人教版同步教參數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)-圓：圓的概念和性質(zhì)

1、圓第1節(jié)圓的概念與性質(zhì)【知識(shí)梳理】1、圓的定義，有兩種方式：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) 。旋轉(zhuǎn)一周，一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)說(shuō)形成的圖形叫做圓。固定端點(diǎn) 。叫做圓心，以。為圓心的圓記作eO,線段OA叫做半徑;圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。注意：圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。2、與圓有關(guān)的概念:弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；如圖 1所示線段AB, BG AC都是弦；直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑；如 AC是eO的直徑，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，如曲線BC,BAC都是e O中的弧，分別記作?C和?AC ；半圓：圓中任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓

2、成兩條弧，每條弧都叫做半圓，如Ac是半圓；劣弧和優(yōu)?。合?Bc這樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧，像？AC這樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧；同心圓：圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓；弓形：由弦及其說(shuō)對(duì)的弧所組成的圖形叫做弓形；等圓和等?。耗軌蛑睾系膬蓚€(gè)圓叫做等圓，在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等??；圓心角：定點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角如圖1中的 AOB, BOC是圓心角，圓心角的度數(shù)：圓心角的讀書等于它所對(duì)弧的度數(shù)；圓周角：定點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角；如圖 1中的 BAC, ACBtB是 圓周角。3、圓的有關(guān)性質(zhì)圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱軸，有無(wú)數(shù)條。圓是中心對(duì)稱圖

3、形，圓心是對(duì)稱中心，優(yōu)勢(shì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合。垂徑定理A垂直于弦的直徑平分這條弦，且評(píng)分弦所對(duì)的兩條?。籅平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且評(píng)分弦所對(duì)的兩條弧。如圖2所示【診斷自測(cè)】1 .圓上的各點(diǎn)到圓心的距離都等于 ;在一個(gè)平面內(nèi)，到圓心的距離等于半徑長(zhǎng)的點(diǎn)都在 .因此，圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè) 的距離等于 的 組成的圖形.要確定一個(gè)圓，需要兩個(gè)基本條件，一個(gè)是,另一個(gè)是,其中，確定圓的位置， 確定圓的大小.2 .連結(jié) 的 叫做弦.經(jīng)過(guò) 的 叫做直徑,并且直徑是同一圓中 的弦.3 .圓上 的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱 ,以A, B為端點(diǎn)的弧記作 ,讀作 或.在一個(gè)圓中 叫做

4、優(yōu)?。?叫做劣弧.4 .垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理是 .在同 圓或等圓中，兩個(gè)圓心角及它們所對(duì)的兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那么5 .在同一圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)圓心角的 .6 .在同圓或等圓中， 所對(duì)的圓周角 .7 . 所對(duì)的圓周角是直角. 90。的圓周角 是直徑.8 .圓是 對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是 ;圓又是 對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心是.【考點(diǎn)突破】類型一：與圓有關(guān)概念及性質(zhì)例1、下列四個(gè)圖形分別是四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對(duì)稱圖形的有 （）(B) 2 個(gè)(C) 3 個(gè)（口 4個(gè)（A） 1 個(gè)答案：B11解析：根據(jù)中心對(duì)稱的概念對(duì)各圖形分析判斷即可得解.解答：解：第

5、一個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，第二個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，第三個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，第四個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，所以，中心對(duì)稱圖有 2個(gè).故選：B.OE：OC 3：5,求弦類型二：垂徑定理及其應(yīng)用例2、如圖，在。中，CD是直徑，弦 AB C口垂足為 E, CD=15AB和AC的長(zhǎng).答案：AB=6 AC= 3 5解析：連結(jié) OA CD=15 OA=Oc7.5, OE=4.5, CE=3AEOA2 OE27.5 2 4.52 6AB 2AE 12, AC . AE2 CE262 32 3萬(wàn)例3、如圖，AB是。的直徑，弦CD AB，CDB 30，CD 2,則陰影部分的面積A. 2 B.C. 3 D. 3答

6、案：D解析：在弓形CBD中，被EB分開的上面空白部分和下面的陰影部分的面積是相等的，所以陰影部分的面積之和轉(zhuǎn)化到扇形CO瞇求例4、CD是。的一條弦，作直徑 AB,使ABCDD垂足為 E,若AB= 10, CD- 8,則BE的長(zhǎng)是()A.8B.2C.2或 8D.3 或 7答案：C解析：如圖(1),(1)(2) .AB= 10.OA= OC= OB= 5,.直徑 AB, AB CD.CE= ED . CD- 8,CE= 4連結(jié) OC 在 RtACOE,由勾股定理得，OE= -OC2 CE2 . 52 42 3 .OB= 5.1. BE= 53=2. BE= 2如圖(2), . AB= 10, OA

