利用換元法解方程(組)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第6講 利用換元法解方程一、方法技巧（一）換元法解方程是用新元代替方程中含有未知數(shù)的某個(gè)部分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.（二）運(yùn)用換元法解方程，主要有三種類型：分式方程、無理方程、整式（高次）方程.解分式方程、無理方程、整式(高次)方程的基本思想是將分式方程化為整式方程、無理方程化為有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）換元的方法是以所討論方程的特有性質(zhì)為依據(jù)的，不同的方程就有不同的換元方法，因此，這種方法靈活性大，技巧性強(qiáng)恰當(dāng)?shù)負(fù)Q元，可將復(fù)雜方程化簡(jiǎn)，以便尋求解題的途徑常用換元方法有局部換元、均值換元、倒數(shù)換元、常數(shù)換元等例如： ，可使用局部換元法，設(shè) ，變形后也可使用局

2、部換元法，設(shè) ，看著很繁冗，變形整理成時(shí)，就可使用局部換元法. ，可設(shè)，方程變成，使方程變得易解，這是均值換元法. ，符合與中間項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等，如與，與系數(shù)相等，可構(gòu)造換元，是倒數(shù)換元法. ，不易求解，若反過來看，把設(shè)看作已知數(shù)，把設(shè)為設(shè)，則方程就變成， 數(shù)字換元法不常用，但不失為一種巧妙的解題方法. 有時(shí)根據(jù)方程各部分特點(diǎn)可設(shè)雙元，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，求解的目的. 例如： 觀察發(fā)現(xiàn)，故可設(shè)，原方程變?yōu)椋匠逃煞弊兒?jiǎn)，可得解.（四）本講注重研究用換元法解方程的技能、技巧拓寬學(xué)生知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的興趣.二、應(yīng)用舉例類型一 局部換元（高次方程）【例題1】解方程：【答案】，【解析】試

3、題分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，故設(shè)，原方程變形為，可把高次方程降次，轉(zhuǎn)化為可解的一元二次方程.試題解析：解：設(shè)，則原方程變形為， 解得， 由得，解得， 由得，解得， 方程的解是，【難度】較易（分式方程）【例題2】解方程：【答案】，【解析】試題分析：括號(hào)里的分式相同，由這個(gè)特點(diǎn)，可以用換元法來解.試題解析：解：設(shè)，于是原方程變形為解得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得經(jīng)檢驗(yàn)，均為原方程的根.方程的解是，【難度】較易【例題3】已知實(shí)數(shù)滿足，那么的值是（ ）【答案】【解析】試題分析：由于 ，故設(shè)，可解.試題解析：解：設(shè)，原方程化簡(jiǎn)得，解得，由化簡(jiǎn)得，0 ，無解，舍去點(diǎn)評(píng) ：方程中并無“相同”的部分時(shí)，可通過代數(shù)式間的

4、關(guān)系變形構(gòu)造出“相同”部分，設(shè)元.【難度】一般（無理方程）【例題4】解方程：【答案】，【解析】試題分析：這是一個(gè)根號(hào)里含有分式的無理方程，也可通過換元后求解，通過變形發(fā)現(xiàn)，與互為倒數(shù)，可設(shè)，則原方程變形為，無理方程化為有理方程.試題解析：解：設(shè)，則原方程變形為 整理得解得， 當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根.原方程的解是，【難度】一般【例題5】解方程【答案】， 【解析】試題分析：注意到原方程可變?yōu)?，可設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理求解.試題解析：解：設(shè)， 原方程變?yōu)?又 ，即根據(jù)韋達(dá)定理，是方程的根解得，舍去即或故 或 解得， 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解 方程的解是， 【難度】一般類型二 均值

5、換元【例題6】解方程： 【答案】，【解析】試題分析：觀察方程可知，適合使用均值法換元，故設(shè)可達(dá)到降次目的.試題解析：解：設(shè)，原方程變?yōu)檎淼?解得（舍），即，由，得由，得原方程的解為，點(diǎn)評(píng)：一般形如的方程可用均值法，設(shè)進(jìn)行代換，化原方程為雙二次方程求解.【難度】較難類型三 倒數(shù)換元【例題7】解方程：【答案】，, ，【解析】試題分析：本題的特點(diǎn)是：按降冪排列后，與中間項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等，如與，與系數(shù)相等，可構(gòu)造換元.試題解析：解：顯然不是方程的解，故用除方程兩邊，整理得， 設(shè)，則， 上式變?yōu)椋淼媒獾茫?由，解得，由，解得，點(diǎn)評(píng)：形如的方程稱為倒數(shù)方程，其特點(diǎn)是，按某一字母降冪排列后，與中

