二元一次方程組的圖象解法（課例）

1、.二元一次方程組的圖象解法課例素質(zhì)教育提出以學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)，教材為主線，在教學(xué)中要真正表達(dá)學(xué)生的主體性，就必須使認(rèn)知過(guò)程是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程，使學(xué)生在自覺(jué)、主動(dòng)、深層次的參與過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。相比較傳統(tǒng)教學(xué)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)消費(fèi)生明顯的意識(shí)傾向和情感共鳴，是主體參與的條件和關(guān)鍵。變式教學(xué)，是實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效、培優(yōu)提差的有效教學(xué)手段?！窘虒W(xué)目的】知識(shí)目的：使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。才能目的：通過(guò)學(xué)生的考慮和操作,力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系,引入二元一次方程組圖象解法,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)形

2、結(jié)合的意識(shí)和才能。情感目的：通過(guò)學(xué)生的自主探究,提示出方程和圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)絡(luò),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn)要求：1、二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。難點(diǎn)打破：經(jīng)歷觀察、考慮、操作、探究、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維才能，并體會(huì)方程和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合思想?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、學(xué)前先思師：請(qǐng)同學(xué)們考慮，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的二元一次方程組的解法有哪些?生：代入消元法、加減消元法。師：請(qǐng)你猜測(cè)還有其他的解法嗎?生：小聲議論，有人提出圖象解法師：看來(lái)的同學(xué)似乎已經(jīng)提早做了預(yù)習(xí)工作，很好!那么對(duì)于課題二元一次

3、方程組的圖象解法，你想提什么問(wèn)題?生：二元一次方程組怎么會(huì)有圖象?它的圖象應(yīng)該怎樣畫(huà)?生：二元一次方程組的圖象解法怎么做?師：同學(xué)們都問(wèn)得很好!那你有喜歡的二元一次方程組嗎?生：比較害羞師：看來(lái)大家比較害羞，那么請(qǐng)大家把各自喜歡的二元一次方程組留在心里。讓我們帶著同學(xué)們提出的問(wèn)題從二元一次方程開(kāi)場(chǎng)今天的學(xué)習(xí)。二、探究導(dǎo)學(xué)題目：判斷上面幾組解中哪些是二元一次方程 的解?生： 和 不是，其余各組均是方程 的解。師：請(qǐng)?jiān)趯W(xué)案上的直角坐標(biāo)系中先畫(huà)出一次函數(shù) 的圖象，再標(biāo)出以上述的方程的解中 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，考慮：二元一次方程 的解與一次函數(shù) 圖象上的點(diǎn)有什么關(guān)系?生：我發(fā)現(xiàn)二元一次方程的解就

4、是相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)。師：很好!反過(guò)來(lái)，請(qǐng)問(wèn)：一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)是否是與其相對(duì)應(yīng)的二元一次方程的解呢?生：是的。并且二元一次方程的解中的 、 的值就是相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的值。三、穩(wěn)固根底師：非常好!那下面的題目你會(huì)解嗎?學(xué)生讀題題目：方程 有一個(gè)解是 ，那么一次函數(shù) 的圖象上必有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi).生：2，1學(xué)生讀題題目：一次函數(shù) 的圖象上有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為3，2，那么方程 必有一個(gè)解是_.生：師：你能把下面的二元一次方程轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的一次函數(shù)嗎?學(xué)生讀題把以下二元一次方程轉(zhuǎn)化成 的形式：1 2生：第1題利用移項(xiàng)，得到 ，所以第2題利用移項(xiàng)，得到 ，兩邊同時(shí)除以

