正項(xiàng)級數(shù)的判別法

1、第二節(jié) 正項(xiàng)級數(shù)的判別法 一般情況下，利用定義和準(zhǔn)則來判斷級數(shù)的收斂性是很困難的，能否找到更簡單有效的判別方法呢？我們先從最簡單的一類級數(shù)找到突破口，那就是正項(xiàng)級數(shù).分布圖示正項(xiàng)級數(shù)比較判別法例1例2例3 例4例5比較判別法的極限形式例6例7例8 例9例10比值判別法 例11例12 例13根值判別法 例14例15 例16內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題7-2內(nèi)容要點(diǎn) 一、正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是：它的部分和數(shù)列有界. 以此為基礎(chǔ)推出一系列級數(shù)收斂性的判別法： 比較判別法；比較判別法的極限形式；推論（常用結(jié)論）比較判別法是判斷正項(xiàng)級數(shù)收斂性的一個(gè)重要方法. 對一給定的正項(xiàng)級數(shù)，如果要用比較判別法來判別其收斂

2、性，則首先要通過觀察，找到另一個(gè)已知級數(shù)與其進(jìn)行比較，并應(yīng)用定理2進(jìn)行判斷. 只有知道一些重要級數(shù)的收斂性，并加以靈活應(yīng)用，才能熟練掌握比較判別法. 至今為止，我們熟悉的重要的已知級數(shù)包括等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)以及級數(shù)等.要應(yīng)用比較判別法來判別給定級數(shù)的收斂性，就必須給定級數(shù)的一般項(xiàng)與某一已知級數(shù)的一般項(xiàng)之間的不等式. 但有時(shí)直接建立這樣的不等式相當(dāng)困難，為應(yīng)用方便，我們給出比較判別法的極限形式.使用比較判別法或其極限形式，需要找到一個(gè)已知級數(shù)作比較，這多少有些困難. 下面介紹的幾個(gè)判別法，可以利用級數(shù)自身的特點(diǎn)，來判斷級數(shù)的收斂性. 比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）：適合與有公因式且 存在或等于無窮

3、大的情形. 根值判別法（柯西判別法）：適合中含有表達(dá)式的次冪，且 或等于的情形.積分判別法：對于正項(xiàng)級數(shù)，如果可看作由一個(gè)在上單調(diào)減少函數(shù)所產(chǎn)生, 即有 則可用積分判別法來判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.例題選講比較判別法的應(yīng)用例1（E01）討論級數(shù)的收斂性.解 時(shí)，級數(shù)發(fā)散.時(shí)，由圖可見 即有界，級數(shù)收斂. 當(dāng)時(shí)收斂故級數(shù) . 當(dāng)時(shí)發(fā)散例2（E02）證明級數(shù)是發(fā)散的.證 而級數(shù)發(fā)散，發(fā)散.例3（E03）判別級數(shù)的收斂性.解 運(yùn)用比較判別法.因而是收斂的,所以原級數(shù)收斂.例4（E04）設(shè)且及均收斂， 證明級數(shù)收斂.證 由得 由于與都收斂,故是收斂的,從而由比較判別法知,正項(xiàng)級數(shù)也收斂.再由與的收斂性可推

4、知: 級數(shù)也收斂.例5 設(shè)，證明級數(shù)收斂.證 由得因?yàn)樗允諗?由比較判別法知收斂.比較判別法及其推論的應(yīng)用例6（E05）判定下列級數(shù)的斂散性:(1) (2) 解 因故 根據(jù)極限判別法,知所給級數(shù)收斂.因?yàn)?根據(jù)極限判別法, 知所給級數(shù)收斂.比值判別法的應(yīng)用例7 判別級數(shù)的斂散性.解 記采用比較法的極限形式,取因所以原級數(shù)與級數(shù)具有相同的斂散性,從而知當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂;當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散.例8 判別級數(shù)的斂散性.解 選取級數(shù)作比較.由可得因級數(shù)收斂,所以原級數(shù)也收斂.注: 從以上解答過程中可以看到極限中的某些等價(jià)無窮小在級數(shù)審斂討論時(shí)十分有用的,事實(shí)上級數(shù)的收斂性取決于通項(xiàng)趨向于零的“快慢”程度.根