6、間項(xiàng)等距離的項(xiàng)的絕對(duì)值相等，其解法是，用除各項(xiàng)，構(gòu)造，使原方程變?yōu)橐辉畏匠痰媒?【難度】較難類型四 常數(shù)換元【例題8】解方程【答案】，【解析】試題分析：這是三次方程，且系數(shù)中含無理數(shù)，不易求解，若反過來看，把設(shè)看作已知數(shù)，把設(shè)為設(shè)，則方程就變成關(guān)于的一元二次方程.試題解析：解：設(shè) 則原方程變形為 即整理得 或 解得，【難度】困難三、實(shí)戰(zhàn)演練類型一 局部換元（高次方程）1.已知，則的值為（ ）【答案】1【解析】試題分析：解題時(shí)把當(dāng)成一個(gè)整體考慮，再求解就比較簡(jiǎn)單.試題解析：解：設(shè)，則原方程變形為，整理得，解得，的值是1【難度】較易2.解方程：【答案】，【解析】試題分析：觀察可知，方程整理后，

7、可用換元法降次.試題解析：解：方程整理后設(shè)，則原方程變?yōu)榻獾茫?，得，解得，由，得，解得，原方程的解是，【難度】較易3.方程，如果設(shè)，那么原方程可變形為（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析:注意到與互為相反數(shù)，只有符號(hào)要變化，可利用換元法變形.試題解析：解：設(shè)，則用表示后代入方程得故選D.【難度】較易4.解方程：【答案】，【解析】試題分析：1.以為一個(gè)整體換元，因此要對(duì)方程進(jìn)行變形使其含有.2.把方程展開成標(biāo)準(zhǔn)的雙次方程，再對(duì)進(jìn)行換元.試題解析：解法一：原方程可化為，設(shè)，得，解得，由，解得，由，無實(shí)根方程的解是，解法二：由方程得，設(shè) 得，解得，（舍去）由，解得，方程的解是，點(diǎn)

8、評(píng)：換元的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造方程中表達(dá)形式相同的部分作為換元對(duì)象.在解方程的過程中換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時(shí)，只要能達(dá)到將次目的的換元方法都可以應(yīng)用.【難度】較易（分式方程）5.解方程【答案】，【解析】試題分析：方程左邊分式分母為，可將右邊看成一個(gè)整體，然后用換元法解.試題解析：解：設(shè)，則原方程變形為 解得， 當(dāng)時(shí)，0，此方程無實(shí)根 當(dāng)時(shí)， ， 解得， 經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根.【難度】較易6.解方程：【答案】，【解析】試題分析：整理后發(fā)現(xiàn)，故，就可換元解題了試題解析：解：方程整理后變?yōu)椋瑑蛇吋?得設(shè)，則原方程變?yōu)檎淼媒獾?，（舍去）由得，解得，?jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解方程的解是，【難

9、度】較易7.解方程【答案】，【解析】試題分析：觀察到，設(shè)，原方程可化為，由繁變簡(jiǎn)，可解.試題解析：解：原方程變形得，即設(shè)，則原方程變?yōu)檎淼媒獾茫傻?，解得由得，解得，?jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解.原方程的解是，【難度】一般8.解方程：【答案】， ，【解析】試題分析：觀察可發(fā)現(xiàn)，而，故可設(shè)為輔助元，可得解.試題解析：解：將原方程轉(zhuǎn)化為設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為解得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，經(jīng)檢驗(yàn)， ，都是原方程的解所以，原方程的解是， ，【難度】一般9.解方程:【答案】，【解析】試題分析：這個(gè)方程左邊兩個(gè)分式互為倒數(shù)關(guān)系，抓住這一特點(diǎn)，可設(shè)試題解析：解：設(shè)，則原方程可化為，即，解得由，得解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，都是

10、原方程的根點(diǎn)評(píng)：解有倒數(shù)關(guān)系的分式方程時(shí)，常把原方程中的一個(gè)分式作為整體進(jìn)行換元，換元時(shí)要注意分子、分母互換時(shí)分式可以用一個(gè)新元和它的倒數(shù)來表示，即形如的方程，可設(shè)【難度】較易10.解方程：【答案】，【解析】試題分析：觀察方程的分母，發(fā)現(xiàn)各分母均是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，僅常數(shù)項(xiàng)不同，抓住這一特點(diǎn)，可設(shè)試題解析：解：設(shè)，原方程可化為 ，即， 即， 解得：， 由，解得， 由，0，方程無解 經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解. 方程的解是，【難度】較難11.解方程：【答案】，【解析】試題分析：觀察方程的分母，發(fā)現(xiàn)三個(gè)分母都是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，僅一次項(xiàng)不同，抓住這一特點(diǎn)，可設(shè)試題解析：解：設(shè)，則原方程可化為整理得：解

