人教版同步教參數學九年級上冊-圓：圓的概念和性質

1、圓第1節(jié)圓的概念與性質【知識梳理】1、圓的定義，有兩種方式：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點 。旋轉一周，一個端點A隨之旋轉說形成的圖形叫做圓。固定端點 。叫做圓心，以。為圓心的圓記作eO,線段OA叫做半徑;圓是到定點的距離等于定長的點的集合。注意：圓心確定圓的位置，半徑決定圓的大小。2、與圓有關的概念:弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦；如圖 1所示線段AB, BG AC都是弦；直徑：經過圓心的弦叫做直徑；如 AC是eO的直徑，直徑是圓中最長的弦；?。簣A上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線BC,BAC都是e O中的弧，分別記作?C和?AC ；半圓：圓中任意一條直徑的兩個端點分圓

2、成兩條弧，每條弧都叫做半圓，如Ac是半圓；劣弧和優(yōu)弧：像 Bc這樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧，像？AC這樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)??；同心圓：圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓；弓形：由弦及其說對的弧所組成的圖形叫做弓形；等圓和等弧：能夠重合的兩個圓叫做等圓，在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等??；圓心角：定點在圓心的角叫做圓心角如圖1中的 AOB, BOC是圓心角，圓心角的度數：圓心角的讀書等于它所對弧的度數；圓周角：定點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角；如圖 1中的 BAC, ACBtB是 圓周角。3、圓的有關性質圓的對稱性圓是軸對稱圖形，經過圓心的直線都是它的對稱軸，有無數條。圓是中心對稱圖

3、形，圓心是對稱中心，優(yōu)勢旋轉對稱圖形，即旋轉任意角度和自身重合。垂徑定理A垂直于弦的直徑平分這條弦，且評分弦所對的兩條??；B平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且評分弦所對的兩條弧。如圖2所示【診斷自測】1 .圓上的各點到圓心的距離都等于 ;在一個平面內，到圓心的距離等于半徑長的點都在 .因此，圓是在一個平面內，所有到一個 的距離等于 的 組成的圖形.要確定一個圓，需要兩個基本條件，一個是,另一個是,其中，確定圓的位置， 確定圓的大小.2 .連結 的 叫做弦.經過 的 叫做直徑,并且直徑是同一圓中 的弦.3 .圓上 的部分叫做圓弧，簡稱 ,以A, B為端點的弧記作 ,讀作 或.在一個圓中 叫做

4、優(yōu)??； 叫做劣弧.4 .垂直于弦的直徑的性質定理是 .在同 圓或等圓中，兩個圓心角及它們所對的兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那么5 .在同一圓中，一條弧所對的圓周角等于其所對圓心角的 .6 .在同圓或等圓中， 所對的圓周角 .7 . 所對的圓周角是直角. 90。的圓周角 是直徑.8 .圓是 對稱圖形，它的對稱軸是 ;圓又是 對稱圖形,它的對稱中心是.【考點突破】類型一：與圓有關概念及性質例1、下列四個圖形分別是四屆國際數學家大會的會標，其中屬于中心對稱圖形的有 （）(B) 2 個(C) 3 個（口 4個（A） 1 個答案：B11解析：根據中心對稱的概念對各圖形分析判斷即可得解.解答：解：第

5、一個圖形是中心對稱圖形，第二個圖形不是中心對稱圖形，第三個圖形是中心對稱圖形，第四個圖形不是中心對稱圖形，所以，中心對稱圖有 2個.故選：B.OE：OC 3：5,求弦類型二：垂徑定理及其應用例2、如圖，在。中，CD是直徑，弦 AB C口垂足為 E, CD=15AB和AC的長.答案：AB=6 AC= 3 5解析：連結 OA CD=15 OA=Oc7.5, OE=4.5, CE=3AEOA2 OE27.5 2 4.52 6AB 2AE 12, AC . AE2 CE262 32 3萬例3、如圖，AB是。的直徑，弦CD AB，CDB 30，CD 2,則陰影部分的面積A. 2 B.C. 3 D. 3答

6、案：D解析：在弓形CBD中，被EB分開的上面空白部分和下面的陰影部分的面積是相等的，所以陰影部分的面積之和轉化到扇形CO瞇求例4、CD是。的一條弦，作直徑 AB,使ABCDD垂足為 E,若AB= 10, CD- 8,則BE的長是()A.8B.2C.2或 8D.3 或 7答案：C解析：如圖(1),(1)(2) .AB= 10.OA= OC= OB= 5,.直徑 AB, AB CD.CE= ED . CD- 8,CE= 4連結 OC 在 RtACOE,由勾股定理得，OE= -OC2 CE2 . 52 42 3 .OB= 5.1. BE= 53=2. BE= 2如圖(2), . AB= 10, OA

