柯西不等式習(xí)題

1、 新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修4-5柯西不等式教學(xué)題庫(kù)大全一、二維形式的柯西不等式二、二維形式的柯西不等式的變式三、二維形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口號(hào)說(shuō)：有條件要用；沒(méi)有條件，創(chuàng)造條件也要用。比如說(shuō)吧，對(duì)a2 + b2 + c2，并不是不等式的形狀，但變成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常數(shù)：例1：設(shè)、為正數(shù)且各不相等。求證：（2）重新安排某些項(xiàng)的次序：例2：、為非負(fù)數(shù)，+=1，求證：（3）改變結(jié)構(gòu)：例3、若>> 求證：（4）添項(xiàng)：例4：求證：【1】、設(shè)，則之最小值為_(kāi)；此時(shí)_。答案：-18; 解析

2、： 之最小值為-18，此時(shí)【2】 設(shè)= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2 + y2 + z2 = 16，則的最大值為?！窘狻? (1，0，- 2)，= (x，y，z)= x - 2z由柯西不等式12 + 0 + (- 2)2(x2 + y2 + z2) ³ (x + 0 - 2z)2Þ5 ´ 16 ³ (x - 2z)2Þ- 4£ x £ 4Þ- 4£ £ 4，故的最大值為4【3】空間二向量，已知，則(1)的最大值為多少？(2)此時(shí)？Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)【4

3、】設(shè)a、b、c為正數(shù)，求的最小值。Ans：121【5】. 設(shè)x，y，z Î R，且滿(mǎn)足x2 + y2 + z2 = 5，則x + 2y + 3z之最大值為解(x + 2y + 3z)2 £ (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 514 = 70x + 2y + 3z最大值為【6】 設(shè)x，y，z Î R，若x2 + y2 + z2 = 4，則x - 2y + 2z之最小值為時(shí)，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)12 + ( - 2) 2 + 22 = 49 = 36x - 2y +

4、2z最小值為 - 6，公式法求 (x，y，z) 此時(shí) ，【7】設(shè)，試求的最大值M與最小值m。Ans：【8】、設(shè)，試求的最大值與最小值。答：根據(jù)柯西不等式 即 而有 故的最大值為15，最小值為15。【9】、設(shè)，試求之最小值。答案：考慮以下兩組向量 = ( 2, 1, 2) =( x, y, z ) 根據(jù)柯西不等式，就有 即 將代入其中，得 而有 故之最小值為4?！?0】設(shè)，求的最小值m，并求此時(shí)x、y、z之值。Ans：【11】 設(shè)x，y，z Î R，2x + 2y + z + 8 = 0，則(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值為解： 2x + 2y +

5、z + 8 = 0Þ2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)2 £ (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2(22 + 22 + 12)Þ(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ³= 9【12】設(shè)x, y, zR，若，則之最小值為_(kāi)，又此時(shí)_。解： Þ2x - 3(y - 1) + z =( )，考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( ,

6、, ) 解析：最小值【13】 設(shè)a，b，c均為正數(shù)且a + b + c = 9，則之最小值為解：考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) ()(a + b + c)Þ()9 ³ (2 + 3 + 4)2 = 81 Þ³ = 9【14】、設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且，則之最小值為_(kāi)，此時(shí)_。解：考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) ，最小值為18 等號(hào)發(fā)生于 故 又 【15】. 設(shè)空間向量的方向?yàn)閍，b，g，0 < a，b，g < p，csc2a + 9 csc2b + 25 csc2g 的最小值為。解s

7、in2a + sin2b + sin2g = 2由柯西不等式(sin2a + sin2b + sin2g) ³ (1 + 3 + 5)2 2(csc2a + 9csc2b + 25csc2g) ³ 81csc2a + 9csc2b + 25csc2g ³故最小值為【注】本題亦可求tan2a + 9 tan2b + 25tan2g 與cot2a + 9cot2b + 25cot2g 之最小值，請(qǐng)自行練習(xí)?！?6】. 空間中一向量與x軸，y軸，z軸正向之夾角依次為a，b，g（a，b，g 均非象限角），求的最小值。解 : 由柯西不等式 ³ sin2a + si

8、n2b + sin2g = 22的最小值 = 18【17】.空間中一向量的方向角分別為，求的最小值。答72利用柯西不等式解之【18】、設(shè)x, y, zR，若，則之范圍為何？又發(fā)生最小值時(shí)，？答案：若又【19】 設(shè)rABC之三邊長(zhǎng)x，y，z滿(mǎn)足x - 2y + z = 0及3x + y - 2z = 0，則rABC之最大角是多少度？【解】Þx：y：z =：= 3：5：7設(shè)三邊長(zhǎng)為x = 3k，y = 5k，z = 7k則最大角度之cosq = -，q = 120°【20】. 設(shè)x，y，z Î R且，求x + y + z之最大值，最小值。Ans 最大值7；最小值 -

9、3【解】由柯西不等式知42 + ()2 + 22 ³ Þ25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2Þ5 ³ |x + y + z - 2|Þ- 5 £ x + y + z - 2 £ 5- 3 £ x + y + z £ 7故x + y + z之最大值為7，最小值為 - 3【21】. 求2sinq +cosq sinf - cosq cosf 的最大值與最小值。答. 最大值為，最小值為 -【詳解】令向量 = (2sinq，cosq，- cosq)，= (1，sinf，cosf)

10、由柯西不等式 | £ |得| 2sinq +cosq sinf - cosq cosf | £，£所求最大值為，最小值為 -【22】ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證：證明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左邊=?！?3】求證:點(diǎn)P(x0,y0)到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離d=.證明:設(shè)Q(x,y)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn),則Ax+By+C=0.因?yàn)閨PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B20,由柯西不等式得(A2+B2)(x-x0)2+(y-y0)2A(x-x0)+B(y-y0)2=(Ax+By)-(Ax0+By0)2=(Ax0+B

11、y0+C)2,所以|PQ|.當(dāng)時(shí),取等號(hào),由垂線(xiàn)段最短得d=.【24】已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求的范圍.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得故的取值范圍是,+).溫馨提示本題主要應(yīng)用了最值法,即不等式恒成立,等價(jià)于()max,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f(x,y,z)=的最大值.【25】設(shè)a,b,c,x,y,z均為正實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.解析:根據(jù)已知等式的特點(diǎn),可考慮用柯西不等式.由柯西不等式等號(hào)成立的條件,知=,再由等比定理,得=.因此只需求的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=