正交變換的等價條件及其應用

1、目 錄1引言2正交變換的定義及其等價條件2.1定義2.2等價條件3正交變換的應用3.1化二次型為標準形3.2解不變子空間相關問題3.3求解矩陣問題3.4求解歐氏空間中其它相關問題3.5在積分中的應用4結束語參考文獻致謝語正交變換的等價條件及其應用數(shù)學系2013級1班 許鵬指導教師：陳金梅摘 要: 正交變換在大學學習中是一個重要的概念,例如在代數(shù)中,它涉及到了線性代數(shù)中一大部分的基本概念,如矩陣、向量、線性變換、標準正交基等,深入探討研究這個課題對學好高等代數(shù)和線性代數(shù)十分有幫助.不僅如此,它在其他的領域也有著大范圍的普及,如在積分的應用中,在多重積分的方面。本文首先敘述了正交變換的最基礎的概念

2、,從它的定義開始,探究它在代數(shù)書中的一些特點和求解過程,主要就正交變換進行探索研究,得出它的幾種等價條件,為了體現(xiàn)它的重要作用,我們將做一些例證,舉例說明它的價值。關鍵詞:正交變換;標準正交基;內(nèi)積;正交矩陣。Equivalent Conditions of Orthogonal Transformation and Their ApplicationsXu pengClass 1, Mathematics DepartmentTutor:Chen JinMeiAbstract: Orthogonal transformation is an important concept in univ

3、ersity learning. For example, in algebra, it involves a basic concept of a large part of linear algebra, such as matrix, vector, linear transformation, standard orthogonal basis, and so on. It is very helpful to learn higher algebra and linear algebra, and it is also popular in other fields, such as

4、 in the application of integral points, in the case of multiple points. This paper first describes the most basic concept of orthogonal transformation, from its definition, to explore its characteristics in the algebra of the book and the process of solving the main orthogonal transformation to expl

5、ore the study, to obtain several of its equivalent conditions , In order to reflect its important role, we will do some examples, exemplify its value.Key words: Orthogonal transformation; standard orthogonal basis; inner product; orthogonal matrix.1引言我們熟知的正交變換在某些領域有著巨大作用，例如，近代數(shù)學，尤其是對科學技術。一些分析問題的出現(xiàn)，使

6、得它應該對其做出數(shù)學的研究和探討，其中代數(shù)方法有其顯著意義。該方法應用一些問題之后，使其求解過程化繁為簡，容易理解，易于解決。該變換在求解中時常用到，尤其在近代數(shù)學中應用廣泛。 在我們認識的歐幾里得空間中，一提到正交變換，大家都會想到它是線性變換，特點是向量長度不變，換句話說也就是向量內(nèi)積是恒定的。在幾何中，它有自己獨特的定義，即每個點與每個點的長度固定，當然了，它還是變換的一種。除此之外，由于內(nèi)積可以采用其他的方法得出結果，比如長度和夾角，所以，正交變換的描述途徑也多種多樣。數(shù)字中的聯(lián)系十分緊密，比如正交基與矩陣，還有二次型，正是由于它們之間不可分離的聯(lián)系，才有了等價條件，甚至于在高等代數(shù)的

7、一些方面，打下堅實的基礎，為研究提供了方便。在盧聯(lián)聯(lián)，朱世平的論文中闡述了正交變換的定、性質(zhì)及它的等價刻畫。對該變換在中學數(shù)學中的應用也有簡單介紹。在正交變換的幾個等價條件中高偉探討并詳細敘述該變換的等價刻畫。謝蜀忠在正交變換的若干應用中作以例證，對其應用進行深入的探究總結。該變換是中學數(shù)學學習過程中的一個關鍵結點，而代數(shù)與幾何形象而緊密的聯(lián)系，讓學生理解更加深刻。因此，本文在眾多學者對其討論與研究的基礎上，深層次的思考、探索該變換的等價條件，較為詳細的介紹歸納了其在數(shù)學物理等領域的應用。2正交變換的定義及其等價條件2.1定義定義1 ：。如果 則稱為空間的一個線性變換。定義2 ：,則稱為正交矩

8、陣定義3 ：若基 是的一個基，如果且都是，則稱是的一個。定義4在代數(shù)書中,若一個變換每個點與每個點的長度固定,則稱它是正交變換。在歐氏空間中，假定歐式空間的為，如果它，即對于任意的，都有.定義5 ：假定是上的,是的一個.如果中的在下的像仍屬于中，對于中任一向量，有，則稱是的。定義6 正交補：若滿足下面的條件則稱為的正交補。2.2等價條件定理1，:（1）是;（2）保正向量的長度不發(fā)生變化，則對于;（3）若是，則也是;（4）在任一組下的.證明如果是正交變換，那么兩邊開方即得反過來，如果保持向量的長度不變，那么，把最后的等式展開即得再利用前兩個等式，就有這就是說，是正交變換.設是一組標準正交基，即如

