利用換元法解方程(組)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第6講 利用換元法解方程一、方法技巧（一）換元法解方程是用新元代替方程中含有未知數(shù)的某個部分，達到化簡的目的.（二）運用換元法解方程，主要有三種類型：分式方程、無理方程、整式（高次）方程.解分式方程、無理方程、整式(高次)方程的基本思想是將分式方程化為整式方程、無理方程化為有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）換元的方法是以所討論方程的特有性質(zhì)為依據(jù)的，不同的方程就有不同的換元方法，因此，這種方法靈活性大，技巧性強恰當?shù)負Q元，可將復雜方程化簡，以便尋求解題的途徑常用換元方法有局部換元、均值換元、倒數(shù)換元、常數(shù)換元等例如： ，可使用局部換元法，設 ，變形后也可使用局

2、部換元法，設 ，看著很繁冗，變形整理成時，就可使用局部換元法. ，可設，方程變成，使方程變得易解，這是均值換元法. ，符合與中間項等距離的項的系數(shù)相等，如與，與系數(shù)相等，可構(gòu)造換元，是倒數(shù)換元法. ，不易求解，若反過來看，把設看作已知數(shù)，把設為設，則方程就變成， 數(shù)字換元法不常用，但不失為一種巧妙的解題方法. 有時根據(jù)方程各部分特點可設雙元，達到化繁為簡，求解的目的. 例如： 觀察發(fā)現(xiàn)，故可設，原方程變?yōu)?，方程由繁變簡，可得?（四）本講注重研究用換元法解方程的技能、技巧拓寬學生知識面，培養(yǎng)學生學習和研究數(shù)學的興趣.二、應用舉例類型一 局部換元（高次方程）【例題1】解方程：【答案】，【解析】試

3、題分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，故設，原方程變形為，可把高次方程降次，轉(zhuǎn)化為可解的一元二次方程.試題解析：解：設，則原方程變形為， 解得， 由得，解得， 由得，解得， 方程的解是，【難度】較易（分式方程）【例題2】解方程：【答案】，【解析】試題分析：括號里的分式相同，由這個特點，可以用換元法來解.試題解析：解：設，于是原方程變形為解得，當時，解得，當時，解得經(jīng)檢驗，均為原方程的根.方程的解是，【難度】較易【例題3】已知實數(shù)滿足，那么的值是（ ）【答案】【解析】試題分析：由于 ，故設，可解.試題解析：解：設，原方程化簡得，解得，由化簡得，0 ，無解，舍去點評 ：方程中并無“相同”的部分時，可通過代數(shù)式間的

4、關(guān)系變形構(gòu)造出“相同”部分，設元.【難度】一般（無理方程）【例題4】解方程：【答案】，【解析】試題分析：這是一個根號里含有分式的無理方程，也可通過換元后求解，通過變形發(fā)現(xiàn)，與互為倒數(shù)，可設，則原方程變形為，無理方程化為有理方程.試題解析：解：設，則原方程變形為 整理得解得， 當時，解得當時，解得經(jīng)檢驗，都是原方程的根.原方程的解是，【難度】一般【例題5】解方程【答案】， 【解析】試題分析：注意到原方程可變?yōu)椋稍O兩個未知數(shù)，利用韋達定理求解.試題解析：解：設， 原方程變?yōu)?又 ，即根據(jù)韋達定理，是方程的根解得，舍去即或故 或 解得， 經(jīng)檢驗，是原方程的解 方程的解是， 【難度】一般類型二 均值

5、換元【例題6】解方程： 【答案】，【解析】試題分析：觀察方程可知，適合使用均值法換元，故設可達到降次目的.試題解析：解：設，原方程變?yōu)檎淼?解得（舍），即，由，得由，得原方程的解為，點評：一般形如的方程可用均值法，設進行代換，化原方程為雙二次方程求解.【難度】較難類型三 倒數(shù)換元【例題7】解方程：【答案】，, ，【解析】試題分析：本題的特點是：按降冪排列后，與中間項等距離的項的系數(shù)相等，如與，與系數(shù)相等，可構(gòu)造換元.試題解析：解：顯然不是方程的解，故用除方程兩邊，整理得， 設，則， 上式變?yōu)?，整理得解得?由，解得，由，解得，點評：形如的方程稱為倒數(shù)方程，其特點是，按某一字母降冪排列后，與中

