223122222312)(QRhdthdARARdthdARAR 10222122221)(QKhdthdTTdthdTT 30232121 , ,RKARTART 傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)也可由方程組對應(yīng)的方框圖來求出。)1)(1()()()(210120 STSTKSQSHSWSA

10、1/12/1 RSA2/13/1 R)(1SQ)(2SQ)(3SQ)(2SH)(1SH112 . Fig32322322121121/ )()( )()()(/ )()( )()()(RsHsQssHAsQsQRsHsQssHAsQsQ 方程組對應(yīng)的方框圖為：令輸入量作階躍變化，輸出變量的響應(yīng)如圖所示。令輸入量作階躍變化，輸出變量的響應(yīng)如圖所示。說明：1) 與單容對象比較，雙容對象響應(yīng)曲線呈S形狀；2) 在響應(yīng)曲線拐點D處作切線分別交時間軸于A， 水平線于B ，其在時間上的投影為C ，則 為容量滯后時間 為時間常數(shù)容量滯后時間是由對象的多容特性決定的，這樣，對象特性亦可用 ， ， 來描述。1Q

11、tO)(1th)(1htO)(2th)(2htACT 0OA 0 )(2 h0T0 0K0TO)(2th)(2 ht0 DACB122 . Fig 多容對象不同階數(shù)n的響應(yīng)曲線如圖所示?？梢妌越大，容量滯后時間也越大。n階多容對象階多容對象的傳遞函數(shù)：如果 ，則稱為n階等容過程階等容過程，其傳遞函數(shù)為：)1()1)(1()(2100 STSTSTKSWn021TTTTn nSTKSW)1()(000 O)(th)( ht1 n2 n5 n132 . Fig 2. 當(dāng)過程具有純滯后時，其傳遞函數(shù)為： 或SneSTSTSTKSW0)1()1)(1()(2100 SneSTKSW0)1()(000

12、二二. 無自衡多容對象無自衡多容對象設(shè)無自衡多容液位對象如圖所示。R1R2Q1Q21A1h2h2A3Q1Qt)(1th)(1ht)(2thOt0142 . Fig152 . Fig其中傳遞函數(shù)為：其中傳遞函數(shù)為：式中： 為第一個容器的時間常數(shù) 為積分時間常數(shù)無自衡多容對象純滯后無自衡多容對象)1(1)()()(120 TSSTSQSHSWa12ART 2ATa naTSSTSW)1(1)(0 SnaeTSSTSW0)1(1)(0 2 n第四節(jié) 實驗建模一. 響應(yīng)曲線的測定二. 切線法三. 計算法四. 半對數(shù)作圖法一一. 響應(yīng)曲線的測定響應(yīng)曲線的測定響應(yīng)曲線測試流程圖： u(t)：過程輸入信號：

13、過程輸入信號 y(t)：過程輸出信號：過程輸出信號1. 階躍響應(yīng)曲線的測定階躍響應(yīng)曲線的測定 階躍響應(yīng)曲線完全描述了被控過程的特性，據(jù)此可求出被控過程的數(shù)學(xué)模型。注意事項： 1) 被控過程在平穩(wěn)狀態(tài)被控過程在平穩(wěn)狀態(tài)下，下，u(t)作階躍輸入。作階躍輸入。 2) 合理選擇階躍輸入量合理選擇階躍輸入量的幅值，一般為正常值的的幅值，一般為正常值的515%。過程)(ty)(tu檢測記錄儀檢測記錄儀162 . Fig0tu )(tuot0uy )(tyo0tt0y172 . Fig 3) 階躍信號作正，反方向變化，測定響應(yīng)曲線，以檢階躍信號作正，反方向變化，測定響應(yīng)曲線，以檢查過程線性特性。查過程線性

14、特性。 4) 重復(fù)測試幾次，詳細記錄響應(yīng)曲線重復(fù)測試幾次，詳細記錄響應(yīng)曲線。缺點：有些過程不容許階躍干擾。2. 矩形脈沖響應(yīng)曲線的測定矩形脈沖響應(yīng)曲線的測定 1) 測定矩形脈沖響應(yīng)曲線；測定矩形脈沖響應(yīng)曲線； 2) 將矩形脈沖響應(yīng)曲線合將矩形脈沖響應(yīng)曲線合成階躍響應(yīng)曲線。成階躍響應(yīng)曲線。 設(shè) 為矩形脈沖輸入 設(shè) 為矩形脈沖響應(yīng) 為階躍響應(yīng) 為階躍輸入 為 時刻的階躍輸入)(0ttu )(tu)(ty)(tup)(typ0tt02t0ttt05t04t03to)(typ)(ty)(tup)(tu)(0ttu oo182 . Fig曲線合成的數(shù)學(xué)描述： 令 ，則： 在輸出坐標(biāo)圖上描出多個點，將這些