5、2，所以四、感悟提升師：假如將 和 組成二元一次方程組，你能用代入消元法或者加減消元法求出它的解嗎?生：能，我算出師：很好!你能在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出一次函數(shù) 與 的圖象嗎?生：可以。動(dòng)手在學(xué)案上畫(huà)圖師：觀察兩條直線的位置關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)?生：我發(fā)現(xiàn)這兩條直線相交，并且交點(diǎn)坐標(biāo)是2，1。師：通過(guò)以上活動(dòng)，你能得到什么結(jié)論?生：我發(fā)現(xiàn)剛剛求出的二元一次方程 的解 剛好就是一次函數(shù) 與 的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)2，1。師：很好!你能抽象成一般的結(jié)論嗎?生：假如兩個(gè)一次函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解。師：非常好!用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組的方法就是我們今天要學(xué)習(xí)的二

6、元一次方程組的圖象解法。師：你能學(xué)以致用嗎?y=2x-5y=-x+1題目：如圖，方程組 的解是_.生：根據(jù)圖象可知：一次函數(shù) 與 的圖象的交點(diǎn)是2，-1，因此，方程組 的解是 。師：答復(fù)得真棒!五、例題教學(xué)例題：利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組 。師：請(qǐng)大家在學(xué)案的做中感悟欄內(nèi)上大膽地寫(xiě)出解題過(guò)程。生：投影展示解題過(guò)程略。師：很好!讓我們一起來(lái)看一下老師準(zhǔn)備的解題過(guò)程略師：你能就此歸納出二元一次方程組的圖象解法的一般步驟嗎?生：先將二元一次方程組中的方程化成相應(yīng)的一次函數(shù)，然后畫(huà)出一次函數(shù)的圖象，找出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可以得出二元一次方程組的解。師：非常好!我們可以用12個(gè)字的口訣來(lái)記住剛剛

7、同學(xué)的步驟：變函數(shù)，畫(huà)圖象，找交點(diǎn)，寫(xiě)結(jié)論。師：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上的穩(wěn)固強(qiáng)化欄內(nèi)利用圖象解法求出你心里埋你所喜歡的二元一次方程組的解。生：各自動(dòng)手操作，老師展示學(xué)生求解過(guò)程師：觀察你作的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?生：我發(fā)現(xiàn)有些一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)比較容易看出來(lái)，而有些一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)不容易看出來(lái)是多少。師：是的，所以在這里老師需要說(shuō)明的是我們用圖象法求解一元二次方程組的解得到的是近似解。師：請(qǐng)大家比較一下，二元一次方程組的圖象解法和我們以前學(xué)過(guò)的代數(shù)解法代入消元法、加減消元法相比，那種方法簡(jiǎn)單一些?生：代入消元法、加減消元法簡(jiǎn)單。師：二元一次方程組的圖象解法既不比代數(shù)解法簡(jiǎn)單，且得到的解又是近

8、似的，為什么我們還要學(xué)習(xí)這種解法呢?原因有以下幾個(gè)方面：一是要讓我們學(xué)會(huì)從多種角度考慮問(wèn)題，用多種方法解決問(wèn)題;二是說(shuō)明了數(shù)與形存在著這樣或那樣的親密聯(lián)絡(luò)，有時(shí)我們要從數(shù)的角度去考慮形的問(wèn)題，有時(shí)我們又要從形的角度去考慮數(shù)的問(wèn)題，這里是從形的角度來(lái)考慮數(shù)的問(wèn)題;三是為了以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要。師：看來(lái)大家都很愛(ài)動(dòng)腦筋，那么接下來(lái)我們將例題加以變化。六、例題變式題目：用圖象法求解二元一次方程組 時(shí)，兩條直線相交于點(diǎn)2，-4，求一次函數(shù) 的關(guān)系式。師：請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)分析一下。生：由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2，-4可知，二元一次方程組 的解就是 ，把 代入到二元一次方程組 中，可得： ，解得 ，所以一次函數(shù)的