7、= OC= OB= .5 .直徑 AB , AB CD.CE= ED . CD- 8, CE= 4連結 OC 在 RtACOE,由勾股定理得，OE= OC2 CE252 42 3 .OB= 5.1. BE= OE+OB= 3+5= 8故選C例5、如圖，。的直徑AB的長為10,弦AC的長為5, /ACB的平分線交。O于點D.(1)求弧BC的長;(2)求弦BD的長.120510答案：弧BC的長為 1803.2. 2AB 10 5. 2BD= 22解析：(1)連接OC. AB為。的直徑，ACB4 ADB=90在 Rt ABC中,AC 51 cos / BAC=AB 102 , .-.z BAC=60

8、 , ./BOC=ZBAC =120 .1205 10 弧BC的長為1803 .連接 OD：分/ ACB / ACDhBCD, / AODh BOD.AD=BQ ./ BAD=/ ABD=45 . AB 10 5. 2在 RtMBD中,BD= 22.類型三：圓周角定理例 6、如圖，O O直徑 AB= 8,/CBD= 30 ,則 CD=/ A= 50 , / B=30 ,則/ADC勺度數為A第10題答案：4解析：連接OG OD . / CBD= 30 / COD 60,.OC= OD . CO渥等邊三角形.CD= OC= OB= 4例7、如圖，點A, B, C在O O上，COW延長線交 AB于點

9、D,答案：110ADC之 B+/ BOD=30 + 80解析：/ A=50 , .BOC=10O , . BOD=80 ,，乙=110其長度分別為52和5石，例8、在半徑為5的圓中，AB為直徑，AC和AD為圓的兩條弦, 求/ CAD的度數。答案：/ CAD=15或者75解析：本題要根據條件畫出圖形。如圖:（點C不與A，B重合），C連結CB BD.AB為直徑,ACB = / ADB =90圖 1 中，在 RtABC中,AC=5J2,皿 / AC 2AB=10,貝U cos/CAB= ab=2同理在 RtADB中，/ DAB= 30 . ./ CAD=45 - 30 = 15同樣根據圖2,我們可得

10、：/CADN5。+30 = 75故答案為/ CAD=15或者75例9、如圖， ABC是。的內接三角形，點C是優(yōu)弧AB上一點設 OAB , Co（1）當 35時，求的度數；（2）猜想與之間的關系，并給予證明.答案：（1）55一；（2）90解析：（1）解：連結OB ,則0A OB ,OBA OAB 35oAOB 180oOAB OBA 110o1 oC AOB 55o2（2）答： 與之間的關系是90 o.證一：連結OB,則0A OBOBA OABAOB 180o 211ooC AOB -(180 2 ) 90 2290 0證二：連結OB,則OA OB .AOB 2 C 2過。作OD AB于點D ,

11、則OD平分AOB八1 八AOD AOB2在 RtzXAOD 中， OAD AOD 900,90 0例10、已知：如圖 AB為。O的直徑，點 C D在O O,且BC= 6cmi AC= 8cm, / ABD= 45o. ( 1)求BD的長；(2)求圖中陰影部分的面積.答案： BD=5y2cm S 陰影=25 7t4 50cm2.解：(1) .AB為。的直徑，ACB= 900. BC= 6是cm, AC= 8cm, . . AB= 10cm. . . OB= 5cm.連 ODOD= OB,，/ODB= /ABD= 4廣o. . . / BOD= 900. . . BD= OBa OD2= 572c

12、m.(2) S 陰影=黑兀 52-1X 5X 5= 257t 50 cm236024【易錯精選】1、判斷題(1)直徑是弦(2)弦是直徑(3)半圓是弧弧是半圓(5)長度相等的兩條弧是等弧(6)等弧的長度相等兩個劣弧之和等于半圓(8)半徑相等的兩個圓是等圓(9)兩個半圓是等弧(10)圓的半徑是R,則弦長的取值范圍是大于 0且不大于2R2、在圓柱形油槽內裝有一些油.截面如圖所示，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬度為8分米，圓柱形油槽直徑 MN為()A. 6分米C. 10分米.12分米3、A.B如圖，eO是ABC的外接圓,BAC60，若e 0的半徑OC為2,則弦BC的

13、長2.31B4、如圖,ABC內接于eO, ABBCABC 120,AD 為 e O 的直徑 AD 6那么BD5、小英家的圓鏡子被打破了，她拿了如圖（網格中的每個小正方形邊長為1）到玻璃店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個鏡面的半徑是（的一塊碎片）C . 22D , 3【精華提煉】遇到求角度問題：思路：同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等或同弧或等弧所對的圓心角是圓周角的遇到求線段長度問題：思路：利用垂徑定理構造直角三角形，利用勾股定進行求解【本節(jié)訓練】訓練【1】下列命題中，錯誤的是（）A.圓是軸對稱圖形B.圓是中心對稱圖形C.過三點一定確定一個圓D. 一個三角形只能確定一個外接圓則 AO

