畢業(yè)論文淺談無窮級數(shù)的求和

1、淺談無窮級數(shù)的求和Investigate of the summation of infinite series 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校二一 摘 要本文介紹了運用裂項相消, 錯位相減, 逐項微分, 逐項積分, 運用特殊級數(shù)的和這幾種方法求級數(shù)的和, 并通過實例說明了這些方法的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: 級數(shù); 求和; 冪級數(shù); 傅里葉級數(shù)AbstractIn this paper, we discuss the methods of the summation substraction by partition terms or misplace, differentiatio

2、n term by term, integration term by term and the summation of the special series. Some examples are illustrated to the applications of these methods.Keywords: series; summation; power series; Fourier series 目 錄摘 要IABSTRACTII0 引言11 裂項相消法12 錯位相減法23 逐項微分法64 逐項積分法85 運用特殊級數(shù)的和求和法9參考文獻13 0 引言無窮級數(shù)(簡稱級數(shù))是高等數(shù)

3、學(xué)的一個重要組成部分. 它是表示函數(shù), 研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種重要工具. 眾所周知, 收斂級數(shù)都有和, 然而求出收斂級數(shù)的和常常是較困難的. 因此, 本文將討論運用裂項相消, 錯位相減, 逐項微分, 逐項積分, 運用特殊級數(shù)的和來求級數(shù)的和, 并通過實例說明了這些方法的應(yīng)用.為行文的簡潔, 本文中未特別申明的符號與文獻1一致.1 裂項相消法設(shè), , 則的部分和為.若 , 則.也就是說的和為 .我們稱上述求級數(shù)和的方法為裂項相消法.利用裂項相消法求級數(shù)的和, 關(guān)鍵是怎樣將級數(shù)的通項拆成前后有抵消部分的形式, 通常經(jīng)過變形, 有理化分子或分母, 三角函數(shù)恒等變形等處理可達到裂項相消的目

4、的. 以下用具體例子來進行說明.例1 求無窮級數(shù)的和.解 因為 , 所以, 于是.所以.如果一個級數(shù)的通項是一個三角函數(shù)式, 則可考慮利用三角函數(shù)公式, 將其化簡為兩式之差以便運用裂項相消法.例2 求級數(shù) 的和. 解 先考慮變換問題的數(shù)學(xué)形式, 由 ,聯(lián)想到正切的差角公式, 再設(shè) , 則原級數(shù)的部分和為所以.如果一個級數(shù)的通項是一個分母為若干根式之積的分式, 則可考慮將其分母或分子有理化以便運用裂項相消法.例3 求和.解 先對通項分母中的和式進行有理化, 得,于是, 有 ,所以 .2 錯位相減法設(shè)為等差數(shù)列, 公差為, 為等比數(shù)列, 公比為, 則稱為混合級數(shù),這類級數(shù)的求和問題一般采用錯位相減

5、法.事實上, 設(shè), (1)兩邊同時乘以公比得, 即, (2)(5)式減去(6)式得, . 我們這種求級數(shù)和的方法為錯位相減法.例4 求級數(shù)的和.解 因為 , (3), (4)(7)式減去(8)得, 即, 于是,所以 , 故 .3 逐項微分法定理 若在上, 的每一項都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)一致收斂于, 又收斂于, 則, 即,且一致收斂于.這定理說明了和號同求導(dǎo)運算可以交換, 它也稱為逐項微分的定理. 但要注意的是, 僅僅在條件“一致收斂”之下, 即使存在且連續(xù), 也不能保證和號同求導(dǎo)數(shù)號可以交換.例5 求級數(shù)的和.解 令,在收斂域內(nèi)逐項微分, 得.注意到, 所以,于是當(dāng)時, 有.例6 求級數(shù).解 令,逐項