15、點光滑連接，在輸出坐標(biāo)圖上描出多個點，將這些點光滑連接，得階躍響應(yīng)曲線。得階躍響應(yīng)曲線。)()()()()()()()()(000ttytytyttytytyttututuppp , 2 , 1 , 0 , 0nntt)()()(0000tntyntyntyp 二二. 切線法切線法下面分類求模型參數(shù)：1. 一階自衡模型一階自衡模型根據(jù) 所示曲線：1) 過原點作切線與過原點作切線與 相交于相交于B點，由點，由B點作時間的垂線點作時間的垂線交于交于C點；點；2) 3) 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為u)(tuOty)(tyO)(ytCB202 . Fig202 . FiguyuoyyK )()(0OCT 0

16、)1()(000 STKSW)(y2. 一階純滯后自衡模型一階純滯后自衡模型由由 可得：可得：傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：u)(tuOt0Ot)(y)(tyyCBA212 . Fig212 . FigOA 0 ACT 0uyK 0SeSTKSW0)1()(000 3.一階無自衡模型一階無自衡模型由 可得：當(dāng) 時其傳遞函數(shù)為：其傳遞函數(shù)為：222 . Figut222 . Fig)(tytOaT/1 tguTTutgaa , tgTa1 1 u sTSWa1)(0 4.一階純滯后無自衡模型一階純滯后無自衡模型由由 可得：可得：其傳遞函數(shù)為：ut232 . Fig)(tytOaT/1A232 . Fi

17、gOA 0 tgTa1 1uSaesTSW01)(0 5. 二階自衡模型二階自衡模型 由由 可得：可得：其傳遞函數(shù)為：其傳遞函數(shù)為：ut00TOtDACB)(y)(tyy242 . Fig242 . FigOAACTuyK 000 SeSTKSW0)1()(000 6. 二階無自衡模型二階無自衡模型由由 可得可得： 其傳遞函數(shù)為：其傳遞函數(shù)為：Otut)(ty252 . Fig252 . FigAOOA 0 tgTa1 SaesTSW01)(0 三、計算法三、計算法1. 計算計算 、對于 其時間響應(yīng)為其時間響應(yīng)為 ，則相對函數(shù)為即即其響應(yīng)曲線如圖所示，標(biāo)明縱坐標(biāo)，找出對應(yīng)的標(biāo)明縱坐標(biāo)，找出對應(yīng)

18、的 、 、 、 。 SeSTKSW01)(000 0T)(ty4t)(/ )()(0 ytyty tettyTt 001 0)(3t2t1t4t) (0tyto1632. 039. 033. 07 . 02t1t3t262 . Fig選取 ， ，且 有：兩邊取對數(shù)得：可有：即可求得 ， 011)(10Ttety 021)(20Ttety )(1ln1001tyTt )(1ln2002tyTt )(1ln)(1ln2010120tytyttT )(1ln)(1ln)(1ln)(1ln2010201102tytytyttyt 0T 2t1t 12tt為計算方便,在圖中取特殊點，得兩組等式： 如果上

19、述兩數(shù)值很接近，則可取平均值來 近似： 237 . 01ln33. 01ln7 . 01ln33. 01ln8 . 07 . 01ln33. 01ln2632. 01ln39. 01ln632. 01ln39. 01ln)(2632. 01ln39. 01ln41141141413223123231ttttttttTttttttttT 如果上述兩組數(shù)值很接近，則可取平均值來近似： 如果上述兩數(shù)值相差很遠，則不能用這種方法，應(yīng)選用二階滯后特性來近似。2210TTT 221 2.計算計算 、傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為：階躍響應(yīng)曲線如圖所示。階躍響應(yīng)曲線如圖所示。取取則則 、 由下式求得：由下式求得：2T

20、1T)1)(1()(2100 STSTKSW21)(8 . 0 , )(4 . 0tyty 1T2T55. 074. 1)(16. 22121212121 ttTTTTttTT46. 032. 021 tt ) (t yto)(y)(4 . 0y)(8 . 0y2t1t272 . Fig說明：說明：1）當(dāng)）當(dāng) 時，為一階模型，時，為一階模型，2）當(dāng)）當(dāng) 時，時，3）當(dāng)）當(dāng) 時，用高階模型近似。時，用高階模型近似。4）32. 021 tt46. 021 tt12. 2210ttT 46.021 tt2000)1( STKW18. 2221210 ttTTTuyK 0四四. 半對數(shù)坐標(biāo)作圖法半對數(shù)坐標(biāo)作圖法1. 一階自衡對象一階自衡對象設(shè)一階自衡對象為：設(shè)一階自衡對象為：在階躍在階躍 作用下作用下以上式左邊為縱坐標(biāo)，為橫以上式左邊為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)作圖得半對數(shù)坐標(biāo)圖。坐標(biāo)作圖得半對數(shù)坐標(biāo)圖。1)()()(0 TSKSUSYSW0uTtKutyyeKutyyeyeKutyTtTtTt 0/0/0ln)()(ln)()()1)()1()()(tyO)(ytABCt1282 . Fig2282 . Fig0ut)(tu由半對數(shù)坐標(biāo)圖得：2. 二階自衡對象二階自衡對象其階躍響應(yīng)為：210)(TtTtBeAeKuty )lg(lg303.2 2.30