9、關(guān)系式為 。師：非常好!七、感悟歸納師：再請(qǐng)同學(xué)們考慮，假如二元一次方程組轉(zhuǎn)化成的一次函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，那么所對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解是什么呢?生：我想假如二元一次方程組轉(zhuǎn)化成的一次函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，那么所對(duì)應(yīng)的二元一次方程組應(yīng)該無(wú)解。八、拓寬提升題目：不畫(huà)函數(shù)的圖象，判斷以下兩條直線是否有交點(diǎn)?它們的位置關(guān)系如何?每組一次函數(shù)中的 有什么關(guān)系?1 與 ;2 與師：你會(huì)怎樣分析這道題?生：我們只要求解一下由這兩個(gè)一次函數(shù)所組成的二元一次方程組的解的情況就可以判斷兩條直線的位置關(guān)系。假如方程組有解，那么相應(yīng)的兩條直線就是相交，假如方程組無(wú)解，那么相應(yīng)的兩條直線就是平行的位置關(guān)系。師：很好!抽

10、象成一般結(jié)論怎樣表達(dá)?生：對(duì)于直線 與 ，當(dāng) 時(shí)，兩直線平行;當(dāng) 時(shí)，兩直線相交。九、例題再探題目：利用一次函數(shù)的圖象解二元一次方程組問(wèn)：1這兩條直線有什么特殊的位置關(guān)系?2這兩個(gè)一次函數(shù)的 有何特殊的關(guān)系?3由此，你能得出怎樣的結(jié)論?師：哪位同學(xué)來(lái)嘗試一下?生：1這兩條直線是垂直的位置關(guān)系;2這兩個(gè)一次函數(shù)的 相乘的結(jié)果等于-1;3仿照剛剛的結(jié)論，我得出的結(jié)論是：對(duì)于直線 與 ，當(dāng) 時(shí)，兩直線垂直。師：太棒了!那下面的這一題你會(huì)做嗎?題目：直線 和直線1 假設(shè) ，求 的值;2 假設(shè) ，求垂足的坐標(biāo)。師：誰(shuí)來(lái)試一下?生：由前面的結(jié)論我們可以得出，假如 ，那么 ，解得： ;假如 ，那么 ，解得

11、，將 代入二元一次方程組 ，可得 ，求出方程組的解就可以得出垂足的坐標(biāo)。十、學(xué)會(huì)創(chuàng)新師：請(qǐng)你根據(jù)這節(jié)課中的例題或習(xí)題在學(xué)案中編或出一道題?？凑l(shuí)出的題新穎、精妙!生：暢所欲言，踴躍嘗試十一、小結(jié)與考慮師：1這節(jié)課你學(xué)到了什么?2你還存在哪些疑問(wèn)?生：分組討論，代表發(fā)言總結(jié)【設(shè)計(jì)說(shuō)明】本節(jié)課的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系，二元一次方程組的圖象解法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都是難點(diǎn)。就本節(jié)課而言，前者較為重要，后者難度較大。確定本節(jié)課的重點(diǎn)為前者，是因?yàn)閷W(xué)生必須首先理解二元一次方程和一次函數(shù)在數(shù)與形兩方面的聯(lián)絡(luò)，在此根底上才能解決好后面的難點(diǎn)。在重難點(diǎn)的處理上，為理解決學(xué)生對(duì)重點(diǎn)的理解，用一組二元一次

12、方程組串起一節(jié)課，加以變式，既使得學(xué)生理解了重點(diǎn)內(nèi)容，又為后面的難點(diǎn)打破留下了一定的時(shí)間和空間。本節(jié)課的教學(xué)，主要以問(wèn)題為線索，注重引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、獨(dú)立考慮、認(rèn)真操作、分組討論、合作交流、師生互動(dòng)，這對(duì)本節(jié)課的重難點(diǎn)的打破還是有效的，同時(shí)也表達(dá)了新課改提倡的學(xué)生的自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式的培養(yǎng)。另外，對(duì)利用二元一次方程組的解判斷直線的位置關(guān)系作為補(bǔ)充，浸透數(shù)形結(jié)合思想，也對(duì)教學(xué)目的中的情感態(tài)度和價(jià)值觀的又一方面表達(dá)?！窘虒W(xué)反思】這節(jié)課以回憶、先思為先導(dǎo)，以操作、考慮為手段，以數(shù)、形結(jié)合為要求，以引導(dǎo)探究，變式拓寬為主線，從舊知引入，自然過(guò)渡、不落痕跡。首先提出學(xué)生所熟知的二元一次方程并討論