11、得：，由，解得，由，解得，經(jīng)檢驗(yàn)知，它們都是原方程的解.點(diǎn)評(píng)：以上三個(gè)例子可以看出，換元時(shí)必須對(duì)原方程仔細(xì)觀察、分析，抓住方程的特點(diǎn)，恰當(dāng)換元，花繁為簡(jiǎn)，達(dá)到解方程的目的.【難度】較難（雙元換元）12.解方程： 【答案】，【解析】試題分析：本題整理后，發(fā)現(xiàn)，設(shè)，可得，利用韋達(dá)定理可求解.試題解析：解：設(shè)， 可得， 由韋達(dá)定理，知，是方程的兩根 解得，即或即或經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根.所以方程的解是，【難度】較難13【答案】，【解析】試題分析：觀察發(fā)現(xiàn)，故可設(shè)，原方程變?yōu)?，方程由繁變?jiǎn)，可得解試題解析：解：設(shè)，原方程變?yōu)?，即或即或解得，方程的解是?點(diǎn)評(píng)：對(duì)于本題這樣繁冗的方程，直接展開求解不可取

12、，可通過觀察，找到代數(shù)式間的聯(lián)系，不妨設(shè)兩個(gè)輔助元，將方程變形，目的是使方程有繁變簡(jiǎn)，可解.【難度】較難（無理方程）14.解方程：【答案】【解析】試題分析：解無理方程的基本思想是將其轉(zhuǎn)化為有理方程，通常是設(shè)根式為元，本題的兩根式存在的關(guān)系，故設(shè)一個(gè)輔助元即可.試題解析：解：設(shè)，則，即原方程可化為變形為兩邊平方，并整理得由，解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解點(diǎn)評(píng)：解無理方程時(shí)，常把方程中的一個(gè)含有未知數(shù)的根式作為整體換元，達(dá)到化去根號(hào)轉(zhuǎn)化為可解的方程的目的.【難度】一般15.解方程組：【答案】【解析】試題分析：此題是整式方程與無理方程合并的方程組，解題時(shí)應(yīng)從無理方程出發(fā)，將其化為有理方程求解.試題解析：解：

13、設(shè)，則原方程組可化為：由（2）得，（3）將（3）代入（1），得，解得， （不能為負(fù)）得，解得經(jīng)檢驗(yàn)，知是原方程組的解原方程組的解為點(diǎn)評(píng)：妙用換元法，將無理方程組化為有理方程組，從而把繁雜而生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單而熟悉的問題.【難度】一般16.解方程： 【答案】，【解析】試題分析：由于根號(hào)里面與根號(hào)外面，對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，故可以將其變形， 不難找到輔助元.試題解析：解：設(shè)，則原方程可以化為 解得（舍去）， 即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解.點(diǎn)評(píng)：以前學(xué)過的取平方去根號(hào)法解無理方程，是種普遍方法.現(xiàn)在的換元法必須構(gòu)造出根號(hào)內(nèi)外兩個(gè)相同的式子才行.【難度】較難類型二 均值換元17.解方程：【答案】，【解析

14、】試題分析：方程的左邊是四個(gè)二項(xiàng)式乘積，故展開求解不可取，應(yīng)通過觀察找突破口，左邊重組后，可設(shè)元求解.試題解析：解：原方程變形后 整理后得 設(shè) 方程可變?yōu)椋?解得， 由得，解得， 由得，解得， 方程的解是，點(diǎn)評(píng)：本題也可設(shè)為輔助元，但沒有均值法計(jì)算快捷，恰當(dāng)?shù)闹亟M變形得到是解本題的關(guān)鍵.【難度】一般18.解方程：【答案】，【解析】試題分析：方程左邊四個(gè)二次項(xiàng)的乘積，顯然展開求解不可取，可嘗試變形后，取均值，將其由繁變簡(jiǎn).試題解析：解：方程變形為 設(shè)原方程變成整理得解得或（舍去），即或解得，【難度】較難類型三 倒數(shù)換元19.解方程：【答案】，【解析】試題分析：此題符合倒數(shù)方程的特點(diǎn)：按降冪排列后，與中間項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等，兩邊同時(shí)除以，