6、間項等距離的項的絕對值相等，其解法是，用除各項，構(gòu)造，使原方程變?yōu)橐辉畏匠痰媒?【難度】較難類型四 常數(shù)換元【例題8】解方程【答案】，【解析】試題分析：這是三次方程，且系數(shù)中含無理數(shù)，不易求解，若反過來看，把設看作已知數(shù)，把設為設，則方程就變成關(guān)于的一元二次方程.試題解析：解：設 則原方程變形為 即整理得 或 解得，【難度】困難三、實戰(zhàn)演練類型一 局部換元（高次方程）1.已知，則的值為（ ）【答案】1【解析】試題分析：解題時把當成一個整體考慮，再求解就比較簡單.試題解析：解：設，則原方程變形為，整理得，解得，的值是1【難度】較易2.解方程：【答案】，【解析】試題分析：觀察可知，方程整理后，

7、可用換元法降次.試題解析：解：方程整理后設，則原方程變?yōu)榻獾?，由，得，解得，由，得，解得，原方程的解是，【難度】較易3.方程，如果設，那么原方程可變形為（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析:注意到與互為相反數(shù)，只有符號要變化，可利用換元法變形.試題解析：解：設，則用表示后代入方程得故選D.【難度】較易4.解方程：【答案】，【解析】試題分析：1.以為一個整體換元，因此要對方程進行變形使其含有.2.把方程展開成標準的雙次方程，再對進行換元.試題解析：解法一：原方程可化為，設，得，解得，由，解得，由，無實根方程的解是，解法二：由方程得，設 得，解得，（舍去）由，解得，方程的解是，點

8、評：換元的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造方程中表達形式相同的部分作為換元對象.在解方程的過程中換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時，只要能達到將次目的的換元方法都可以應用.【難度】較易（分式方程）5.解方程【答案】，【解析】試題分析：方程左邊分式分母為，可將右邊看成一個整體，然后用換元法解.試題解析：解：設，則原方程變形為 解得， 當時，0，此方程無實根 當時， ， 解得， 經(jīng)檢驗，都是原方程的根.【難度】較易6.解方程：【答案】，【解析】試題分析：整理后發(fā)現(xiàn)，故，就可換元解題了試題解析：解：方程整理后變?yōu)?，兩邊?得設，則原方程變?yōu)檎淼媒獾?，（舍去）由得，解得，?jīng)檢驗，是原方程的解方程的解是，【難

9、度】較易7.解方程【答案】，【解析】試題分析：觀察到，設，原方程可化為，由繁變簡，可解.試題解析：解：原方程變形得，即設，則原方程變?yōu)檎淼媒獾?，由得，解得由得，解得，?jīng)檢驗，都是原方程的解.原方程的解是，【難度】一般8.解方程：【答案】， ，【解析】試題分析：觀察可發(fā)現(xiàn)，而，故可設為輔助元，可得解.試題解析：解：將原方程轉(zhuǎn)化為設，則原方程轉(zhuǎn)化為解得，當時，解得，當時，解得，經(jīng)檢驗， ，都是原方程的解所以，原方程的解是， ，【難度】一般9.解方程:【答案】，【解析】試題分析：這個方程左邊兩個分式互為倒數(shù)關(guān)系，抓住這一特點，可設試題解析：解：設，則原方程可化為，即，解得由，得解得：，經(jīng)檢驗，都是