13、其解的情況，為后面探究二元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系作了必要的準(zhǔn)備，構(gòu)造安排自然、緊湊。在操作中，提出問(wèn)題、深化認(rèn)識(shí)。一切知識(shí)來(lái)自于理論。只有理論，才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題;只有理論，才能把握知識(shí)、深化認(rèn)識(shí)。先讓學(xué)生畫(huà)出一次函數(shù)的圖象，在畫(huà)圖的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖象上。在應(yīng)用結(jié)論探究一元二次方程組的圖象解法時(shí)，也是在操作中來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。這樣，就給了學(xué)生充分體驗(yàn)、自主探究知識(shí)的時(shí)機(jī);使他們?cè)谧灾魈骄?、合作交流中找到了快?lè)，深化了認(rèn)識(shí)。以才能培養(yǎng)為核心，引導(dǎo)探究為主線，數(shù)、形結(jié)合為要求。才能培養(yǎng)，特別是創(chuàng)新才能的培養(yǎng)是新課程關(guān)注的焦點(diǎn)。才能培養(yǎng)是以自主探究為平臺(tái)。

14、自主不是一盤(pán)散沙，探究不是漫無(wú)邊際。要進(jìn)步探究的質(zhì)量和效益必須在老師的引導(dǎo)下進(jìn)展。為到達(dá)這一目的，教案中設(shè)計(jì)了探究導(dǎo)學(xué)、例題變式、例題再探、學(xué)會(huì)創(chuàng)新和拓展提升。新課程理念指出：老師是課程的研究者和開(kāi)發(fā)者。這就要求我們：在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下，認(rèn)真研究教材，體會(huì)教材的編寫(xiě)意圖。在此根底上，設(shè)計(jì)出既表達(dá)課程精神，又合適本班學(xué)生實(shí)際的教學(xué)案例。本節(jié)課前半部分時(shí)間有些慢，后半部分例題再探和學(xué)會(huì)創(chuàng)新時(shí)間不夠。建議有針對(duì)性的學(xué)生板演多一點(diǎn)，進(jìn)一步加強(qiáng)雙基的落實(shí)。【同伴點(diǎn)評(píng)】本節(jié)課老師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、考慮、操作、探究、合作交流。問(wèn)題的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，通過(guò)問(wèn)題的逐一解決，師生最終形成共識(shí)，到達(dá)了提醒二

15、元一次方程組與一次函數(shù)的圖象關(guān)系的目的。李曉紅在例題教學(xué)及學(xué)生動(dòng)手嘗試時(shí)，老師在學(xué)生大膽嘗試之后給出解題過(guò)程，強(qiáng)調(diào)理解題的標(biāo)準(zhǔn)性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度。同時(shí)強(qiáng)調(diào)了由于二元一次方程組的圖象解法得到的解往往是近似的，因此必須檢驗(yàn)。老師對(duì)學(xué)習(xí)二元一次方程組的圖象解法的必要性的解釋?zhuān)欠浅Ｓ斜匾模@一解釋解決了學(xué)生的疑惑，同時(shí)也浸透了數(shù)形結(jié)合思想，也是教學(xué)目的中的情感態(tài)度和價(jià)值觀的表達(dá)。對(duì)于這一解釋?zhuān)喈?dāng)一部分老師在這一節(jié)課中并沒(méi)有很好解決。這一處理方法值得別人借鑒。丁葉謙其實(shí),任何一門(mén)學(xué)科都離不開(kāi)死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?

16、尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫(xiě)作程度,單靠分析文章的寫(xiě)作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。其實(shí),任何一門(mén)學(xué)科都離不開(kāi)死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫(xiě)作程度,單靠分析文章的寫(xiě)作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到