7、= OC= OB= .5 .直徑 AB , AB CD.CE= ED . CD- 8, CE= 4連結(jié) OC 在 RtACOE,由勾股定理得，OE= OC2 CE252 42 3 .OB= 5.1. BE= OE+OB= 3+5= 8故選C例5、如圖，。的直徑AB的長(zhǎng)為10,弦AC的長(zhǎng)為5, /ACB的平分線交。O于點(diǎn)D.(1)求弧BC的長(zhǎng);(2)求弦BD的長(zhǎng).120510答案：弧BC的長(zhǎng)為 1803.2. 2AB 10 5. 2BD= 22解析：(1)連接OC. AB為。的直徑，ACB4 ADB=90在 Rt ABC中,AC 51 cos / BAC=AB 102 , .-.z BAC=60

8、 , ./BOC=ZBAC =120 .1205 10 弧BC的長(zhǎng)為1803 .連接 OD：分/ ACB / ACDhBCD, / AODh BOD.AD=BQ ./ BAD=/ ABD=45 . AB 10 5. 2在 RtMBD中,BD= 22.類型三：圓周角定理例 6、如圖，O O直徑 AB= 8,/CBD= 30 ,則 CD=/ A= 50 , / B=30 ,則/ADC勺度數(shù)為A第10題答案：4解析：連接OG OD . / CBD= 30 / COD 60,.OC= OD . CO渥等邊三角形.CD= OC= OB= 4例7、如圖，點(diǎn)A, B, C在O O上，COW延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn)

9、D,答案：110ADC之 B+/ BOD=30 + 80解析：/ A=50 , .BOC=10O , . BOD=80 ,，乙=110其長(zhǎng)度分別為52和5石，例8、在半徑為5的圓中，AB為直徑，AC和AD為圓的兩條弦, 求/ CAD的度數(shù)。答案：/ CAD=15或者75解析：本題要根據(jù)條件畫出圖形。如圖:（點(diǎn)C不與A，B重合），C連結(jié)CB BD.AB為直徑,ACB = / ADB =90圖 1 中，在 RtABC中,AC=5J2,皿 / AC 2AB=10,貝U cos/CAB= ab=2同理在 RtADB中，/ DAB= 30 . ./ CAD=45 - 30 = 15同樣根據(jù)圖2,我們可得

10、：/CADN5。+30 = 75故答案為/ CAD=15或者75例9、如圖， ABC是。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)設(shè) OAB , Co（1）當(dāng) 35時(shí)，求的度數(shù)；（2）猜想與之間的關(guān)系，并給予證明.答案：（1）55一；（2）90解析：（1）解：連結(jié)OB ,則0A OB ,OBA OAB 35oAOB 180oOAB OBA 110o1 oC AOB 55o2（2）答： 與之間的關(guān)系是90 o.證一：連結(jié)OB,則0A OBOBA OABAOB 180o 211ooC AOB -(180 2 ) 90 2290 0證二：連結(jié)OB,則OA OB .AOB 2 C 2過(guò)。作OD AB于點(diǎn)D ,

11、則OD平分AOB八1 八AOD AOB2在 RtzXAOD 中， OAD AOD 900,90 0例10、已知：如圖 AB為。O的直徑，點(diǎn) C D在O O,且BC= 6cmi AC= 8cm, / ABD= 45o. ( 1)求BD的長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積.答案： BD=5y2cm S 陰影=25 7t4 50cm2.解：(1) .AB為。的直徑，ACB= 900. BC= 6是cm, AC= 8cm, . . AB= 10cm. . . OB= 5cm.連 ODOD= OB,，/ODB= /ABD= 4廣o. . . / BOD= 900. . . BD= OBa OD2= 572c

12、m.(2) S 陰影=黑兀 52-1X 5X 5= 257t 50 cm236024【易錯(cuò)精選】1、判斷題(1)直徑是弦(2)弦是直徑(3)半圓是弧弧是半圓(5)長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧(6)等弧的長(zhǎng)度相等兩個(gè)劣弧之和等于半圓(8)半徑相等的兩個(gè)圓是等圓(9)兩個(gè)半圓是等弧(10)圓的半徑是R,則弦長(zhǎng)的取值范圍是大于 0且不大于2R2、在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油.截面如圖所示，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬度為8分米，圓柱形油槽直徑 MN為()A. 6分米C. 10分米.12分米3、A.B如圖，eO是ABC的外接圓,BAC60，若e 0的半徑OC為2,則弦BC的

13、長(zhǎng)2.31B4、如圖,ABC內(nèi)接于eO, ABBCABC 120,AD 為 e O 的直徑 AD 6那么BD5、小英家的圓鏡子被打破了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）到玻璃店，配制成形狀、大小與原來(lái)一致的鏡面，則這個(gè)鏡面的半徑是（的一塊碎片）C . 22D , 3【精華提煉】遇到求角度問(wèn)題：思路：同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等或同弧或等弧所對(duì)的圓心角是圓周角的遇到求線段長(zhǎng)度問(wèn)題：思路：利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用勾股定進(jìn)行求解【本節(jié)訓(xùn)練】訓(xùn)練【1】下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A.圓是軸對(duì)稱圖形B.圓是中心對(duì)稱圖形C.過(guò)三點(diǎn)一定確定一個(gè)圓D. 一個(gè)三角形只能確定一個(gè)外接圓則 AO