9、果是正交變換，那么這就是說，是標準正交基.反過來，如果是標準正交基，那么由與即得因而是正交變換.設在標準正交基下的矩陣為，即如果是，那么可以看作由正交基到的，因而是正交矩陣.反過來，如果是正交矩陣，那么就是.這樣，我們就證明了（1），（2），（3），（4）的等價性.3正交變換的應用3.1化二次型為標準形定理2 任意一個實二次型都可以經(jīng)過正交的線性替換變成平方和.例1 設二次型，試這把它轉(zhuǎn)變?yōu)闃藴市危懗鏊龅恼蛔儞Q.解 設此二次型的矩陣為，則=計算可得，所以的特征值為當時，得線性無關的特征向量當時，得線性無關的特征向量將它們單位化，得令，則為正交矩陣，于是作正交變換所求標準形為.例2 用正

10、交變換化二次型為標準型解：二次型矩陣由當時，解方程. 對做初等變換屬于1的為將正交化 ，將單位化當時，令 則正交變換在于轉(zhuǎn)化二次型方面有著特殊的作用和意義，比配方法要簡單、準確。3.2解不變子空間相關問題 例3 證明:，那么的的也是的.證明 設是的任意一個不變子空間，取為的一組標準正交基，把它擴充成的一組，那么因為為，所以也是，又由于是的不變子空間，所以是的一組，而，任取，那么故是的不變子空間.3.3求解矩陣問題例4 對于的線性變換.證明:若是，則是正交變換.證 對任意，當時正交矩陣時，有可見是正交變換.3.4求解歐氏空間中其它相關問題例5 ，定義.證明：(1)是正交變換，這樣的正交變換成為鏡

11、面反射；(2) 是第二類的.證:(1)對歐式空間中任意元素和實數(shù)有所以是線性的，又有因為，所以,故為正交變換.(2) 由于是單位向量，將它擴充成空間的一組標準正交基由于于是因為，所以是第二類的.例6 求證:證明 設是歐氏空間的一個變換，滿足只要證明:是的線性變換，那么由的等價條件即證.，有= = = 所以.即有 同理，由，可證 由，即證是的線性變化，又保持內(nèi)積不變，從而是的正交變換.例7設是維歐氏空間中一個單位向量，定義 證明:是第二類（行列式等于）的正交變換.證 先證是的線性變換.由有.于是是線性變換.由是單位向量，從出發(fā)擴大為的一組標準正交基，則由知. 其中為正交矩陣，故是正交變換.再由知

12、是第二類正交變換.3.5在積分中的應用在我們熟知的多元函數(shù)積分中在某些數(shù)學領域也有著重大的影響，它的換元法在一些計算中作用巨大，例如在積分的計算里。而換元的意義是為了把被積分的函數(shù)變得易于計算，或者是使積分這一部分變得簡單、容易理解和轉(zhuǎn)化，但換元具有不確定性,并對于使用者會有一定的挑戰(zhàn)，所以在把新的積分變量帶入到式子中時，我們一定要同一時間照顧到被積函數(shù)和積分區(qū)域的變化和性質(zhì).例8：對于上連續(xù)函數(shù),有證明: 若，原式= 等式顯然成立，因此可設,把單位向量擴充成一正交矩陣 作正交變換而 ，變?yōu)?，由上式得于是由三重積分變數(shù)替換公式得：所以=4結束語本文主要介紹這個大方向下的等價條件，其中融入了許

13、多知名學者的豐富經(jīng)驗與結果，對有關的計算與應用做了進一步的探索與深入學習，讓我們從多方面認識到了正交變換的重要程度，從而為它在實際應用的推廣奠定了可靠的學術基礎。參考文獻1盧聯(lián)聯(lián)、朱世平.正交變換的等價刻劃及應用J.林區(qū)教學,2014,203(2):79-80.2李秀英.關于正交變換的定義及其幾個等價命題J.通化師院學報,1998,(6):32-35.3游家樺.正交變換在積分中的應用J.貴陽金筑大學學報,2003,51(3)：102-1044北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第3版)M.北京: 高等教育出版社,20035李炯生,查建國,王新茂.線性代數(shù)(第2版)M.合肥:中國科技大學出版社， 20106楊永保 正交變換的兩個等價條件的分析J.甘肅聯(lián)合大學學報（自然科學報）.2006(02)7高偉.正交變換的幾個等價條件J.南通紡織職業(yè)技術學院學報,2008(06).8張力宏等.歐式空間中正交變換的幾個等價條件J.松遼學刊,1997,10(3):37-399謝蜀忠.正交變換的若干應用J.天津職業(yè)技術師院,1994,2(45):158-159.10林元重.正交變換在曲線、曲面積分中應用 J.數(shù)學通報1996(12);145147.致謝語本人的學位論文是在我的導師陳金梅老師的親切關懷和悉心指導下完成的。她嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神，精益求精的工作作風，