5、值判別法的應(yīng)用例9（E06）判別級數(shù)的斂散性.解 令由于從而由級數(shù)的收斂推知本題所給級數(shù)也收斂.例10 級數(shù) 當(dāng)時(shí)收斂, 有人說, 因?yàn)?故級數(shù)收斂. 你認(rèn)為他的說法對嗎?解 不對.前者級數(shù)的是一常數(shù)與無關(guān),而后者與有關(guān),事實(shí)上由級數(shù)的發(fā)散性,可知級數(shù)也發(fā)散.例11（E07）判別下列級數(shù)的收斂性：(1) ； (2) . 解 故級數(shù)收斂.故級數(shù)發(fā)散.例12（E08）判別級數(shù)的斂散性.解 因?yàn)槎鴮τ诩墧?shù)由比值判別法,因所以級數(shù)收斂,從而原級數(shù)亦收斂.例13 判別級數(shù)的收斂性.解 采用比較判別法,由于所以當(dāng)時(shí)，原級數(shù)收斂;當(dāng)時(shí)，原級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)，比值法失效,但此時(shí)注意到:數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)增加,且于是 即

6、 故由此得到所以當(dāng)時(shí)原級數(shù)發(fā)散.例14(E09(2)判別級數(shù)的收斂性.解 一般項(xiàng)含有次方, 故可采用根值判別法.因?yàn)楣仕蠹墧?shù)收斂.例15（E09(1)）判別級數(shù)的收斂性：解 因?yàn)橛筛蹬袆e法知題設(shè)級數(shù)收斂.例16 判別級數(shù)的收斂性.解 因?yàn)槎?故原級數(shù)收斂.課堂練習(xí)1.設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂, 能否推得收斂? 反之是否成立?2.判別下列級數(shù)的收斂性達(dá)朗貝爾（DAlember Jean Le Rond，17171783）達(dá)朗貝爾是法國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1717年11月17日生于法國巴黎；1783年10月29日卒于巴黎。達(dá)朗貝爾是私生子，出生不久便被母親遺棄在巴黎的圣.讓勒龍教堂的石階上。后被一憲兵發(fā)現(xiàn)

7、，臨時(shí)用該教堂的名字作為嬰兒的教名。姓氏達(dá)朗貝爾是他長大后自己取的。達(dá)朗貝爾少年時(shí)被父親送入一個(gè)教會(huì)學(xué)校，主要學(xué)習(xí)古典文學(xué)、修辭學(xué)和數(shù)學(xué)。他對數(shù)學(xué)特別有興趣，為后來成為著名數(shù)理科學(xué)家打下了基礎(chǔ)。達(dá)朗貝爾沒有受過正規(guī)的大學(xué)教育，靠自學(xué)掌握了牛頓和當(dāng)代著名數(shù)理科學(xué)家們的著作。1739年7月，他完成第一篇學(xué)術(shù)論文，以后兩年內(nèi)又向巴黎科學(xué)院提交了5篇學(xué)術(shù)報(bào)告，這些報(bào)告由A.C.克萊洛院士回去復(fù)。經(jīng)過幾次聯(lián)系后，達(dá)朗貝爾于1746年提升為數(shù)學(xué)副院士；1754年提升為終身院士。達(dá)朗貝爾的研究工作和論文寫作都以快速聞名。他進(jìn)入科學(xué)院后，就以克萊洛作為競爭對手，克萊洛研究的每一個(gè)課題，達(dá)朗貝爾幾乎都要研究，而

8、且盡快發(fā)表。多數(shù)情況下，達(dá)朗貝爾勝過克萊洛。這種競爭一直到克萊洛去世（1765）為止。達(dá)朗貝爾終生未婚，但長期與沙龍女主人J.de勒皮納斯在一起。他的生活與當(dāng)時(shí)哲學(xué)們一樣，上午到下午工作，晚上去沙龍活動(dòng)。1765年，達(dá)朗貝爾因病離開養(yǎng)父母的家，住到勒皮納斯小姐處。在她精心照料下恢復(fù)了健康，以后就繼續(xù)住在那里。1776年，勒皮納斯小姐去世，達(dá)朗貝爾非常悲痛；再加上工作的不順利，他的晚年是在失望中度過的，達(dá)朗貝爾去世后被安葬在巴黎市效墓地，由于他的反宗教表現(xiàn)，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。達(dá)朗貝爾是多產(chǎn)科學(xué)家，他對力學(xué)、數(shù)學(xué)和天文學(xué)的大量課題進(jìn)行了研究；論文和專著很多，還有大量學(xué)術(shù)通信。僅1805年和1821年在巴黎出版的達(dá)朗貝爾文集就有23卷。達(dá)