10、原方程的根點評：解有倒數(shù)關(guān)系的分式方程時，常把原方程中的一個分式作為整體進行換元，換元時要注意分子、分母互換時分式可以用一個新元和它的倒數(shù)來表示，即形如的方程，可設【難度】較易10.解方程：【答案】，【解析】試題分析：觀察方程的分母，發(fā)現(xiàn)各分母均是關(guān)于的二次三項式，僅常數(shù)項不同，抓住這一特點，可設試題解析：解：設，原方程可化為 ，即， 即， 解得：， 由，解得， 由，0，方程無解 經(jīng)檢驗，都是原方程的解. 方程的解是，【難度】較難11.解方程：【答案】，【解析】試題分析：觀察方程的分母，發(fā)現(xiàn)三個分母都是關(guān)于的二次三項式，僅一次項不同，抓住這一特點，可設試題解析：解：設，則原方程可化為整理得：解

11、得：，由，解得，由，解得，經(jīng)檢驗知，它們都是原方程的解.點評：以上三個例子可以看出，換元時必須對原方程仔細觀察、分析，抓住方程的特點，恰當換元，花繁為簡，達到解方程的目的.【難度】較難（雙元換元）12.解方程： 【答案】，【解析】試題分析：本題整理后，發(fā)現(xiàn)，設，可得，利用韋達定理可求解.試題解析：解：設， 可得， 由韋達定理，知，是方程的兩根 解得，即或即或經(jīng)檢驗，都是原方程的根.所以方程的解是，【難度】較難13【答案】，【解析】試題分析：觀察發(fā)現(xiàn)，故可設，原方程變?yōu)椋匠逃煞弊兒?，可得解試題解析：解：設，原方程變?yōu)?，即或即或解得，方程的解是?點評：對于本題這樣繁冗的方程，直接展開求解不可取

12、，可通過觀察，找到代數(shù)式間的聯(lián)系，不妨設兩個輔助元，將方程變形，目的是使方程有繁變簡，可解.【難度】較難（無理方程）14.解方程：【答案】【解析】試題分析：解無理方程的基本思想是將其轉(zhuǎn)化為有理方程，通常是設根式為元，本題的兩根式存在的關(guān)系，故設一個輔助元即可.試題解析：解：設，則，即原方程可化為變形為兩邊平方，并整理得由，解得經(jīng)檢驗是原方程的解點評：解無理方程時，常把方程中的一個含有未知數(shù)的根式作為整體換元，達到化去根號轉(zhuǎn)化為可解的方程的目的.【難度】一般15.解方程組：【答案】【解析】試題分析：此題是整式方程與無理方程合并的方程組，解題時應從無理方程出發(fā)，將其化為有理方程求解.試題解析：解：

13、設，則原方程組可化為：由（2）得，（3）將（3）代入（1），得，解得， （不能為負）得，解得經(jīng)檢驗，知是原方程組的解原方程組的解為點評：妙用換元法，將無理方程組化為有理方程組，從而把繁雜而生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單而熟悉的問題.【難度】一般16.解方程： 【答案】，【解析】試題分析：由于根號里面與根號外面，對應系數(shù)成比例，故可以將其變形， 不難找到輔助元.試題解析：解：設，則原方程可以化為 解得（舍去）， 即，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解.點評：以前學過的取平方去根號法解無理方程，是種普遍方法.現(xiàn)在的換元法必須構(gòu)造出根號內(nèi)外兩個相同的式子才行.【難度】較難類型二 均值換元17.解方程：【答案】，【解析

14、】試題分析：方程的左邊是四個二項式乘積，故展開求解不可取，應通過觀察找突破口，左邊重組后，可設元求解.試題解析：解：原方程變形后 整理后得 設 方程可變?yōu)椋?解得， 由得，解得， 由得，解得， 方程的解是，點評：本題也可設為輔助元，但沒有均值法計算快捷，恰當?shù)闹亟M變形得到是解本題的關(guān)鍵.【難度】一般18.解方程：【答案】，【解析】試題分析：方程左邊四個二次項的乘積，顯然展開求解不可取，可嘗試變形后，取均值，將其由繁變簡.試題解析：解：方程變形為 設原方程變成整理得解得或（舍去），即或解得，【難度】較難類型三 倒數(shù)換元19.解方程：【答案】，【解析】試題分析：此題符合倒數(shù)方程的特點：按降冪排列后，與中間項等距離的項的系數(shù)相等，兩邊同時除以，