6、求導(dǎo)得,所以.因為級數(shù)在處收斂, 所以,即.例7 求級數(shù)的和函數(shù).解 , 令,所以, .例8 求冪級數(shù)的和.解 在 上對逐項求導(dǎo), 可知,.由此可得 . 在這兩端乘以 , 我們有,解得.4 逐項積分法定理2 設(shè)在上一致收斂于, 并且每一都在上連續(xù), 則,亦即和號可以與積分號交換. 又在上, 函數(shù)項級數(shù)也一致收斂于. 該定理也稱為逐項積分定理.例9 求級數(shù)的和.解 令, 其收斂域為, 在收斂域內(nèi)逐項積分, 得其中, 于是.例10 求下列級數(shù)的和(1) ; (2) .解 (1) 在 上對作逐項積分, 可知 (2) 對 , 令 , 有由此知 . 對 , 令 , 有,由此可得 .5 運用特殊級數(shù)的和求

7、和法這種方法的基本思想是: 將待求和的級數(shù)用一些已知級數(shù)來表示, 通過代入已知級數(shù)求得待求級數(shù)的和. 以下運用例子來說明該方法.例11 求.解 原式可以用級數(shù)表示如下.考慮級數(shù), 其收斂半徑為1, 故當(dāng)時收斂, 設(shè)其和函數(shù)為, 下面在區(qū)間內(nèi)求. 由于,所以 令, 即得.例12 (1)求級數(shù)的和;(2)求級數(shù)的和.解 (1) 由于所以, 故.(2) 因為 ,所以, 從而.例13 求下列級數(shù)的和:(1); (2).解 (1)由于, 令,得的和, 因此.(2)由于當(dāng)時, 有 , 故令即得,于是有 .例14 求下列常數(shù)項級數(shù)之和:(1) ;(2) ; (3) .解 將在內(nèi)展開為正弦級數(shù)有,所以.(1)

8、 當(dāng)時, 有.(2) 當(dāng)時, 有.(3) 當(dāng)時, 有.例15 求的和.解 將函數(shù).令, 則.例16 求和.解 令 , 則. 因為,按實部和虛部分別相等的關(guān)系, 即得.利用四則運算等將所給級數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程再求解, 這種思維方式和求解方法與錯位相減法類似, 只不過在錯位相減法中兩邊同乘的是等比級數(shù)的公比, 在這里則需依具體情況而定, 同乘以關(guān)于的某個代數(shù)式再兩式相減以得化簡.例17 求級數(shù)的和.解 因為該級數(shù)的收斂半徑,又因為當(dāng)., 則 , (5), (6)(9)式減去(10)得,故.轉(zhuǎn)化為微分方程求解, 即研究它的導(dǎo)數(shù)或其與它本身有何特點及相關(guān)聯(lián)系, 看其是否滿足某微分方程及定解條件. 找出求

9、和級數(shù)所滿足的微分方程及定解條件, 再解該方程.致謝 本文是在 的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在此對涂老師表示衷心的感謝!參考文獻1 劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義(下冊)M, 北京: 高等教育出版社, 2003.2 陳傳璋. 數(shù)學(xué)分析講義下冊J, 北京: 高等教育出版社， 2004.3 張春平. 無窮級數(shù)的求和探討J, 沈陽師范大學(xué)學(xué)報, (3) 2008, 20-21.4 鄭春雨. 數(shù)項級數(shù)和的求法例談J, 海南廣播電視大學(xué)學(xué)報, (3)2006, 96-97.5 蔡炯輝. 胡曉敏, 收斂級數(shù)求和的初等方法J, 玉溪師范學(xué)院院報, (6)2006, 95-98.6 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系, 數(shù)學(xué)分析下冊(第三版)M, 北京:高等教育出版社, 2003.7 汪曉勤, 韓祥臨. 中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史M, 北京: 科學(xué)出版社, 2002.8 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室, 高等數(shù)學(xué)(下冊), 北京: 高等教育出版社, 1996. 9 宣立新主編. 高等教育(上、下冊), 北京: 高等教育出版社, 2000.10 高建福. 無窮級數(shù)與連分?jǐn)?shù)M, 合肥: 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2007, 43.11 朱文輝, 張亭. p級數(shù)的求和J, 大學(xué)數(shù)學(xué), (3) 2005, 114-11612 R.R. Go