14、D訓練【2】如圖，AB是OO的直徑，點C、D在OO上，BOC 110 , AD / OC ,AB訓練【3】如圖，AB為eO的直徑，CD為弦，AB CD，如果BOC 70，那么A的大小為（）A. 700B ,350 c , 300 D . 20訓練【4】一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分面寬0.8米，最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是（）基礎鞏固1 .在。中，若圓心角/ AOB=100 , C是4月上一點，則/ AC睹于（）A. 80 B, 100C. 130D. 1402 .在圓中，弦 AB, CD相交于 E.若/ ADC=46 , / BCD=33 ,則/ DE睹

15、于（）A. 13 B, 79 C. 38.5 D. 1013 .如圖，AC是。的直徑，弦 AB/ CD若/ BAC=32 ,則/ AO*于（）.15A.64 B. 48 C. 32 D. 764.如圖，O O的半徑OC為6cm,弦AB垂直平分 OC則AB=cm / AOB=B5.如圖，AB為。O的弦，/ AOB=90 , AB=a,則 OA=O點到AB的距離=6.已知：如圖， A、B、C、D在OO, AB=CD 求證：/ AOCW DOB7.8.已知：如圖， ABC內接于。O, BC=12cm Z A=60 .求。O的直徑.已知：如圖， AB是。O的直徑，弦 CDAB于E, / ACD=30

16、, AE=2cm 求DB長.9 .已知：如圖，O O的直徑 AE=10cm Z B=Z EAC求AC的長.10 .已知：如圖，AB為。的直徑，C, D為。上的兩點，且C為AD的中點，若/ BAD=20 , 求/ ACO的度數.巔峰突破1、已知：如圖，A, B是半圓。上的兩點，CD是。的直徑，/ AOD=80 , B是他 的中點.在CD上求作一點 巳 使得 AP+ PB最短；(2)若CD=4crp求 AP+ PB的最小值.2、如圖，有一圓弧形的拱橋，橋下水面寬度為 7.2m,拱頂高出水面2.4m,現有一竹排運送 一貨箱從橋下經過，已知貨箱長 10nl寬3m,高2m（竹排與水面持平）.問：該貨箱能

17、否順利通過該橋？3、如圖，O。中，直徑AB=15cm有一條長為9cm的動弦CD在加上滑動（點C與A,點 與B不重合）,C。CDX AB于F, D已CD交AB于E.求證：AE=BF（2）在動弦CD滑動的過程中，四邊形CDE用勺面積是否為定值？若是定值，請給出證明并求這 個定值；若不是，請說明理由.4、已知：如圖， ABC內接于。O, AMFF分/ BAC交。于點 M AD，BC于D.求證：/ MAO= /MADM5、已知：如圖，AB是。的直徑，CD為弦，且 AB CD于E, F為DC延長線上一點，連結AF交。于 M 求證：/ AMD=FMC參考答案【診斷自測】1、半徑；圓上；定點；定長；點；圓心

18、；半徑；圓心；半徑2、圓上任意兩點；線段；圓心；弦；最長3、任意兩點；??；AB;圓弧AB;弧AB大雨半徑的弧；小于半徑的弧4、垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；其他量都相等5、一半6、同弧或等?。幌嗟?、直徑；所對的弦8、軸；直徑所在直線；中心；圓心【易錯精選】1、對錯對錯錯、對錯對錯對2、C3、D4、3.35、B【本節(jié)訓練】1、C2、403、B4、D【基礎鞏固】1、C2、B3、A 4、63;120 5、 6、略7、8,38、4.3 9、5 . 2 10、55巔峰突破1、(1)作BB _CD,交圓于B,然后連接AB,交CD于P點，P就是所求的點;t鸞】延長圓于風連接65加帛.說廠占D才“且OR二刖*,。是學的中點.jLz二1川加二町 M 2=ir 1f及 ,二/啟二、戚 乜4門以二1口益.2；7E是國的直徑,叫直角-也即中r=l-411x4=2 r& i=必胖-心=116-4=標，#2、如圖r連接ON r 03 .VOCXAB fj.D為AB中點,7,AB=7.2in rhYb=3萬m .25Z.,. CD = 2.4m fi50B=0C=0N=r r 財OD= C r-2.4 ) m .在Rt-BOD中r根據勾股定理得；d= (r-2,4產+