14、D訓(xùn)練【2】如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)C、D在OO上，BOC 110 , AD / OC ,AB訓(xùn)練【3】如圖，AB為eO的直徑，CD為弦，AB CD，如果BOC 70，那么A的大小為（）A. 700B ,350 c , 300 D . 20訓(xùn)練【4】一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分面寬0.8米，最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是（）基礎(chǔ)鞏固1 .在。中，若圓心角/ AOB=100 , C是4月上一點(diǎn)，則/ AC睹于（）A. 80 B, 100C. 130D. 1402 .在圓中，弦 AB, CD相交于 E.若/ ADC=46 , / BCD=33 ,則/ DE睹

15、于（）A. 13 B, 79 C. 38.5 D. 1013 .如圖，AC是。的直徑，弦 AB/ CD若/ BAC=32 ,則/ AO*于（）.15A.64 B. 48 C. 32 D. 764.如圖，O O的半徑OC為6cm,弦AB垂直平分 OC則AB=cm / AOB=B5.如圖，AB為。O的弦，/ AOB=90 , AB=a,則 OA=O點(diǎn)到AB的距離=6.已知：如圖， A、B、C、D在OO, AB=CD 求證：/ AOCW DOB7.8.已知：如圖， ABC內(nèi)接于。O, BC=12cm Z A=60 .求。O的直徑.已知：如圖， AB是。O的直徑，弦 CDAB于E, / ACD=30

16、, AE=2cm 求DB長(zhǎng).9 .已知：如圖，O O的直徑 AE=10cm Z B=Z EAC求AC的長(zhǎng).10 .已知：如圖，AB為。的直徑，C, D為。上的兩點(diǎn)，且C為AD的中點(diǎn)，若/ BAD=20 , 求/ ACO的度數(shù).巔峰突破1、已知：如圖，A, B是半圓。上的兩點(diǎn)，CD是。的直徑，/ AOD=80 , B是他 的中點(diǎn).在CD上求作一點(diǎn) 巳 使得 AP+ PB最短；(2)若CD=4crp求 AP+ PB的最小值.2、如圖，有一圓弧形的拱橋，橋下水面寬度為 7.2m,拱頂高出水面2.4m,現(xiàn)有一竹排運(yùn)送 一貨箱從橋下經(jīng)過(guò)，已知貨箱長(zhǎng) 10nl寬3m,高2m（竹排與水面持平）.問(wèn)：該貨箱能

17、否順利通過(guò)該橋？3、如圖，O。中，直徑AB=15cm有一條長(zhǎng)為9cm的動(dòng)弦CD在加上滑動(dòng)（點(diǎn)C與A,點(diǎn) 與B不重合）,C。CDX AB于F, D已CD交AB于E.求證：AE=BF（2）在動(dòng)弦CD滑動(dòng)的過(guò)程中，四邊形CDE用勺面積是否為定值？若是定值，請(qǐng)給出證明并求這 個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.4、已知：如圖， ABC內(nèi)接于。O, AMFF分/ BAC交。于點(diǎn) M AD，BC于D.求證：/ MAO= /MADM5、已知：如圖，AB是。的直徑，CD為弦，且 AB CD于E, F為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AF交。于 M 求證：/ AMD=FMC參考答案【診斷自測(cè)】1、半徑；圓上；定點(diǎn)；定長(zhǎng)；點(diǎn)；圓心

18、；半徑；圓心；半徑2、圓上任意兩點(diǎn)；線段；圓心；弦；最長(zhǎng)3、任意兩點(diǎn)；??；AB;圓弧AB;弧AB大雨半徑的??；小于半徑的弧4、垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的??；其他量都相等5、一半6、同弧或等??；相等7、直徑；所對(duì)的弦8、軸；直徑所在直線；中心；圓心【易錯(cuò)精選】1、對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)、對(duì)錯(cuò)對(duì)錯(cuò)對(duì)2、C3、D4、3.35、B【本節(jié)訓(xùn)練】1、C2、403、B4、D【基礎(chǔ)鞏固】1、C2、B3、A 4、63;120 5、 6、略7、8,38、4.3 9、5 . 2 10、55巔峰突破1、(1)作BB _CD,交圓于B,然后連接AB,交CD于P點(diǎn)，P就是所求的點(diǎn);t鸞】延長(zhǎng)圓于風(fēng)連接65加帛.說(shuō)廠占D才“且OR二刖*,。是學(xué)的中點(diǎn).jLz二1川加二町 M 2=ir 1f及 ,二/啟二、戚 乜4門以二1口益.2；7E是國(guó)的直徑,叫直角-也即中r=l-411x4=2 r& i=必胖-心=116-4=標(biāo)，#2、如圖r連接ON r 03 .VOCXAB fj.D為AB中點(diǎn),7,AB=7.2in rhYb=3萬(wàn)m .25Z.,. CD = 2.4m fi50B=0C=0N=r r 財(cái)OD= C r-2.4 ) m .在Rt-BOD中r根據(jù)勾股定理得；d= (r-2,4產(chǎn)+